{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120°, a najdłuższy bok ma\ndługość 12 (zobacz rysunek).\nNajkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą\nA. 6\nB. 2√3\nC. 4√3\nD. 6√3\nRozwiązanie zadania. W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120°, a najdłuższy bok ma długość 12 (zobacz rysunek). Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą A. 6 B. 2√3 C. 4√3 D. 6√3","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(2\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Pole trójkąta i wzór na wysokość\n\n**Identyfikujemy trójkąt.**\n\nKąt największy wynosi \\(120°\\) - w trójkącie równoramiennym musi to być kąt przy wierzchołku (apex). Kąty przy podstawie wynoszą:\n\\[\\frac{180° - 120°}{2} = 30°\\]\n\n**Wyznaczamy długość ramion** (ozn. \\(a\\)) z twierdzenia cosinusów, gdzie podstawa \\(c = 12\\):\n\\[c^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\\cos(120°)\\]\n\\[144 = 2a^2 - 2a^2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 2a^2 + a^2 = 3a^2\\]\n\\[a^2 = 48, \\quad a = 4\\sqrt{3}\\]\n\n**Obliczamy pole trójkąta** ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) - gdzie dwa boki to ramiona \\(a = 4\\sqrt{3}\\), a kąt między nimi to \\(120°\\):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4\\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} \\cdot \\sin 120° = \\frac{1}{2} \\cdot 48 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\]\n\n**Wyznaczamy wysokości** korzystając ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{bok} \\cdot h_{\\text{bok}}\\):\n\n- Wysokość na **podstawę** (bok \\(12\\)):\n\\[h_{c} = \\frac{2P}{c} = \\frac{2 \\cdot 12\\sqrt{3}}{12} = 2\\sqrt{3}\\]\n\n- Wysokość na **ramię** (bok \\(4\\sqrt{3}\\)):\n\\[h_{a} = \\frac{2P}{a} = \\frac{2 \\cdot 12\\sqrt{3}}{4\\sqrt{3}} = 6\\]\n\nPonieważ \\(2\\sqrt{3} \\approx 3{,}46 < 6\\), **najkrótsza wysokość** opada na **najdłuższy bok** (podstawę) i wynosi \\(\\boxed{2\\sqrt{3}}\\).\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z trygonometrii (trójkąt prostokątny)\n\nGdy spuszczamy wysokość \\(h\\) z wierzchołka \\(120°\\) na podstawę, powstają dwa przystające trójkąty prostokątne. W każdym z nich:\n- Kąt przy podstawie \\(= 30°\\)\n- Przeciwprostokątna \\(= a = 4\\sqrt{3}\\)\n- Połowa podstawy \\(= 6\\)\n\nKorzystamy z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin 30° = \\frac{h}{a}\\]\n\\[h = a \\cdot \\sin 30° = 4\\sqrt{3} \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nWynik zgodny: **\\(h = 2\\sqrt{3}\\)** ✓\n\nMożna też sprawdzić z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[h^2 = a^2 - 6^2 = 48 - 36 = 12 \\implies h = 2\\sqrt{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\sin 120° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 przy obliczeniu \\(h = a \\cdot \\sin 30°\\) i w Sposobie 1 przy polu \\(P = \\frac{1}{2}a^2\\sin 120°\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\nUżyte do wyznaczenia pola z dwóch ramion i kąta między nimi.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia długości ramion.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(6\\) | To jest **wysokość opuszczona na ramię**, nie na podstawę. Uczeń oblicza dobrą liczbę, ale przypisuje ją złemu bokowi. Najkrótsza wysokość = ta na najdłuższy bok. |\n| C - \\(4\\sqrt{3}\\) | To jest **długość ramienia** trójkąta, nie wysokość. Klasyczne pomylenie boku z wysokością. |\n| D - \\(6\\sqrt{3}\\) | Błąd przy tangensie: uczeń oblicza \\(h = 6 \\cdot \\operatorname{tg}(60°) = 6\\sqrt{3}\\), mylnie biorąc \\(6\\) jako przyprostokątną przyległą do \\(60°\\), zamiast podzielić: \\(h = \\frac{6}{\\operatorname{tg}(60°)} = 2\\sqrt{3}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najkrótsza wysokość NIE jest tą, którą \"widać na rysunku\" (wizualnie niska). Zawsze zachodzi: **im dłuższy bok, tym krótsza wysokość** na niego (przy stałym polu).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie równoramiennym kąt \\(120°\\) MUSI być kątem przy wierzchołku - gdyby był przy podstawie, suma kątów przekroczyłaby \\(180°\\). Nie zakładaj pochopnie, który kąt jest gdzie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(\\sin(120°)\\) pamiętaj o wzorze redukcyjnym: \\(\\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Studenci często podstawiają \\(\\sin 120°\\) bezpośrednio z tabeli i nie są pewni wyniku - ale wzór redukcyjny to potwierdza.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Ramiona i wysokość do podstawy\nKąty przy podstawie: \\(\\tfrac{180° - 120°}{2} = 30°\\).\nPołowa podstawy = \\(6\\), wysokość do podstawy: \\(h = 6\\tg 30° = 6\\cdot \\tfrac{\\sqrt 3}{3} = 2\\sqrt 3\\).\nRamię: \\(a = \\tfrac{6}{\\cos 30°} = \\tfrac{6}{\\tfrac{\\sqrt 3}{2}} = \\tfrac{12}{\\sqrt 3} = 4\\sqrt 3\\).\n\nPole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 2\\sqrt 3 = 12\\sqrt 3\\).\n\nNajkrótsza wysokość odpowiada najdłuższemu bokowi. Najdłuższy bok to podstawa \\(12\\) (naprzeciw kąta \\(120°\\)). Wysokość do niej: \\(h_{\\text{pod}} = 2\\sqrt 3\\).\n\n### Sposób 2 - Potwierdzenie\nWysokość do ramienia: \\(h_a = \\tfrac{2P}{a} = \\tfrac{24\\sqrt 3}{4\\sqrt 3} = 6\\). Porównanie: \\(2\\sqrt 3 \\approx 3{,}46 < 6\\), więc najkrótsza = \\(2\\sqrt 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\)** - wysokość do ramienia, nie najkrótsza.\n- **C. \\(4\\sqrt 3\\)** - ramię, nie wysokość.\n- **D. \\(6\\sqrt 3\\)** - nieprawidłowe obliczenie.\n\n**Zasada:** najkrótsza wysokość opuszczona na najdłuższy bok (bo \\(h = \\tfrac{2P}{a}\\)).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120°, a najdłuższy bok ma
długość 12 (zobacz rysunek).
Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą
A. 6
B. 2√3
C. 4√3
D. 6√3
Rozwiązanie zadania. W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120°, a najdłuższy bok ma długość 12 (zobacz rysunek). Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą A. 6 B. 2√3 C. 4√3 D. 6√3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(2\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - Pole trójkąta i wzór na wysokość

\n

Identyfikujemy trójkąt.

\n

Kąt największy wynosi \\(120°\\) - w trójkącie równoramiennym musi to być kąt przy wierzchołku (apex). Kąty przy podstawie wynoszą:
\\[\\frac{180° - 120°}{2} = 30°\\]

\n

Wyznaczamy długość ramion (ozn. \\(a\\)) z twierdzenia cosinusów, gdzie podstawa \\(c = 12\\):
\\[c^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\\cos(120°)\\]
\\[144 = 2a^2 - 2a^2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 2a^2 + a^2 = 3a^2\\]
\\[a^2 = 48, \\quad a = 4\\sqrt{3}\\]

\n

Obliczamy pole trójkąta ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) - gdzie dwa boki to ramiona \\(a = 4\\sqrt{3}\\), a kąt między nimi to \\(120°\\):
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4\\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} \\cdot \\sin 120° = \\frac{1}{2} \\cdot 48 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\]

\n

Wyznaczamy wysokości korzystając ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{bok} \\cdot h_{\\text{bok}}\\):

\n\n

\\[h_{c} = \\frac{2P}{c} = \\frac{2 \\cdot 12\\sqrt{3}}{12} = 2\\sqrt{3}\\]

\n\n

\\[h_{a} = \\frac{2P}{a} = \\frac{2 \\cdot 12\\sqrt{3}}{4\\sqrt{3}} = 6\\]

\n

Ponieważ \\(2\\sqrt{3} \\approx 3{,}46 < 6\\), najkrótsza wysokość opada na najdłuższy bok (podstawę) i wynosi \\(\\boxed{2\\sqrt{3}}\\).

\n

Sposób 2 - Bezpośrednio z trygonometrii (trójkąt prostokątny)

\n

Gdy spuszczamy wysokość \\(h\\) z wierzchołka \\(120°\\) na podstawę, powstają dwa przystające trójkąty prostokątne. W każdym z nich:

\n\n

Korzystamy z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin 30° = \\frac{h}{a}\\]
\\[h = a \\cdot \\sin 30° = 4\\sqrt{3} \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\sqrt{3}\\]

\n

Wynik zgodny: \\(h = 2\\sqrt{3}\\) ✓

\n

Można też sprawdzić z twierdzenia Pitagorasa:
\\[h^2 = a^2 - 6^2 = 48 - 36 = 12 \\implies h = 2\\sqrt{3}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wartości funkcji trygonometrycznych:
\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\sin 120° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
Użyte w Sposobie 2 przy obliczeniu \\(h = a \\cdot \\sin 30°\\) i w Sposobie 1 przy polu \\(P = \\frac{1}{2}a^2\\sin 120°\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]
Użyte do wyznaczenia pola z dwóch ramion i kąta między nimi.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - twierdzenie cosinusów:
\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia długości ramion.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A - \\(6\\) | To jest wysokość opuszczona na ramię, nie na podstawę. Uczeń oblicza dobrą liczbę, ale przypisuje ją złemu bokowi. Najkrótsza wysokość = ta na najdłuższy bok. |
| C - \\(4\\sqrt{3}\\) | To jest długość ramienia trójkąta, nie wysokość. Klasyczne pomylenie boku z wysokością. |
| D - \\(6\\sqrt{3}\\) | Błąd przy tangensie: uczeń oblicza \\(h = 6 \\cdot \\operatorname{tg}(60°) = 6\\sqrt{3}\\), mylnie biorąc \\(6\\) jako przyprostokątną przyległą do \\(60°\\), zamiast podzielić: \\(h = \\frac{6}{\\operatorname{tg}(60°)} = 2\\sqrt{3}\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najkrótsza wysokość NIE jest tą, którą "widać na rysunku" (wizualnie niska). Zawsze zachodzi: im dłuższy bok, tym krótsza wysokość na niego (przy stałym polu).
\n
⚠️ Uwaga: W trójkącie równoramiennym kąt \\(120°\\) MUSI być kątem przy wierzchołku - gdyby był przy podstawie, suma kątów przekroczyłaby \\(180°\\). Nie zakładaj pochopnie, który kąt jest gdzie.
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(\\sin(120°)\\) pamiętaj o wzorze redukcyjnym: \\(\\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Studenci często podstawiają \\(\\sin 120°\\) bezpośrednio z tabeli i nie są pewni wyniku - ale wzór redukcyjny to potwierdza.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Ramiona i wysokość do podstawy
\n

Kąty przy podstawie: \\(\\tfrac{180° - 120°}{2} = 30°\\).
Połowa podstawy = \\(6\\), wysokość do podstawy: \\(h = 6\\tg 30° = 6\\cdot \\tfrac{\\sqrt 3}{3} = 2\\sqrt 3\\).
Ramię: \\(a = \\tfrac{6}{\\cos 30°} = \\tfrac{6}{\\tfrac{\\sqrt 3}{2}} = \\tfrac{12}{\\sqrt 3} = 4\\sqrt 3\\).

\n

Pole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 2\\sqrt 3 = 12\\sqrt 3\\).

\n

Najkrótsza wysokość odpowiada najdłuższemu bokowi. Najdłuższy bok to podstawa \\(12\\) (naprzeciw kąta \\(120°\\)). Wysokość do niej: \\(h_{\\text{pod}} = 2\\sqrt 3\\).

\n
Sposób 2 - Potwierdzenie
\n

Wysokość do ramienia: \\(h_a = \\tfrac{2P}{a} = \\tfrac{24\\sqrt 3}{4\\sqrt 3} = 6\\). Porównanie: \\(2\\sqrt 3 \\approx 3{,}46 < 6\\), więc najkrótsza = \\(2\\sqrt 3\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: najkrótsza wysokość opuszczona na najdłuższy bok (bo \\(h = \\tfrac{2P}{a}\\)).

"}]}