{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nProsta przechodząca przez punkty (-4, -1) oraz (5, 5) ma równanie\nA. 𝑦= 𝑥+ 3\nB. 𝑦= 2\n3 𝑥+ 5\n3\nC. 𝑦= 𝑥-3\nD. 𝑦= 2\n3 𝑥+ 11\n3\nRozwiązanie zadania. Prosta przechodząca przez punkty (-4,-1) oraz (5,5) ma równanie A. y=x+3 B. y=2/3x + 5/3 C. y=x-3 D. y = 2/3x + 11/3","answer":"B","answer_text":"21 czerwca 2021 r.\nZADANIA ZAMKNIĘTE\nNr\nzadania\n1.\n2.\n3.\n4.\n5.\n6.\n7.\n8.\n9.\n10.\n11.\n12.\n13.\n14.\nOdp.\nD\nB\nC\nB\nA\nB\nA\nA\nC\nB\nD\nC\nB\nB\nNr\nzadania\n15.\n16.\n17.\n18.\n19.\n20.\n21.\n22.\n23.\n24.\n25.\n26.\n27.\n28.\nOdp.\nA\nA\nD\nB\nC\nB\nB\nB\nD\nC\nB\nB\nC\nD\nZADANIA OTWARTE","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[y = \\frac{2}{3}x + \\frac{5}{3}\\]\n\n## Sposób 1 - wzór na równanie prostej przez dwa punkty\n\nMamy dwa punkty: \\(A = (-4, -1)\\) i \\(B = (5, 5)\\).\n\n**Krok 1: wyznacz współczynnik kierunkowy \\(a\\)**\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{5 - (-1)}{5 - (-4)} = \\frac{6}{9} = \\frac{2}{3}\\]\n\nRównanie prostej ma postać \\(y = \\frac{2}{3}x + b\\).\n\n**Krok 2: wyznacz wyraz wolny \\(b\\)**\n\nPodstawiamy jeden z punktów, np. \\(B = (5, 5)\\):\n\n\\[5 = \\frac{2}{3} \\cdot 5 + b\\]\n\\[5 = \\frac{10}{3} + b\\]\n\\[b = 5 - \\frac{10}{3} = \\frac{15}{3} - \\frac{10}{3} = \\frac{5}{3}\\]\n\n**Wynik:**\n\n\\[\\boxed{y = \\frac{2}{3}x + \\frac{5}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie obu punktów\n\nSprawdzamy, czy oba punkty leżą na prostej \\(y = \\frac{2}{3}x + \\frac{5}{3}\\).\n\n**Punkt \\(A = (-4, -1)\\):**\n\n\\[\\frac{2}{3} \\cdot (-4) + \\frac{5}{3} = -\\frac{8}{3} + \\frac{5}{3} = -\\frac{3}{3} = -1 \\checkmark\\]\n\n**Punkt \\(B = (5, 5)\\):**\n\n\\[\\frac{2}{3} \\cdot 5 + \\frac{5}{3} = \\frac{10}{3} + \\frac{5}{3} = \\frac{15}{3} = 5 \\checkmark\\]\n\nOba punkty spełniają równanie - wynik poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy wyznaczamy ze wzoru (różnica rzędnych do różnicy odciętych):\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a = \\frac{2}{3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Błędnie policzono \\(a = \\frac{6}{6} = 1\\) (wzięto \\(x_B - x_A = 9\\) jako \\(6\\), zgubiając znak przy \\(-4\\)) - potem wyznaczono \\(b = 3\\) |\n| C | Poprawnie policzono \\(a = 1\\) (ten sam błąd co w A), ale wyznaczono \\(b = -3\\) podstawiając inny punkt |\n| D | Poprawnie policzono \\(a = \\frac{2}{3}\\), ale przy wyznaczaniu \\(b\\) podstawiono punkt \\(A = (-4,-1)\\) i popełniono błąd rachunkowy: \\(-1 = \\frac{2}{3} \\cdot (-4) + b \\Rightarrow b = -1 + \\frac{8}{3} = \\frac{5}{3}\\) - ta ścieżka daje \\(\\frac{5}{3}\\), więc D (\\(\\frac{11}{3}\\)) wynika z błędu znaku: liczenia \\(b = -1 - \\frac{8}{3}\\) zamiast \\(-1 + \\frac{8}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu różnic pamiętaj o znakach ujemnych! \\(x_B - x_A = 5 - (-4) = 9\\), **nie** \\(5 - 4 = 1\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(b\\) wyznaczaj po policzeniu \\(a\\) - podstawiaj DOWOLNY z dwóch danych punktów. Oba powinny dać ten sam wynik. Jeśli nie dają - błąd jest w \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamek \\(\\frac{6}{9}\\) musisz skrócić do \\(\\frac{2}{3}\\). Jeśli zostawisz \\(\\frac{6}{9}\\), dalsze obliczenia będą utrudnione i łatwo się pomylić przy wyznaczaniu \\(b\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy i punkt\n\\(a = \\dfrac{5 - (-1)}{5 - (-4)} = \\dfrac{6}{9} = \\dfrac{2}{3}\\).\nZ punktu \\((5, 5)\\): \\(5 = \\tfrac{2}{3}\\cdot 5 + b \\Rightarrow b = 5 - \\tfrac{10}{3} = \\tfrac{5}{3}\\).\nRównanie: \\(y = \\tfrac{2}{3}x + \\tfrac{5}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie obu punktów\nDla B: \\((5,5)\\): \\(\\tfrac{10}{3} + \\tfrac{5}{3} = \\tfrac{15}{3} = 5\\) ✓. \\((-4,-1)\\): \\(-\\tfrac{8}{3} + \\tfrac{5}{3} = -1\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(y = x + 3\\)** - błędny współczynnik \\(a = 1\\).\n- **C. \\(y = x - 3\\)** - jak A plus błąd \\(b\\).\n- **D. \\(y = \\tfrac{2}{3}x + \\tfrac{11}{3}\\)** - nieprawidłowe \\(b\\).\n\n**Zasada:** \\(a = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\), potem podstawić punkt do \\(y = ax + b\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>Prosta przechodząca przez punkty (-4, -1) oraz (5, 5) ma równanie<br>A. 𝑦= 𝑥+ 3<br>B. 𝑦= 2<br>3 𝑥+ 5<br>3<br>C. 𝑦= 𝑥-3<br>D. 𝑦= 2<br>3 𝑥+ 11<br>3<br>Rozwiązanie zadania. Prosta przechodząca przez punkty (-4,-1) oraz (5,5) ma równanie A. y=x+3 B. y=2/3x + 5/3 C. y=x-3 D. y = 2/3x + 11/3</p>","answer_text_html":"<p>21 czerwca 2021 r.<br>ZADANIA ZAMKNIĘTE<br>Nr<br>zadania<br>1.<br>2.<br>3.<br>4.<br>5.<br>6.<br>7.<br>8.<br>9.<br>10.<br>11.<br>12.<br>13.<br>14.<br>Odp.<br>D<br>B<br>C<br>B<br>A<br>B<br>A<br>A<br>C<br>B<br>D<br>C<br>B<br>B<br>Nr<br>zadania<br>15.<br>16.<br>17.<br>18.<br>19.<br>20.<br>21.<br>22.<br>23.<br>24.<br>25.<br>26.<br>27.<br>28.<br>Odp.<br>A<br>A<br>D<br>B<br>C<br>B<br>B<br>B<br>D<br>C<br>B<br>B<br>C<br>D<br>ZADANIA OTWARTE</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\[y = \\frac{2}{3}x + \\frac{5}{3}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - wzór na równanie prostej przez dwa punkty</h4>\n<p>Mamy dwa punkty: \\(A = (-4, -1)\\) i \\(B = (5, 5)\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: wyznacz współczynnik kierunkowy \\(a\\)</strong></p>\n<p>\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{5 - (-1)}{5 - (-4)} = \\frac{6}{9} = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p>Równanie prostej ma postać \\(y = \\frac{2}{3}x + b\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: wyznacz wyraz wolny \\(b\\)</strong></p>\n<p>Podstawiamy jeden z punktów, np. \\(B = (5, 5)\\):</p>\n<p>\\[5 = \\frac{2}{3} \\cdot 5 + b\\]<br>\\[5 = \\frac{10}{3} + b\\]<br>\\[b = 5 - \\frac{10}{3} = \\frac{15}{3} - \\frac{10}{3} = \\frac{5}{3}\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong></p>\n<p>\\[\\boxed{y = \\frac{2}{3}x + \\frac{5}{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie obu punktów</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy oba punkty leżą na prostej \\(y = \\frac{2}{3}x + \\frac{5}{3}\\).</p>\n<p><strong>Punkt \\(A = (-4, -1)\\):</strong></p>\n<p>\\[\\frac{2}{3} \\cdot (-4) + \\frac{5}{3} = -\\frac{8}{3} + \\frac{5}{3} = -\\frac{3}{3} = -1 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Punkt \\(B = (5, 5)\\):</strong></p>\n<p>\\[\\frac{2}{3} \\cdot 5 + \\frac{5}{3} = \\frac{10}{3} + \\frac{5}{3} = \\frac{15}{3} = 5 \\checkmark\\]</p>\n<p>Oba punkty spełniają równanie - wynik poprawny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy wyznaczamy ze wzoru (różnica rzędnych do różnicy odciętych):<br>\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a = \\frac{2}{3}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Błędnie policzono \\(a = \\frac{6}{6} = 1\\) (wzięto \\(x_B - x_A = 9\\) jako \\(6\\), zgubiając znak przy \\(-4\\)) - potem wyznaczono \\(b = 3\\) |<br>| C | Poprawnie policzono \\(a = 1\\) (ten sam błąd co w A), ale wyznaczono \\(b = -3\\) podstawiając inny punkt |<br>| D | Poprawnie policzono \\(a = \\frac{2}{3}\\), ale przy wyznaczaniu \\(b\\) podstawiono punkt \\(A = (-4,-1)\\) i popełniono błąd rachunkowy: \\(-1 = \\frac{2}{3} \\cdot (-4) + b \\Rightarrow b = -1 + \\frac{8}{3} = \\frac{5}{3}\\) - ta ścieżka daje \\(\\frac{5}{3}\\), więc D (\\(\\frac{11}{3}\\)) wynika z błędu znaku: liczenia \\(b = -1 - \\frac{8}{3}\\) zamiast \\(-1 + \\frac{8}{3}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu różnic pamiętaj o znakach ujemnych! \\(x_B - x_A = 5 - (-4) = 9\\), <strong>nie</strong> \\(5 - 4 = 1\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyraz wolny \\(b\\) wyznaczaj po policzeniu \\(a\\) - podstawiaj DOWOLNY z dwóch danych punktów. Oba powinny dać ten sam wynik. Jeśli nie dają - błąd jest w \\(a\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ułamek \\(\\frac{6}{9}\\) musisz skrócić do \\(\\frac{2}{3}\\). Jeśli zostawisz \\(\\frac{6}{9}\\), dalsze obliczenia będą utrudnione i łatwo się pomylić przy wyznaczaniu \\(b\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy i punkt</h5>\n<p>\\(a = \\dfrac{5 - (-1)}{5 - (-4)} = \\dfrac{6}{9} = \\dfrac{2}{3}\\).<br>Z punktu \\((5, 5)\\): \\(5 = \\tfrac{2}{3}\\cdot 5 + b \\Rightarrow b = 5 - \\tfrac{10}{3} = \\tfrac{5}{3}\\).<br>Równanie: \\(y = \\tfrac{2}{3}x + \\tfrac{5}{3}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie obu punktów</h5>\n<p>Dla B: \\((5,5)\\): \\(\\tfrac{10}{3} + \\tfrac{5}{3} = \\tfrac{15}{3} = 5\\) ✓. \\((-4,-1)\\): \\(-\\tfrac{8}{3} + \\tfrac{5}{3} = -1\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(y = x + 3\\)</strong> - błędny współczynnik \\(a = 1\\).</li><li><strong>C. \\(y = x - 3\\)</strong> - jak A plus błąd \\(b\\).</li><li><strong>D. \\(y = \\tfrac{2}{3}x + \\tfrac{11}{3}\\)</strong> - nieprawidłowe \\(b\\).</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> \\(a = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\), potem podstawić punkt do \\(y = ax + b\\).</p>"}]}