{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nProste o równaniach 𝑦= -\n1\n𝑚-2 𝑥-1 i 𝑦= 1\n3 𝑥+ 1 są równoległe. Wynika stąd, że\nA. 𝑚= 5\n3\nB. 𝑚= -1\nC. 𝑚= 7\n3\nD. 𝑚= 5\nRozwiązanie zadania. Proste o równaniach y = -1/m-2 x - 1 i y = 1/3x + 1 są równoległe. Wynika stąd, że A. m = 5/3 B. m=-1 C. m = 7/3 D. m=5","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -1\\)\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie współczynników kierunkowych\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** \\(a_1 = a_2\\) (i różne wyrazy wolne, żeby nie były tą samą prostą).\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n\n\\[a_1 = -\\frac{1}{m-2}, \\qquad a_2 = \\frac{1}{3}\\]\n\nWarunek równoległości:\n\n\\[-\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\]\n\nMnożymy obu stronach przez \\(3(m-2)\\) (zakładając \\(m \\neq 2\\)):\n\n\\[-3 = m - 2\\]\n\n\\[m = -2 + 3 \\cdot (-1) + 2\\]\n\nProściej: przenosimy \\(-2\\) na prawą stronę:\n\n\\[m = -3 + 2 = -1\\]\n\n**Sprawdzenie, czy proste nie są tą samą:** dla \\(m = -1\\):\n- Linia 1: \\(y = \\frac{1}{3}x - 1\\) (wyraz wolny \\(-1\\))\n- Linia 2: \\(y = \\frac{1}{3}x + 1\\) (wyraz wolny \\(+1\\))\n\nWyrazy wolne różne, więc proste są rzeczywiście **równoległe** (nie pokrywają się). ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie \\(m = -1\\)\n\nPodstawiamy \\(m = -1\\) do pierwszego równania:\n\n\\[y = -\\frac{1}{(-1)-2}x - 1 = -\\frac{1}{-3}x - 1 = \\frac{1}{3}x - 1\\]\n\nPorównujemy z drugą prostą \\(y = \\frac{1}{3}x + 1\\):\n\n\\[\\underbrace{\\frac{1}{3}}_{\\text{współ. kier.}} = \\underbrace{\\frac{1}{3}}_{\\text{współ. kier.}} \\checkmark, \\qquad \\underbrace{-1}_{\\text{wyraz wolny}} \\neq \\underbrace{1}_{\\text{wyraz wolny}} \\checkmark\\]\n\nRówne nachylenia i różne wyrazy wolne - proste są **równoległe**. Odpowiedź B potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n\\[a_1 = a_2\\]\n\nczyli równe współczynniki kierunkowe w postaci \\(y = ax + b\\). Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1 do ustawienia równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |\n| **A** \\(\\left(m = \\frac{5}{3}\\right)\\) | Zamiast krzyżowego mnożenia, uczeń \"odwrócił\" ułamek: z \\(-\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\) błędnie zapisał \\(m - 2 = -\\frac{1}{3}\\), stąd \\(m = 2 - \\frac{1}{3} = \\frac{5}{3}\\) |\n| **C** \\(\\left(m = \\frac{7}{3}\\right)\\) | Pominięto minus przed \\(\\frac{1}{m-2}\\) **i** odwrócono ułamek: \\(\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\) → \\(m - 2 = \\frac{1}{3}\\) → \\(m = \\frac{7}{3}\\) |\n| **D** \\((m = 5)\\) | Pominięto minus przed \\(\\frac{1}{m-2}\\): \\(\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\) → \\(m - 2 = 3\\) → \\(m = 5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej to \\(-\\frac{1}{m-2}\\) - nie zapomnij o minusie! To najczęstszy błąd, prowadzący do odpowiedzi D lub C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(m\\) zawsze sprawdź, czy proste **nie pokrywają się** (wyrazy wolne muszą być różne). Gdyby wyraz wolny wyszedł taki sam, proste byłyby tą samą prostą, a nie równoległymi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik \\(m - 2\\) nie może być zerem - gdyby \\(m = 2\\), pierwsza prosta byłaby pionowa (nieokreślony współczynnik kierunkowy), co wykluczamy już na starcie.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych\nProste równoległe: \\(-\\dfrac{1}{m-2} = \\dfrac{1}{3}\\).\n\\(-3 = m - 2 \\Rightarrow m = -1\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(m = -1\\): \\(-\\tfrac{1}{-1-2} = -\\tfrac{1}{-3} = \\tfrac{1}{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m = \\tfrac{5}{3}\\):** \\(-\\tfrac{1}{\\tfrac{5}{3}-2} = -\\tfrac{1}{-\\tfrac{1}{3}} = 3 \\ne \\tfrac{1}{3}\\).\n- **C. \\(m = \\tfrac{7}{3}\\):** \\(-\\tfrac{1}{\\tfrac{1}{3}} = -3 \\ne \\tfrac{1}{3}\\).\n- **D. \\(m = 5\\):** \\(-\\tfrac{1}{3} \\ne \\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Uwaga:** znak minus przed \\(\\tfrac{1}{m-2}\\) jest kluczowy.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Proste o równaniach 𝑦= -<br>1<br>𝑚-2 𝑥-1 i 𝑦= 1<br>3 𝑥+ 1 są równoległe. Wynika stąd, że<br>A. 𝑚= 5<br>3<br>B. 𝑚= -1<br>C. 𝑚= 7<br>3<br>D. 𝑚= 5<br>Rozwiązanie zadania. Proste o równaniach y = -1/m-2 x - 1 i y = 1/3x + 1 są równoległe. Wynika stąd, że A. m = 5/3 B. m=-1 C. m = 7/3 D. m=5</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -1\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przyrównanie współczynników kierunkowych</h4>\n<p>Dwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są <strong>równoległe</strong>, gdy mają <strong>równe współczynniki kierunkowe</strong> \\(a_1 = a_2\\) (i różne wyrazy wolne, żeby nie były tą samą prostą).</p>\n<p>Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:</p>\n<p>\\[a_1 = -\\frac{1}{m-2}, \\qquad a_2 = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>Warunek równoległości:</p>\n<p>\\[-\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>Mnożymy obu stronach przez \\(3(m-2)\\) (zakładając \\(m \\neq 2\\)):</p>\n<p>\\[-3 = m - 2\\]</p>\n<p>\\[m = -2 + 3 \\cdot (-1) + 2\\]</p>\n<p>Prościej: przenosimy \\(-2\\) na prawą stronę:</p>\n<p>\\[m = -3 + 2 = -1\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie, czy proste nie są tą samą:</strong> dla \\(m = -1\\):</p>\n<ul><li>Linia 1: \\(y = \\frac{1}{3}x - 1\\) (wyraz wolny \\(-1\\))</li><li>Linia 2: \\(y = \\frac{1}{3}x + 1\\) (wyraz wolny \\(+1\\))</li></ul>\n<p>Wyrazy wolne różne, więc proste są rzeczywiście <strong>równoległe</strong> (nie pokrywają się). ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie \\(m = -1\\)</h4>\n<p>Podstawiamy \\(m = -1\\) do pierwszego równania:</p>\n<p>\\[y = -\\frac{1}{(-1)-2}x - 1 = -\\frac{1}{-3}x - 1 = \\frac{1}{3}x - 1\\]</p>\n<p>Porównujemy z drugą prostą \\(y = \\frac{1}{3}x + 1\\):</p>\n<p>\\[\\underbrace{\\frac{1}{3}}<em>{\\text{współ. kier.}} = \\underbrace{\\frac{1}{3}}</em>{\\text{współ. kier.}} \\checkmark, \\qquad \\underbrace{-1}<em>{\\text{wyraz wolny}} \\neq \\underbrace{1}</em>{\\text{wyraz wolny}} \\checkmark\\]</p>\n<p>Równe nachylenia i różne wyrazy wolne - proste są <strong>równoległe</strong>. Odpowiedź B potwierdzona.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek równoległości prostych:</p>\n<p>\\[a_1 = a_2\\]</p>\n<p>czyli równe współczynniki kierunkowe w postaci \\(y = ax + b\\). Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1 do ustawienia równania.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |<br>| <strong>A</strong> \\(\\left(m = \\frac{5}{3}\\right)\\) | Zamiast krzyżowego mnożenia, uczeń &quot;odwrócił&quot; ułamek: z \\(-\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\) błędnie zapisał \\(m - 2 = -\\frac{1}{3}\\), stąd \\(m = 2 - \\frac{1}{3} = \\frac{5}{3}\\) |<br>| <strong>C</strong> \\(\\left(m = \\frac{7}{3}\\right)\\) | Pominięto minus przed \\(\\frac{1}{m-2}\\) <strong>i</strong> odwrócono ułamek: \\(\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\) → \\(m - 2 = \\frac{1}{3}\\) → \\(m = \\frac{7}{3}\\) |<br>| <strong>D</strong> \\((m = 5)\\) | Pominięto minus przed \\(\\frac{1}{m-2}\\): \\(\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\) → \\(m - 2 = 3\\) → \\(m = 5\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej to \\(-\\frac{1}{m-2}\\) - nie zapomnij o minusie! To najczęstszy błąd, prowadzący do odpowiedzi D lub C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po znalezieniu \\(m\\) zawsze sprawdź, czy proste <strong>nie pokrywają się</strong> (wyrazy wolne muszą być różne). Gdyby wyraz wolny wyszedł taki sam, proste byłyby tą samą prostą, a nie równoległymi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mianownik \\(m - 2\\) nie może być zerem - gdyby \\(m = 2\\), pierwsza prosta byłaby pionowa (nieokreślony współczynnik kierunkowy), co wykluczamy już na starcie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych</h5>\n<p>Proste równoległe: \\(-\\dfrac{1}{m-2} = \\dfrac{1}{3}\\).<br>\\(-3 = m - 2 \\Rightarrow m = -1\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>\\(m = -1\\): \\(-\\tfrac{1}{-1-2} = -\\tfrac{1}{-3} = \\tfrac{1}{3}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(m = \\tfrac{5}{3}\\):</strong> \\(-\\tfrac{1}{\\tfrac{5}{3}-2} = -\\tfrac{1}{-\\tfrac{1}{3}} = 3 \\ne \\tfrac{1}{3}\\).</li><li><strong>C. \\(m = \\tfrac{7}{3}\\):</strong> \\(-\\tfrac{1}{\\tfrac{1}{3}} = -3 \\ne \\tfrac{1}{3}\\).</li><li><strong>D. \\(m = 5\\):</strong> \\(-\\tfrac{1}{3} \\ne \\tfrac{1}{3}\\).</li></ul>\n<p><strong>Uwaga:</strong> znak minus przed \\(\\tfrac{1}{m-2}\\) jest kluczowy.</p>"}]}