{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW prostokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 dane są wierzchołki 𝐶= (-3, 1) oraz 𝐷= (2, 1). Bok 𝐴𝐷 ma\ndługość 6. Pole tego prostokąta jest równe\nA. 6√29\nB. 12√2\nC. 24\nD. 30\n120°\n12\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPole prostokąta \\(ABCD\\) wynosi **\\(30\\)**.\n\n## Sposób 1 - obliczenie boków z układu współrzędnych\n\n**Zaczynamy od wyznaczenia długości boku \\(CD\\).**\n\nWierzchołki \\(C = (-3, 1)\\) i \\(D = (2, 1)\\) mają tę samą współrzędną \\(y = 1\\), więc odcinek \\(CD\\) jest poziomy.\n\n\\[|CD| = |2 - (-3)| = |5| = 5\\]\n\n**Teraz identyfikujemy boki prostokąta.**\n\nW prostokącie \\(ABCD\\) wierzchołki są kolejne, więc:\n- \\(CD\\) i \\(AB\\) to **boki równoległe** (podstawy)\n- \\(AD\\) i \\(BC\\) to **boki równoległe** (ramiona)\n\nDane jest, że \\(|AD| = 6\\).\n\n**Obliczamy pole prostokąta:**\n\n\\[P = |CD| \\cdot |AD| = 5 \\cdot 6 = 30\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez współrzędne wszystkich wierzchołków\n\nSkoro \\(CD\\) leży na prostej \\(y = 1\\) i \\(|AD| = 6\\), to boki \\(AD\\) i \\(BC\\) są prostopadłe do \\(CD\\), czyli pionowe.\n\nWierzchołek \\(D = (2, 1)\\), a \\(|AD| = 6\\), więc \\(A\\) leży nad lub pod \\(D\\):\n\\[A = (2, 1 + 6) = (2, 7) \\quad \\text{lub} \\quad A = (2, 1 - 6) = (2, -5)\\]\n\nWierzchołek \\(C = (-3, 1)\\), więc \\(B\\) ma tę samą współrzędną \\(x\\) co \\(C\\):\n\\[B = (-3, 7) \\quad \\text{lub} \\quad B = (-3, -5)\\]\n\nSprawdzamy pole:\n\\[|AB| = |(-3) - 2| = 5\\]\n\\[|AD| = 6\\]\n\\[P = 5 \\cdot 6 = \\mathbf{30}\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\nDla odcinka \\(CD\\) - ponieważ \\(y_C = y_D\\), wzór upraszcza się do:\n\\[|CD| = |x_D - x_C| = |2 - (-3)| = 5\\]\n\nPole prostokąta wynika z podstawowego wzoru planimetrii (dział 10, s. 20):\n\\[P = a \\cdot b\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości sąsiednich boków.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(6\\sqrt{29}\\) - prawdopodobnie obliczono długość przekątnej \\(|CD|\\) ze wzoru: \\(\\sqrt{5^2 + 2^2} = \\sqrt{29}\\) i pomnożono przez 6, myląc przekątną z bokiem |\n| B | \\(12\\sqrt{2}\\) - błąd przy wyznaczaniu \\(|CD|\\), np. użycie wzoru \\(\\sqrt{(-3)^2 + 1^2}\\) zamiast różnicy współrzędnych \\(x\\) |\n| C | \\(24\\) - prawdopodobnie przyjęto \\(|CD| = 4\\) zamiast \\(5\\) (np. zliczając \"kroki\" od \\(-3\\) do \\(2\\) i pomijając jeden przedział) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy oba punkty mają tę samą współrzędną \\(y\\), długość odcinka to po prostu **różnica współrzędnych \\(x\\)**, nie trzeba używać pełnego wzoru na odległość. Łatwo się tu pomylić i użyć samej wartości współrzędnej zamiast różnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W prostokącie \\(ABCD\\) kolejność liter jest ważna - \\(AB, BC, CD, DA\\) to boki, a \\(AC, BD\\) to przekątne. Nie mylmy, który bok jest dany!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczytywaniu \\(|2 - (-3)|\\) pamiętaj o podwójnym minusie: \\(2 - (-3) = 2 + 3 = 5\\), nie \\(2 - 3 = -1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Bok CD i pole\n\\(|CD| = \\sqrt{(2-(-3))^2 + (1-1)^2} = \\sqrt{25} = 5\\).\nBok \\(AD = 6\\). Pole prostokąta: \\(P = 5 \\cdot 6 = 30\\).\n\n### Sposób 2 - Na rysunku\nCD pozioma (stała y = 1), długość 5. Prostopadły bok AD ma długość 6. Pole = \\(5\\cdot 6 = 30\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\sqrt{29}\\)** - błędna odległość.\n- **B. \\(12\\sqrt 2\\)** - błąd rachunkowy.\n- **C. \\(24\\)** - \\(4\\cdot 6\\), błąd długości CD.\n\n**Zasada:** \\(P_{\\text{prostokąt}} = a\\cdot b\\), gdzie boki są prostopadłe.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
W prostokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 dane są wierzchołki 𝐶= (-3, 1) oraz 𝐷= (2, 1). Bok 𝐴𝐷 ma
długość 6. Pole tego prostokąta jest równe
A. 6√29
B. 12√2
C. 24
D. 30
120°
12

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Pole prostokąta \\(ABCD\\) wynosi \\(30\\).

\n

Sposób 1 - obliczenie boków z układu współrzędnych

\n

Zaczynamy od wyznaczenia długości boku \\(CD\\).

\n

Wierzchołki \\(C = (-3, 1)\\) i \\(D = (2, 1)\\) mają tę samą współrzędną \\(y = 1\\), więc odcinek \\(CD\\) jest poziomy.

\n

\\[|CD| = |2 - (-3)| = |5| = 5\\]

\n

Teraz identyfikujemy boki prostokąta.

\n

W prostokącie \\(ABCD\\) wierzchołki są kolejne, więc:

\n\n

Dane jest, że \\(|AD| = 6\\).

\n

Obliczamy pole prostokąta:

\n

\\[P = |CD| \\cdot |AD| = 5 \\cdot 6 = 30\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez współrzędne wszystkich wierzchołków

\n

Skoro \\(CD\\) leży na prostej \\(y = 1\\) i \\(|AD| = 6\\), to boki \\(AD\\) i \\(BC\\) są prostopadłe do \\(CD\\), czyli pionowe.

\n

Wierzchołek \\(D = (2, 1)\\), a \\(|AD| = 6\\), więc \\(A\\) leży nad lub pod \\(D\\):
\\[A = (2, 1 + 6) = (2, 7) \\quad \\text{lub} \\quad A = (2, 1 - 6) = (2, -5)\\]

\n

Wierzchołek \\(C = (-3, 1)\\), więc \\(B\\) ma tę samą współrzędną \\(x\\) co \\(C\\):
\\[B = (-3, 7) \\quad \\text{lub} \\quad B = (-3, -5)\\]

\n

Sprawdzamy pole:
\\[|AB| = |(-3) - 2| = 5\\]
\\[|AD| = 6\\]
\\[P = 5 \\cdot 6 = \\mathbf{30}\\]

\n

Wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]

\n

Dla odcinka \\(CD\\) - ponieważ \\(y_C = y_D\\), wzór upraszcza się do:
\\[|CD| = |x_D - x_C| = |2 - (-3)| = 5\\]

\n

Pole prostokąta wynika z podstawowego wzoru planimetrii (dział 10, s. 20):
\\[P = a \\cdot b\\]
gdzie \\(a, b\\) to długości sąsiednich boków.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | \\(6\\sqrt{29}\\) - prawdopodobnie obliczono długość przekątnej \\(|CD|\\) ze wzoru: \\(\\sqrt{5^2 + 2^2} = \\sqrt{29}\\) i pomnożono przez 6, myląc przekątną z bokiem |
| B | \\(12\\sqrt{2}\\) - błąd przy wyznaczaniu \\(|CD|\\), np. użycie wzoru \\(\\sqrt{(-3)^2 + 1^2}\\) zamiast różnicy współrzędnych \\(x\\) |
| C | \\(24\\) - prawdopodobnie przyjęto \\(|CD| = 4\\) zamiast \\(5\\) (np. zliczając "kroki" od \\(-3\\) do \\(2\\) i pomijając jeden przedział) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Gdy oba punkty mają tę samą współrzędną \\(y\\), długość odcinka to po prostu różnica współrzędnych \\(x\\), nie trzeba używać pełnego wzoru na odległość. Łatwo się tu pomylić i użyć samej wartości współrzędnej zamiast różnicy.
\n
⚠️ Uwaga: W prostokącie \\(ABCD\\) kolejność liter jest ważna - \\(AB, BC, CD, DA\\) to boki, a \\(AC, BD\\) to przekątne. Nie mylmy, który bok jest dany!
\n
⚠️ Uwaga: Przy odczytywaniu \\(|2 - (-3)|\\) pamiętaj o podwójnym minusie: \\(2 - (-3) = 2 + 3 = 5\\), nie \\(2 - 3 = -1\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Bok CD i pole
\n

\\(|CD| = \\sqrt{(2-(-3))^2 + (1-1)^2} = \\sqrt{25} = 5\\).
Bok \\(AD = 6\\). Pole prostokąta: \\(P = 5 \\cdot 6 = 30\\).

\n
Sposób 2 - Na rysunku
\n

CD pozioma (stała y = 1), długość 5. Prostopadły bok AD ma długość 6. Pole = \\(5\\cdot 6 = 30\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: \\(P_{\\text{prostokąt}} = a\\cdot b\\), gdzie boki są prostopadłe.

"}]}