{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nObrazem prostej o równaniu 𝑥-2𝑦+ 3 = 0 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑦 jest prosta\no równaniu\nA. -𝑥+ 2𝑦+ 3 = 0\nB. -𝑥+ 2𝑦-3 = 0\nC. 𝑥+ 2𝑦-3 = 0\nD. 𝑥+ 2𝑦+ 3 = 0\nRozwiązanie zadania. Obrazem prostej o równaniu x-2y+3=0 w symetrii osiowej względem osi Oy jest prosta o równaniu A. -x+2y+3=0 B. -x+2y-3=0 C. x+2y-3=0 D. x+2y+3=0","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nProsta o równaniu \\(x + 2y - 3 = 0\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie transformacji\n\n**Symetria osiowa względem osi \\(Oy\\)** wysyła każdy punkt \\((x, y)\\) na punkt \\((-x, y)\\).\n\nJeśli punkt \\((x, y)\\) leży na prostej obrazowej, to jego **praobraz** \\((-x, y)\\) leży na prostej oryginalnej.\n\nPodstawiamy \\(-x\\) w miejsce \\(x\\) do równania \\(x - 2y + 3 = 0\\):\n\n\\[(-x) - 2y + 3 = 0\\]\n\n\\[-x - 2y + 3 = 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\):\n\n\\[\\boxed{x + 2y - 3 = 0}\\]\n\nTo właśnie odpowiedź **C**.\n\n## Sposób 2 - Punkty kontrolne\n\nWeźmy dwa konkretne punkty leżące na prostej \\(x - 2y + 3 = 0\\) i odwzorujmy je symetrycznie.\n\n**Punkt 1:** niech \\(y = 0\\):\n\\[x - 0 + 3 = 0 \\implies x = -3\\]\nPunkt \\((-3,\\, 0)\\) po symetrii wzgl. \\(Oy\\) daje \\((3,\\, 0)\\).\n\n**Punkt 2:** niech \\(y = 1\\):\n\\[x - 2 + 3 = 0 \\implies x = -1\\]\nPunkt \\((-1,\\, 1)\\) po symetrii wzgl. \\(Oy\\) daje \\((1,\\, 1)\\).\n\nSzukamy równania prostej przez \\((3, 0)\\) i \\((1, 1)\\):\n\n\\[a = \\frac{1 - 0}{1 - 3} = \\frac{1}{-2} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n\\[y - 0 = -\\frac{1}{2}(x - 3)\\]\n\n\\[2y = -x + 3\\]\n\n\\[x + 2y - 3 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Dodatkowa obserwacja:** punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) (przy \\(x = 0\\)) powinien się zachować (oś \\(Oy\\) jest osią symetrii):\n- Oryginalna prosta: \\(0 - 2y + 3 = 0 \\Rightarrow y = \\frac{3}{2}\\)\n- Odpowiedź C: \\(0 + 2y - 3 = 0 \\Rightarrow y = \\frac{3}{2}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nRównanie ogólne prostej: \\(Ax + By + C = 0\\)\n\nW tym zadaniu korzystamy z **definicji symetrii osiowej**: obraz punktu \\((x, y)\\) w symetrii wzgl. \\(Oy\\) to punkt \\((-x, y)\\). To nie jest wzór z karty wprost, ale wynika z definicji układu współrzędnych. Transformacja jest elementarna.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Równanie | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | \\(-x + 2y + 3 = 0\\) | Zamiana znaku przy \\(x\\), ale bez zamiany znaku przy \\(y\\) - jakby wykonano odwzorowanie przez środek układu \\((x \\to -x,\\; y \\to -y)\\), czyli symetrię środkową, nie osiową |\n| **B** | \\(-x + 2y - 3 = 0\\) | **Pułapka!** To jest dokładnie ta sama prosta co oryginalna - \\(-x + 2y - 3 = 0\\) to \\(x - 2y + 3 = 0\\) pomnożone przez \\(-1\\). Uczeń \"robi coś\" z równaniem, ale zostaje w miejscu |\n| **D** | \\(x + 2y + 3 = 0\\) | Wykonano symetrię wzgl. **osi \\(Ox\\)** zamiast \\(Oy\\): podstawiono \\(-y\\) w miejsce \\(y\\), przez co \\(-2y\\) zamieniło się w \\(+2y\\), a stała się nie zmieniła |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem **\\(Oy\\)** to zastąpienie \\(x \\to -x\\), a **\\(Ox\\)** to \\(y \\to -y\\). Łatwo pomylić - zapamiętaj: odbijamy względem osi, więc zmieniamy tę współrzędną, która jest **prostopadła** do osi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B wygląda \"inaczej\" od oryginału, ale po pomnożeniu przez \\(-1\\) jest identyczna. Zawsze upraszczaj równanie prostej przed porównaniem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybka kontrola - punkt przecięcia z osią symetrii \\(Oy\\) musi być wspólny dla prostej wyjściowej i obrazowej. Jeśli y-przecięcia się różnią, odpowiedź jest błędna.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Zamiana \\(x \\to -x\\)\nSymetria osiowa względem osi \\(Oy\\) zamienia \\(x\\) na \\(-x\\). Zastępujemy \\(x\\) przez \\(-x\\) w równaniu oryginału:\n\\(-x - 2y + 3 = 0\\).\nMnożymy przez \\(-1\\) (równoważne): \\(x + 2y - 3 = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Przez dwa punkty\nNa oryginalnej prostej: \\((0, \\tfrac{3}{2})\\) (bo \\(0 - 3 + 3 = 0\\)) i \\((-3, 0)\\).\nPo odbiciu: \\((0, \\tfrac{3}{2})\\) i \\((3, 0)\\).\nRównanie: \\(\\tfrac{x}{3} + \\tfrac{y}{3/2} = 1 \\Rightarrow \\tfrac{x}{3} + \\tfrac{2y}{3} = 1 \\Rightarrow x + 2y = 3 \\Rightarrow x + 2y - 3 = 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-x + 2y + 3 = 0\\)** - to zamiana \\(y \\to -y\\), czyli symetria względem osi \\(Ox\\).\n- **B. \\(-x + 2y - 3 = 0\\)** - to samo co A z innym znakiem.\n- **D. \\(x + 2y + 3 = 0\\)** - błąd znaku wyrazu wolnego.\n\n**Zasada:** symetria względem osi \\(Oy\\): \\(x \\to -x\\), \\(y\\) niezmienne.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"analityczna","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
Obrazem prostej o równaniu 𝑥-2𝑦+ 3 = 0 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑦 jest prosta
o równaniu
A. -𝑥+ 2𝑦+ 3 = 0
B. -𝑥+ 2𝑦-3 = 0
C. 𝑥+ 2𝑦-3 = 0
D. 𝑥+ 2𝑦+ 3 = 0
Rozwiązanie zadania. Obrazem prostej o równaniu x-2y+3=0 w symetrii osiowej względem osi Oy jest prosta o równaniu A. -x+2y+3=0 B. -x+2y-3=0 C. x+2y-3=0 D. x+2y+3=0

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Prosta o równaniu \\(x + 2y - 3 = 0\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie transformacji

\n

Symetria osiowa względem osi \\(Oy\\) wysyła każdy punkt \\((x, y)\\) na punkt \\((-x, y)\\).

\n

Jeśli punkt \\((x, y)\\) leży na prostej obrazowej, to jego praobraz \\((-x, y)\\) leży na prostej oryginalnej.

\n

Podstawiamy \\(-x\\) w miejsce \\(x\\) do równania \\(x - 2y + 3 = 0\\):

\n

\\[(-x) - 2y + 3 = 0\\]

\n

\\[-x - 2y + 3 = 0\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(-1\\):

\n

\\[\\boxed{x + 2y - 3 = 0}\\]

\n

To właśnie odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - Punkty kontrolne

\n

Weźmy dwa konkretne punkty leżące na prostej \\(x - 2y + 3 = 0\\) i odwzorujmy je symetrycznie.

\n

Punkt 1: niech \\(y = 0\\):
\\[x - 0 + 3 = 0 \\implies x = -3\\]
Punkt \\((-3,\\, 0)\\) po symetrii wzgl. \\(Oy\\) daje \\((3,\\, 0)\\).

\n

Punkt 2: niech \\(y = 1\\):
\\[x - 2 + 3 = 0 \\implies x = -1\\]
Punkt \\((-1,\\, 1)\\) po symetrii wzgl. \\(Oy\\) daje \\((1,\\, 1)\\).

\n

Szukamy równania prostej przez \\((3, 0)\\) i \\((1, 1)\\):

\n

\\[a = \\frac{1 - 0}{1 - 3} = \\frac{1}{-2} = -\\frac{1}{2}\\]

\n

\\[y - 0 = -\\frac{1}{2}(x - 3)\\]

\n

\\[2y = -x + 3\\]

\n

\\[x + 2y - 3 = 0 \\checkmark\\]

\n

Dodatkowa obserwacja: punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) (przy \\(x = 0\\)) powinien się zachować (oś \\(Oy\\) jest osią symetrii):

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Równanie ogólne prostej: \\(Ax + By + C = 0\\)

\n

W tym zadaniu korzystamy z definicji symetrii osiowej: obraz punktu \\((x, y)\\) w symetrii wzgl. \\(Oy\\) to punkt \\((-x, y)\\). To nie jest wzór z karty wprost, ale wynika z definicji układu współrzędnych. Transformacja jest elementarna.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Równanie | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | \\(-x + 2y + 3 = 0\\) | Zamiana znaku przy \\(x\\), ale bez zamiany znaku przy \\(y\\) - jakby wykonano odwzorowanie przez środek układu \\((x \\to -x,\\; y \\to -y)\\), czyli symetrię środkową, nie osiową |
| B | \\(-x + 2y - 3 = 0\\) | Pułapka! To jest dokładnie ta sama prosta co oryginalna - \\(-x + 2y - 3 = 0\\) to \\(x - 2y + 3 = 0\\) pomnożone przez \\(-1\\). Uczeń "robi coś" z równaniem, ale zostaje w miejscu |
| D | \\(x + 2y + 3 = 0\\) | Wykonano symetrię wzgl. osi \\(Ox\\) zamiast \\(Oy\\): podstawiono \\(-y\\) w miejsce \\(y\\), przez co \\(-2y\\) zamieniło się w \\(+2y\\), a stała się nie zmieniła |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Symetria względem \\(Oy\\) to zastąpienie \\(x \\to -x\\), a \\(Ox\\) to \\(y \\to -y\\). Łatwo pomylić - zapamiętaj: odbijamy względem osi, więc zmieniamy tę współrzędną, która jest prostopadła do osi.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź B wygląda "inaczej" od oryginału, ale po pomnożeniu przez \\(-1\\) jest identyczna. Zawsze upraszczaj równanie prostej przed porównaniem!
\n
⚠️ Uwaga: Szybka kontrola - punkt przecięcia z osią symetrii \\(Oy\\) musi być wspólny dla prostej wyjściowej i obrazowej. Jeśli y-przecięcia się różnią, odpowiedź jest błędna.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Zamiana \\(x \\to -x\\)
\n

Symetria osiowa względem osi \\(Oy\\) zamienia \\(x\\) na \\(-x\\). Zastępujemy \\(x\\) przez \\(-x\\) w równaniu oryginału:
\\(-x - 2y + 3 = 0\\).
Mnożymy przez \\(-1\\) (równoważne): \\(x + 2y - 3 = 0\\).

\n
Sposób 2 - Przez dwa punkty
\n

Na oryginalnej prostej: \\((0, \\tfrac{3}{2})\\) (bo \\(0 - 3 + 3 = 0\\)) i \\((-3, 0)\\).
Po odbiciu: \\((0, \\tfrac{3}{2})\\) i \\((3, 0)\\).
Równanie: \\(\\tfrac{x}{3} + \\tfrac{y}{3/2} = 1 \\Rightarrow \\tfrac{x}{3} + \\tfrac{2y}{3} = 1 \\Rightarrow x + 2y = 3 \\Rightarrow x + 2y - 3 = 0\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: symetria względem osi \\(Oy\\): \\(x \\to -x\\), \\(y\\) niezmienne.

"}]}