{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nGraniastosłup prawidłowy ma 36 krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa 4.\nPole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe\nA. 176\nB. 192\nC. 224\nD. 288\nRozwiązanie zadania. Graniastosłup prawidłowy ma 36 krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa 4. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe A. 176 B. 192 C. 224 D. 288","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(192\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie liczby boków podstawy z liczby krawędzi\n\n**Krok 1: Ile boków ma podstawa?**\n\nGraniastosłup prawidłowy \\(n\\)-kątny ma:\n- \\(n\\) krawędzi dolnej podstawy,\n- \\(n\\) krawędzi górnej podstawy,\n- \\(n\\) krawędzi bocznych (łączących podstawy).\n\nŁącznie: \\(3n\\) krawędzi. Mamy więc równanie:\n\\[3n = 36 \\implies n = 12\\]\n\nGraniastosłup ma podstawę **12-kątną** (dwunastokątną).\n\n**Krok 2: Wymiary**\n\nKażda krawędź ma długość \\(4\\), zatem:\n- bok podstawy: \\(a = 4\\),\n- wysokość graniastosłupa: \\(h = 4\\) (bo krawędzie boczne = krawędzie między podstawami).\n\n**Krok 3: Pole powierzchni bocznej**\n\nPole boczne graniastosłupa prostego = obwód podstawy \\(\\times\\) wysokość:\n\\[P_b = O_p \\cdot h = (12 \\cdot 4) \\cdot 4 = 48 \\cdot 4 = \\boxed{192}\\]\n\n## Sposób 2 - Obliczenie przez sumę prostokątów\n\nPowierzchnia boczna składa się z \\(n = 12\\) prostokątów. Każdy ma:\n- podstawę \\(a = 4\\) (bok wielokąta),\n- wysokość \\(h = 4\\) (krawędź boczna graniastosłupa).\n\nPole jednego prostokąta: \\(4 \\times 4 = 16\\).\n\nPole całkowite boczne:\n\\[P_b = 12 \\cdot 16 = \\boxed{192}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego:\n\\[P_b = O_b \\cdot h\\]\ngdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy, \\(h\\) to wysokość. Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(176\\)) | Przyjęto \\(n = 11\\) - błąd rachunkowy przy dzieleniu \\(36 \\div 3\\), np. od \\(3n = 33\\) |\n| C (\\(224\\)) | Przyjęto \\(n = 14\\) - np. gdy uczeń użył wzoru \\(2n + 8 = 36\\) (pomyłka z innym wielościanem) |\n| D (\\(288\\)) | Przyjęto \\(n = 18\\) - błąd polegający na myśleniu, że **tylko krawędzie podstaw** liczą się do \\(36\\), tj. \\(2n = 36\\), stąd \\(n = 18\\), a \\(P_b = 18 \\cdot 4 \\cdot 4 = 288\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup \\(n\\)-kątny ma **\\(3n\\)** krawędzi (nie \\(2n\\) ani \\(4n\\)). Podstawa, górna ściana i boki dają trzy paczki po \\(n\\) krawędzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro **każda** krawędź ma długość \\(4\\), to zarówno bok podstawy, jak i wysokość graniastosłupa wynosi \\(4\\) - nie wolno użyć jednej wartości dwa razy w różnych rolach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **boczną**, nie **całkowitą** powierzchnię - nie dodawaj pól dwóch podstaw (12-kąta foremnego).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Liczba krawędzi graniastosłupa\nGraniastosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma \\(3n\\) krawędzi (\\(2n\\) na podstawach, \\(n\\) bocznych).\n\\(3n = 36 \\Rightarrow n = 12\\).\nPole boczne = \\(n\\cdot a\\cdot h = 12 \\cdot 4 \\cdot 4 = 192\\).\n\n### Sposób 2 - Prostokąty boczne\n\\(12\\) prostokątów o wymiarach \\(4\\times 4\\): \\(12\\cdot 16 = 192\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(176\\)** - błąd: \\(11\\cdot 16\\).\n- **C. \\(224\\)** - błąd: \\(14\\cdot 16\\).\n- **D. \\(288\\)** - pomyłka \\(18\\cdot 16\\) (pole całkowite?).\n\n**Zasada:** graniastosłup n-kątny ma \\(3n\\) krawędzi.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
Graniastosłup prawidłowy ma 36 krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa 4.
Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe
A. 176
B. 192
C. 224
D. 288
Rozwiązanie zadania. Graniastosłup prawidłowy ma 36 krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa 4. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe A. 176 B. 192 C. 224 D. 288

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(192\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie liczby boków podstawy z liczby krawędzi

\n

Krok 1: Ile boków ma podstawa?

\n

Graniastosłup prawidłowy \\(n\\)-kątny ma:

\n\n

Łącznie: \\(3n\\) krawędzi. Mamy więc równanie:
\\[3n = 36 \\implies n = 12\\]

\n

Graniastosłup ma podstawę 12-kątną (dwunastokątną).

\n

Krok 2: Wymiary

\n

Każda krawędź ma długość \\(4\\), zatem:

\n\n

Krok 3: Pole powierzchni bocznej

\n

Pole boczne graniastosłupa prostego = obwód podstawy \\(\\times\\) wysokość:
\\[P_b = O_p \\cdot h = (12 \\cdot 4) \\cdot 4 = 48 \\cdot 4 = \\boxed{192}\\]

\n

Sposób 2 - Obliczenie przez sumę prostokątów

\n

Powierzchnia boczna składa się z \\(n = 12\\) prostokątów. Każdy ma:

\n\n

Pole jednego prostokąta: \\(4 \\times 4 = 16\\).

\n

Pole całkowite boczne:
\\[P_b = 12 \\cdot 16 = \\boxed{192}\\]

\n

Wynik zgodny - odpowiedź B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego:
\\[P_b = O_b \\cdot h\\]
gdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy, \\(h\\) to wysokość. Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(176\\)) | Przyjęto \\(n = 11\\) - błąd rachunkowy przy dzieleniu \\(36 \\div 3\\), np. od \\(3n = 33\\) |
| C (\\(224\\)) | Przyjęto \\(n = 14\\) - np. gdy uczeń użył wzoru \\(2n + 8 = 36\\) (pomyłka z innym wielościanem) |
| D (\\(288\\)) | Przyjęto \\(n = 18\\) - błąd polegający na myśleniu, że tylko krawędzie podstaw liczą się do \\(36\\), tj. \\(2n = 36\\), stąd \\(n = 18\\), a \\(P_b = 18 \\cdot 4 \\cdot 4 = 288\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Graniastosłup \\(n\\)-kątny ma \\(3n\\) krawędzi (nie \\(2n\\) ani \\(4n\\)). Podstawa, górna ściana i boki dają trzy paczki po \\(n\\) krawędzi.
\n
⚠️ Uwaga: Skoro każda krawędź ma długość \\(4\\), to zarówno bok podstawy, jak i wysokość graniastosłupa wynosi \\(4\\) - nie wolno użyć jednej wartości dwa razy w różnych rolach.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o boczną, nie całkowitą powierzchnię - nie dodawaj pól dwóch podstaw (12-kąta foremnego).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Liczba krawędzi graniastosłupa
\n

Graniastosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma \\(3n\\) krawędzi (\\(2n\\) na podstawach, \\(n\\) bocznych).
\\(3n = 36 \\Rightarrow n = 12\\).
Pole boczne = \\(n\\cdot a\\cdot h = 12 \\cdot 4 \\cdot 4 = 192\\).

\n
Sposób 2 - Prostokąty boczne
\n

\\(12\\) prostokątów o wymiarach \\(4\\times 4\\): \\(12\\cdot 16 = 192\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: graniastosłup n-kątny ma \\(3n\\) krawędzi.

"}]}