{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nWysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 2 razy dłuższa od\nkrawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego\npodstawy jest równy\nA. 1\n2\nB. 4ඥ3\n3\nC. 1\nD.\nඥ3\n4\nRozwiązanie zadania. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 2 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy A. 1/2 B. 4√3/3 C. 1 D. √3/4","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory na pola i uproszczenie\n\n**Oznaczenia:**\nNiech krawędź podstawy = \\(a\\), a wysokość ściany bocznej (apotema boczna) = \\(l = 2a\\).\n\n**Krok 1: Pole powierzchni bocznej**\n\nOstrosłup prawidłowy sześciokątny ma **6 ścian bocznych**, z których każda jest trójkątem równoramiennym o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l = 2a\\).\n\nPole jednej ściany bocznej:\n\\[P_{\\text{bok}} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot 2a = a^2\\]\n\nŁączne pole powierzchni bocznej:\n\\[P_b = 6 \\cdot a^2 = 6a^2\\]\n\n**Krok 2: Pole podstawy (sześciokąt foremny)**\n\nPrawidłowy sześciokąt o boku \\(a\\) składa się z **6 trójkątów równobocznych** o boku \\(a\\):\n\\[P_p = 6 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 3: Stosunek**\n\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{6a^2}{\\dfrac{3a^2\\sqrt{3}}{2}} = 6a^2 \\cdot \\frac{2}{3a^2\\sqrt{3}} = \\frac{12}{3\\sqrt{3}} = \\frac{4}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\)**\n\n## Sposób 2 - Podstawienie konkretnych liczb (weryfikacja)\n\nPrzyjmijmy \\(a = 1\\), zatem \\(l = 2\\).\n\n**Pole boczne:**\n\\[P_b = 6 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 2 = 6\\]\n\n**Pole podstawy:**\n\\[P_p = \\frac{3 \\cdot 1^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\approx \\frac{3 \\cdot 1{,}732}{2} \\approx 2{,}598\\]\n\n**Stosunek:**\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{6}{\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{12}{3\\sqrt{3}} = \\frac{4}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{3}}{3} \\approx \\frac{4 \\cdot 1{,}732}{3} \\approx 2{,}309\\]\n\nSprawdźmy odpowiedź B: \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3} \\approx 2{,}309\\) ✓ - zgadza się.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej ostrosłupa:\n\\[P_b = \\frac{1}{2} \\cdot Ob \\cdot l\\]\ngdzie \\(Ob\\) = obwód podstawy, \\(l\\) = apotema (wysokość ściany bocznej).\nUżyliśmy tego wzoru w rozwinięciu: \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot 6a \\cdot l\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta równobocznego (jeden „plaster\" sześciokąta):\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia pola sześciokąta foremnego jako \\(6 \\cdot \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Odwrócenie stosunku: policzono \\(\\dfrac{P_p}{P_b}\\) zamiast \\(\\dfrac{P_b}{P_p}\\) |\n| C \\(1\\) | Założenie, że oba pola są równe - błędna intuicja bez obliczeń |\n| D \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}\\) | Pomylenie wzoru na pole trójkąta równobocznego \\(\\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) z wynikiem całego stosunku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Wysokość ściany bocznej\" to **nie** wysokość ostrosłupa! To apotema boczna - wysokość trójkątnej ściany bocznej, opuszczona z wierzchołka ostrosłupa na krawędź podstawy. Nie mylić z krawędzią boczną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole sześciokąta foremnego to \\(\\dfrac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\), **nie** \\(a^2\\sqrt{3}\\) ani \\(6a^2\\). Zapamiętaj: sześciokąt = 6 trójkątów równobocznych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{3}}\\) zawsze wymiernij mianownik: \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\). Zostawienie \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{3}}\\) to błąd formalny na maturze.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyliczenie pól\nNiech \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(h_b = 2a\\) - wysokość ściany bocznej.\nPole ściany bocznej (trójkąt): \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot 2a = a^2\\). Sześć ścian: \\(P_b = 6a^2\\).\nPole podstawy (sześciokąt foremny): \\(P_{\\text{pod}} = 6\\cdot \\tfrac{a^2\\sqrt 3}{4} = \\tfrac{3a^2\\sqrt 3}{2}\\).\nStosunek: \\(\\dfrac{P_b}{P_{\\text{pod}}} = \\dfrac{6a^2}{\\tfrac{3a^2\\sqrt 3}{2}} = \\dfrac{12}{3\\sqrt 3} = \\dfrac{4}{\\sqrt 3} = \\dfrac{4\\sqrt 3}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Dla \\(a = 1\\)\n\\(P_b = 6\\cdot \\tfrac{1\\cdot 2}{2} = 6\\). \\(P_{\\text{pod}} = \\tfrac{3\\sqrt 3}{2} \\approx 2{,}598\\).\nStosunek \\(\\approx \\tfrac{6}{2{,}598} \\approx 2{,}309 = \\tfrac{4\\sqrt 3}{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\), C. \\(1\\), D. \\(\\tfrac{\\sqrt 3}{4}\\)** - błędny wzór na pole sześciokąta lub ściany.\n\n**Zasada:** sześciokąt foremny to 6 trójkątów równobocznych o boku \\(a\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-1)
Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 2 razy dłuższa od
krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego
podstawy jest równy
A. 1
2
B. 4ඥ3
3
C. 1
D.
ඥ3
4
Rozwiązanie zadania. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 2 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy A. 1/2 B. 4√3/3 C. 1 D. √3/4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\)

\n

Sposób 1 - Wzory na pola i uproszczenie

\n

Oznaczenia:
Niech krawędź podstawy = \\(a\\), a wysokość ściany bocznej (apotema boczna) = \\(l = 2a\\).

\n

Krok 1: Pole powierzchni bocznej

\n

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma 6 ścian bocznych, z których każda jest trójkątem równoramiennym o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l = 2a\\).

\n

Pole jednej ściany bocznej:
\\[P_{\\text{bok}} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot 2a = a^2\\]

\n

Łączne pole powierzchni bocznej:
\\[P_b = 6 \\cdot a^2 = 6a^2\\]

\n

Krok 2: Pole podstawy (sześciokąt foremny)

\n

Prawidłowy sześciokąt o boku \\(a\\) składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku \\(a\\):
\\[P_p = 6 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Krok 3: Stosunek

\n

\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{6a^2}{\\dfrac{3a^2\\sqrt{3}}{2}} = 6a^2 \\cdot \\frac{2}{3a^2\\sqrt{3}} = \\frac{12}{3\\sqrt{3}} = \\frac{4}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\)

\n

Sposób 2 - Podstawienie konkretnych liczb (weryfikacja)

\n

Przyjmijmy \\(a = 1\\), zatem \\(l = 2\\).

\n

Pole boczne:
\\[P_b = 6 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 2 = 6\\]

\n

Pole podstawy:
\\[P_p = \\frac{3 \\cdot 1^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\approx \\frac{3 \\cdot 1{,}732}{2} \\approx 2{,}598\\]

\n

Stosunek:
\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{6}{\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{12}{3\\sqrt{3}} = \\frac{4}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{3}}{3} \\approx \\frac{4 \\cdot 1{,}732}{3} \\approx 2{,}309\\]

\n

Sprawdźmy odpowiedź B: \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3} \\approx 2{,}309\\) ✓ - zgadza się.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole powierzchni bocznej ostrosłupa:
\\[P_b = \\frac{1}{2} \\cdot Ob \\cdot l\\]
gdzie \\(Ob\\) = obwód podstawy, \\(l\\) = apotema (wysokość ściany bocznej).
Użyliśmy tego wzoru w rozwinięciu: \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot 6a \\cdot l\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pole trójkąta równobocznego (jeden „plaster" sześciokąta):
\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyliśmy do wyznaczenia pola sześciokąta foremnego jako \\(6 \\cdot \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Odwrócenie stosunku: policzono \\(\\dfrac{P_p}{P_b}\\) zamiast \\(\\dfrac{P_b}{P_p}\\) |
| C \\(1\\) | Założenie, że oba pola są równe - błędna intuicja bez obliczeń |
| D \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}\\) | Pomylenie wzoru na pole trójkąta równobocznego \\(\\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) z wynikiem całego stosunku |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: „Wysokość ściany bocznej" to nie wysokość ostrosłupa! To apotema boczna - wysokość trójkątnej ściany bocznej, opuszczona z wierzchołka ostrosłupa na krawędź podstawy. Nie mylić z krawędzią boczną!
\n
⚠️ Uwaga: Pole sześciokąta foremnego to \\(\\dfrac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\), nie \\(a^2\\sqrt{3}\\) ani \\(6a^2\\). Zapamiętaj: sześciokąt = 6 trójkątów równobocznych.
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{3}}\\) zawsze wymiernij mianownik: \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\). Zostawienie \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{3}}\\) to błąd formalny na maturze.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wyliczenie pól
\n

Niech \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(h_b = 2a\\) - wysokość ściany bocznej.
Pole ściany bocznej (trójkąt): \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot 2a = a^2\\). Sześć ścian: \\(P_b = 6a^2\\).
Pole podstawy (sześciokąt foremny): \\(P_{\\text{pod}} = 6\\cdot \\tfrac{a^2\\sqrt 3}{4} = \\tfrac{3a^2\\sqrt 3}{2}\\).
Stosunek: \\(\\dfrac{P_b}{P_{\\text{pod}}} = \\dfrac{6a^2}{\\tfrac{3a^2\\sqrt 3}{2}} = \\dfrac{12}{3\\sqrt 3} = \\dfrac{4}{\\sqrt 3} = \\dfrac{4\\sqrt 3}{3}\\).

\n
Sposób 2 - Dla \\(a = 1\\)
\n

\\(P_b = 6\\cdot \\tfrac{1\\cdot 2}{2} = 6\\). \\(P_{\\text{pod}} = \\tfrac{3\\sqrt 3}{2} \\approx 2{,}598\\).
Stosunek \\(\\approx \\tfrac{6}{2{,}598} \\approx 2{,}309 = \\tfrac{4\\sqrt 3}{3}\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: sześciokąt foremny to 6 trójkątów równobocznych o boku \\(a\\).

"}]}