{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera -\nspółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o 25% więcej niż\npłytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania\npłytki z literą samogłoskową jest równe\nA. 0,75\nB. 0,25\nC. 4\n9\nD. 5\n9\nRozwiązanie zadania. W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera - spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o 25% więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe A. 0,75 B. 0,25 C. 4/9 D. 5/9","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{4}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - Wprowadzenie zmiennej dla samogłosek\n\n**Oznaczamy:** niech liczba płytek z samogłoskami wynosi \\(x\\).\n\nSpółgłosek jest o \\(25\\%\\) więcej niż samogłosek, czyli:\n\\[\\text{liczba spółgłosek} = x + 25\\% \\cdot x = x + \\frac{1}{4}x = \\frac{5}{4}x\\]\n\nŁączna liczba płytek:\n\\[x + \\frac{5}{4}x = \\frac{4}{4}x + \\frac{5}{4}x = \\frac{9}{4}x\\]\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania samogłoski:\n\\[P = \\frac{x}{\\dfrac{9}{4}x} = \\frac{x \\cdot 4}{9x} = \\frac{4}{9}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{4}{9}\\)**\n\n## Sposób 2 - Konkretna liczba płytek (zakładamy przykładowo 4 samogłoski)\n\nPrzyjmijmy, że samogłosek jest \\(4\\) (wygodna liczba do obliczenia \\(25\\%\\)).\n\nSpółgłosek jest o \\(25\\%\\) więcej:\n\\[4 + 25\\% \\cdot 4 = 4 + 1 = 5\\]\n\nŁącznie płytek:\n\\[4 + 5 = 9\\]\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[P = \\frac{4}{9}\\]\n\nWynik niezależny od wybranej liczby startowej - możemy sprawdzić dla \\(8\\) samogłosek:\n- spółgłoski: \\(8 + 2 = 10\\), łącznie: \\(18\\), \\(P = \\frac{8}{18} = \\frac{4}{9}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru: zdarzenie \\(A\\) = wylosowanie samogłoski, \\(|\\Omega|\\) = łączna liczba płytek.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(0{,}75\\) | Uczeń oblicza \\(1 - 0{,}25 = 0{,}75\\), myląc „o 25% więcej\" z „25% wszystkich płytek to spółgłoski\" |\n| B: \\(0{,}25\\) | Uczeń bierze wprost \\(25\\%\\) jako prawdopodobieństwo - bez żadnego rachunku |\n| D: \\(\\dfrac{5}{9}\\) | Uczeń poprawnie wyznacza \\(\\dfrac{9x}{4}\\) płytek, ale liczy prawdopodobieństwo **spółgłoski** zamiast samogłoski: \\(\\frac{5/4 \\cdot x}{9/4 \\cdot x} = \\frac{5}{9}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „O \\(25\\%\\) więcej\" to NIE to samo co „\\(25\\%\\) wszystkich\". Spółgłosek jest \\(\\frac{5}{4}\\) tyle co samogłosek, więc razem mamy \\(\\frac{9}{4}\\) samogłosek - stąd ułamek \\(\\frac{4}{9}\\), a nie \\(\\frac{3}{4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, o co pytamy - zadanie pyta o samogłoski, nie o spółgłoski. Odpowiedź D (\\(\\frac{5}{9}\\)) to właśnie prawdopodobieństwo wylosowania **spółgłoski**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach „o \\(p\\%\\) więcej\" zawsze zapisuj relację algebraicznie: jeśli samogłosek jest \\(x\\), to spółgłosek jest \\(x \\cdot (1 + \\frac{p}{100})\\). Nie skracaj drogi!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Proporcja\nNiech samogłoski = \\(s\\), spółgłoski = \\(1{,}25s = \\tfrac{5}{4}s\\).\nSuma: \\(s + \\tfrac{5}{4}s = \\tfrac{9}{4}s\\).\nPrawdopodobieństwo samogłoski: \\(\\dfrac{s}{\\tfrac{9}{4}s} = \\dfrac{4}{9}\\).\n\n### Sposób 2 - Liczbowo\nNiech samogłosek = 4, spółgłosek = 5 (o 25% więcej). Razem: 9. P = \\(\\tfrac{4}{9}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0{,}75\\), B. \\(0{,}25\\)** - wartości procentowe, nie prawdopodobieństwa.\n- **D. \\(\\tfrac{5}{9}\\)** - to prawdopodobieństwo spółgłoski, nie samogłoski.\n\n**Zasada:** jeśli \\(B = A + 25\\%\\cdot A = 1{,}25A\\), to \\(P(A) = \\tfrac{A}{A + B} = \\tfrac{A}{2{,}25A} = \\tfrac{4}{9}\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera -<br>spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o 25% więcej niż<br>płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania<br>płytki z literą samogłoskową jest równe<br>A. 0,75<br>B. 0,25<br>C. 4<br>9<br>D. 5<br>9<br>Rozwiązanie zadania. W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera - spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o 25% więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe A. 0,75 B. 0,25 C. 4/9 D. 5/9</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{4}{9}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wprowadzenie zmiennej dla samogłosek</h4>\n<p><strong>Oznaczamy:</strong> niech liczba płytek z samogłoskami wynosi \\(x\\).</p>\n<p>Spółgłosek jest o \\(25\\%\\) więcej niż samogłosek, czyli:<br>\\[\\text{liczba spółgłosek} = x + 25\\% \\cdot x = x + \\frac{1}{4}x = \\frac{5}{4}x\\]</p>\n<p>Łączna liczba płytek:<br>\\[x + \\frac{5}{4}x = \\frac{4}{4}x + \\frac{5}{4}x = \\frac{9}{4}x\\]</p>\n<p>Prawdopodobieństwo wylosowania samogłoski:<br>\\[P = \\frac{x}{\\dfrac{9}{4}x} = \\frac{x \\cdot 4}{9x} = \\frac{4}{9}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\dfrac{4}{9}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Konkretna liczba płytek (zakładamy przykładowo 4 samogłoski)</h4>\n<p>Przyjmijmy, że samogłosek jest \\(4\\) (wygodna liczba do obliczenia \\(25\\%\\)).</p>\n<p>Spółgłosek jest o \\(25\\%\\) więcej:<br>\\[4 + 25\\% \\cdot 4 = 4 + 1 = 5\\]</p>\n<p>Łącznie płytek:<br>\\[4 + 5 = 9\\]</p>\n<p>Prawdopodobieństwo:<br>\\[P = \\frac{4}{9}\\]</p>\n<p>Wynik niezależny od wybranej liczby startowej - możemy sprawdzić dla \\(8\\) samogłosek:</p>\n<ul><li>spółgłoski: \\(8 + 2 = 10\\), łącznie: \\(18\\), \\(P = \\frac{8}{18} = \\frac{4}{9}\\) ✓</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru: zdarzenie \\(A\\) = wylosowanie samogłoski, \\(|\\Omega|\\) = łączna liczba płytek.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(0{,}75\\) | Uczeń oblicza \\(1 - 0{,}25 = 0{,}75\\), myląc „o 25% więcej&quot; z „25% wszystkich płytek to spółgłoski&quot; |<br>| B: \\(0{,}25\\) | Uczeń bierze wprost \\(25\\%\\) jako prawdopodobieństwo - bez żadnego rachunku |<br>| D: \\(\\dfrac{5}{9}\\) | Uczeń poprawnie wyznacza \\(\\dfrac{9x}{4}\\) płytek, ale liczy prawdopodobieństwo <strong>spółgłoski</strong> zamiast samogłoski: \\(\\frac{5/4 \\cdot x}{9/4 \\cdot x} = \\frac{5}{9}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „O \\(25\\%\\) więcej&quot; to NIE to samo co „\\(25\\%\\) wszystkich&quot;. Spółgłosek jest \\(\\frac{5}{4}\\) tyle co samogłosek, więc razem mamy \\(\\frac{9}{4}\\) samogłosek - stąd ułamek \\(\\frac{4}{9}\\), a nie \\(\\frac{3}{4}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić, o co pytamy - zadanie pyta o samogłoski, nie o spółgłoski. Odpowiedź D (\\(\\frac{5}{9}\\)) to właśnie prawdopodobieństwo wylosowania <strong>spółgłoski</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy zadaniach „o \\(p\\%\\) więcej&quot; zawsze zapisuj relację algebraicznie: jeśli samogłosek jest \\(x\\), to spółgłosek jest \\(x \\cdot (1 + \\frac{p}{100})\\). Nie skracaj drogi!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Proporcja</h5>\n<p>Niech samogłoski = \\(s\\), spółgłoski = \\(1{,}25s = \\tfrac{5}{4}s\\).<br>Suma: \\(s + \\tfrac{5}{4}s = \\tfrac{9}{4}s\\).<br>Prawdopodobieństwo samogłoski: \\(\\dfrac{s}{\\tfrac{9}{4}s} = \\dfrac{4}{9}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Liczbowo</h5>\n<p>Niech samogłosek = 4, spółgłosek = 5 (o 25% więcej). Razem: 9. P = \\(\\tfrac{4}{9}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(0{,}75\\), B. \\(0{,}25\\)</strong> - wartości procentowe, nie prawdopodobieństwa.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{5}{9}\\)</strong> - to prawdopodobieństwo spółgłoski, nie samogłoski.</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> jeśli \\(B = A + 25\\%\\cdot A = 1{,}25A\\), to \\(P(A) = \\tfrac{A}{A + B} = \\tfrac{A}{2{,}25A} = \\tfrac{4}{9}\\).</p>"}]}