{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: 2, 3𝑥, 3𝑥+ 2, 3𝑥+ 4 jest równa 13\n2 . Wynika\nstąd, że\nA. 𝑥= 9\nB. 𝑥= 13\n2\nC. 𝑥= 5\n9\nD. 𝑥= 2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: 2,3x,3x+2,3x+4 jest równa 13/2. Wynika stąd, że A. x=9 B. x=13/2 C. x=5/9 D. x=2","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na średnią arytmetyczną\n\nŚrednia arytmetyczna czterech liczb to suma podzielona przez 4. Zapisujemy:\n\n\\[\\frac{2 + 3x + (3x+2) + (3x+4)}{4} = \\frac{13}{2}\\]\n\nUpraszczamy licznik:\n\n\\[2 + 3x + 3x + 2 + 3x + 4 = 9x + 8\\]\n\nMamy więc:\n\n\\[\\frac{9x + 8}{4} = \\frac{13}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez 4:\n\n\\[9x + 8 = \\frac{13}{2} \\cdot 4 = 26\\]\n\nOdejmujemy 8:\n\n\\[9x = 18\\]\n\nDzielimy przez 9:\n\n\\[\\boxed{x = 2}\\]\n\n**Odpowiedź D jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 2\\) rzeczywiście daje średnią \\(\\frac{13}{2}\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\):\n- \\(2\\) - bez zmian\n- \\(3x = 3 \\cdot 2 = 6\\)\n- \\(3x + 2 = 8\\)\n- \\(3x + 4 = 10\\)\n\nCztery liczby to: \\(2,\\ 6,\\ 8,\\ 10\\).\n\nSuma: \\(2 + 6 + 8 + 10 = 26\\)\n\nŚrednia: \\(\\frac{26}{4} = \\frac{13}{2}\\) ✓\n\nZgadza się - to potwierdza odpowiedź D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - przyrównaliśmy sumę czterech liczb podzieloną przez 4 do danej wartości \\(\\frac{13}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(x = 9\\) - uczeń myli średnią z sumą: przyrównuje \\(9x + 8 = \\frac{13}{2}\\) zamiast do \\(26\\), albo zapomina podzielić przez 4 |\n| B | \\(x = \\frac{13}{2}\\) - uczeń przepisuje wartość średniej jako wynik, nie rozwiązując równania |\n| C | \\(x = \\frac{5}{9}\\) - błędna operacja algebraiczna, np. \\(9x = 5\\) po złym uproszczeniu licznika |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o uproszczeniu **wszystkich** wyrazów w liczniku przed przyrównaniem. Łatwo zgubić stałą: \\(2 + 2 + 4 = 8\\), a nie np. 6.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc \\(\\frac{13}{2} \\cdot 4\\), wynik to \\(26\\), nie \\(13\\). To częsty błąd przy pośpiechu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi, że liczby są **dodatnie** - po wyliczeniu \\(x = 2\\) warto sprawdzić, czy wszystkie cztery liczby (\\(2, 6, 8, 10\\)) są rzeczywiście dodatnie. Są - więc warunek jest spełniony.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na średnią\n\\(\\dfrac{2 + 3x + (3x+2) + (3x+4)}{4} = \\dfrac{13}{2}\\).\nLicznik: \\(2 + 3x + 3x + 2 + 3x + 4 = 9x + 8\\).\n\\(\\dfrac{9x + 8}{4} = \\dfrac{13}{2} \\Rightarrow 9x + 8 = 26 \\Rightarrow 9x = 18 \\Rightarrow x = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie D\n\\(x = 2\\): liczby \\(2, 6, 8, 10\\). Suma \\(= 26\\), średnia \\(= \\tfrac{26}{4} = \\tfrac{13}{2}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x = 9\\)** - \\(2, 27, 29, 31\\), średnia \\(\\approx 22{,}3 \\ne 6{,}5\\).\n- **B. \\(x = \\tfrac{13}{2}\\)** - błąd utożsamienia z samą średnią.\n- **C. \\(x = \\tfrac{5}{9}\\)** - nieprawidłowa algebra.\n\n**Zasada:** \\(\\text{średnia} = \\dfrac{\\text{suma}}{n}\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 28. (0-1)<br>Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: 2, 3𝑥, 3𝑥+ 2, 3𝑥+ 4 jest równa 13<br>2 . Wynika<br>stąd, że<br>A. 𝑥= 9<br>B. 𝑥= 13<br>2<br>C. 𝑥= 5<br>9<br>D. 𝑥= 2</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: 2,3x,3x+2,3x+4 jest równa 13/2. Wynika stąd, że A. x=9 B. x=13/2 C. x=5/9 D. x=2</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na średnią arytmetyczną</h4>\n<p>Średnia arytmetyczna czterech liczb to suma podzielona przez 4. Zapisujemy:</p>\n<p>\\[\\frac{2 + 3x + (3x+2) + (3x+4)}{4} = \\frac{13}{2}\\]</p>\n<p>Upraszczamy licznik:</p>\n<p>\\[2 + 3x + 3x + 2 + 3x + 4 = 9x + 8\\]</p>\n<p>Mamy więc:</p>\n<p>\\[\\frac{9x + 8}{4} = \\frac{13}{2}\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez 4:</p>\n<p>\\[9x + 8 = \\frac{13}{2} \\cdot 4 = 26\\]</p>\n<p>Odejmujemy 8:</p>\n<p>\\[9x = 18\\]</p>\n<p>Dzielimy przez 9:</p>\n<p>\\[\\boxed{x = 2}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź D jest poprawna.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(x = 2\\) rzeczywiście daje średnią \\(\\frac{13}{2}\\).</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = 2\\):</p>\n<ul><li>\\(2\\) - bez zmian</li><li>\\(3x = 3 \\cdot 2 = 6\\)</li><li>\\(3x + 2 = 8\\)</li><li>\\(3x + 4 = 10\\)</li></ul>\n<p>Cztery liczby to: \\(2,\\ 6,\\ 8,\\ 10\\).</p>\n<p>Suma: \\(2 + 6 + 8 + 10 = 26\\)</p>\n<p>Średnia: \\(\\frac{26}{4} = \\frac{13}{2}\\) ✓</p>\n<p>Zgadza się - to potwierdza odpowiedź D.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong> - wzór na średnią arytmetyczną:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - przyrównaliśmy sumę czterech liczb podzieloną przez 4 do danej wartości \\(\\frac{13}{2}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | \\(x = 9\\) - uczeń myli średnią z sumą: przyrównuje \\(9x + 8 = \\frac{13}{2}\\) zamiast do \\(26\\), albo zapomina podzielić przez 4 |<br>| B | \\(x = \\frac{13}{2}\\) - uczeń przepisuje wartość średniej jako wynik, nie rozwiązując równania |<br>| C | \\(x = \\frac{5}{9}\\) - błędna operacja algebraiczna, np. \\(9x = 5\\) po złym uproszczeniu licznika |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj o uproszczeniu <strong>wszystkich</strong> wyrazów w liczniku przed przyrównaniem. Łatwo zgubić stałą: \\(2 + 2 + 4 = 8\\), a nie np. 6.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mnożąc \\(\\frac{13}{2} \\cdot 4\\), wynik to \\(26\\), nie \\(13\\). To częsty błąd przy pośpiechu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie mówi, że liczby są <strong>dodatnie</strong> - po wyliczeniu \\(x = 2\\) warto sprawdzić, czy wszystkie cztery liczby (\\(2, 6, 8, 10\\)) są rzeczywiście dodatnie. Są - więc warunek jest spełniony.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na średnią</h5>\n<p>\\(\\dfrac{2 + 3x + (3x+2) + (3x+4)}{4} = \\dfrac{13}{2}\\).<br>Licznik: \\(2 + 3x + 3x + 2 + 3x + 4 = 9x + 8\\).<br>\\(\\dfrac{9x + 8}{4} = \\dfrac{13}{2} \\Rightarrow 9x + 8 = 26 \\Rightarrow 9x = 18 \\Rightarrow x = 2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie D</h5>\n<p>\\(x = 2\\): liczby \\(2, 6, 8, 10\\). Suma \\(= 26\\), średnia \\(= \\tfrac{26}{4} = \\tfrac{13}{2}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(x = 9\\)</strong> - \\(2, 27, 29, 31\\), średnia \\(\\approx 22{,}3 \\ne 6{,}5\\).</li><li><strong>B. \\(x = \\tfrac{13}{2}\\)</strong> - błąd utożsamienia z samą średnią.</li><li><strong>C. \\(x = \\tfrac{5}{9}\\)</strong> - nieprawidłowa algebra.</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> \\(\\text{średnia} = \\dfrac{\\text{suma}}{n}\\).</p>"}]}