{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nRozwiąż nierówność:\n2(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 𝑥ଶ-9\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: 2(x+1)(x-3) < x^2-9","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (1, 3)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu kwadratowego\n\n**Rozwijamy lewą stronę:**\n\\[2(x+1)(x-3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6\\]\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę (odejmujemy \\(x^2 - 9\\)):**\n\\[2x^2 - 4x - 6 - (x^2 - 9) < 0\\]\n\\[2x^2 - 4x - 6 - x^2 + 9 < 0\\]\n\\[x^2 - 4x + 3 < 0\\]\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu:**\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3 = 16 - 12 = 4\\]\n\\[x_1 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{2} = \\frac{4-2}{2} = 1, \\qquad x_2 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{2} = \\frac{4+2}{2} = 3\\]\n\n**Ramiona paraboli skierowane w górę** (\\(a = 1 > 0\\)), więc trójmian jest ujemny **między** pierwiastkami:\n\n\\[\\boxed{x \\in (1, 3)}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika\n\nZauważamy, że prawa strona \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\). Przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[2(x+1)(x-3) - (x-3)(x+3) < 0\\]\n\n**Wyciągamy \\((x-3)\\) przed nawias:**\n\\[(x-3)\\bigl[2(x+1) - (x+3)\\bigr] < 0\\]\n\\[(x-3)(2x + 2 - x - 3) < 0\\]\n\\[(x-3)(x-1) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy mają **przeciwne znaki**:\n\n| Przypadek | Warunek | Wynik |\n| \\(x - 3 < 0\\) i \\(x - 1 > 0\\) | \\(x < 3\\) i \\(x > 1\\) | \\(x \\in (1, 3)\\) ✓ |\n| \\(x - 3 > 0\\) i \\(x - 1 < 0\\) | \\(x > 3\\) i \\(x < 1\\) | sprzeczność ✗ |\n\nWynik: \\(\\boxed{x \\in (1, 3)}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\).\n\nOraz własność: trójmian kwadratowy z \\(a > 0\\) jest **ujemny** dla \\(x \\in (x_1, x_2)\\) - to jest wniosek z kształtu paraboli, omówiony przy opisie funkcji kwadratowej na s. 7-9.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu \\(x^2 - 9\\) na lewą stronę trzeba zmienić znaki: \\(-(x^2 - 9) = -x^2 + 9\\), nie \\(-x^2 - 9\\). To jeden z najczęstszych błędów rachunkowych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\((x-3)(x-1) < 0\\) to nie to samo co \\(x < 3\\) i \\(x < 1\\). Iloczyn jest ujemny, gdy **jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny** - trzeba przeanalizować oba przypadki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik to przedział **otwarty** \\((1, 3)\\), bo przy \\(x = 1\\) i \\(x = 3\\) nierówność jest ostra (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)). Nie wstawiaj nawiasów kwadratowych!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (1, 3)\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Nierówność kwadratowa\nPrzekształcamy: \\(2(x+1)(x-3) < x^2 - 9\\).\n\\(2(x^2 - 3x + x - 3) < x^2 - 9\\)\n\\(2x^2 - 4x - 6 < x^2 - 9\\)\n\\(x^2 - 4x + 3 < 0\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta = 16 - 12 = 4\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 2\\).\nPierwiastki: \\(x_1 = \\dfrac{4-2}{2} = 1\\), \\(x_2 = \\dfrac{4+2}{2} = 3\\).\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\), \\(f(x) < 0\\) między pierwiastkami: \\(x \\in (1, 3)\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nNierówność: \\(x^2 - 4x + 3 < 0\\). Rozkład: \\(x_1 + x_2 = 4\\), \\(x_1\\cdot x_2 = 3\\). Pierwiastki: \\(1, 3\\).\n\\((x - 1)(x - 3) < 0 \\Rightarrow x \\in (1, 3)\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - poprawne obliczenie pierwiastków trójmianu (\\(x_1 = 1, x_2 = 3\\)) i zakończenie lub błąd w zbiorze.\n- **2 pkt** - poprawny zbiór rozwiązań \\((1, 3)\\) lub \\(x \\in (1, 3)\\).\n- **0 pkt** - podzielenie obustronne nierówności przez \\((x-3)\\) (zmienia znak zależnie od \\(x\\)).\n\n**Trik:** rozkład \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) pozwala wyłączyć \\((x-3)\\) - ale ostrożnie (tylko po sprowadzeniu do postaci \\(<0\\)).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":18,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Rozwiąż nierówność:
2(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 𝑥ଶ-9
Odpowiedź:

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: 2(x+1)(x-3) < x^2-9

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (1, 3)\\)

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu kwadratowego

\n

Rozwijamy lewą stronę:
\\[2(x+1)(x-3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6\\]

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę (odejmujemy \\(x^2 - 9\\)):
\\[2x^2 - 4x - 6 - (x^2 - 9) < 0\\]
\\[2x^2 - 4x - 6 - x^2 + 9 < 0\\]
\\[x^2 - 4x + 3 < 0\\]

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu:
\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3 = 16 - 12 = 4\\]
\\[x_1 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{2} = \\frac{4-2}{2} = 1, \\qquad x_2 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{2} = \\frac{4+2}{2} = 3\\]

\n

Ramiona paraboli skierowane w górę (\\(a = 1 > 0\\)), więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami:

\n

\\[\\boxed{x \\in (1, 3)}\\]

\n

Sposób 2 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika

\n

Zauważamy, że prawa strona \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\). Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\[2(x+1)(x-3) - (x-3)(x+3) < 0\\]

\n

Wyciągamy \\((x-3)\\) przed nawias:
\\[(x-3)\\bigl[2(x+1) - (x+3)\\bigr] < 0\\]
\\[(x-3)(2x + 2 - x - 3) < 0\\]
\\[(x-3)(x-1) < 0\\]

\n

Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy mają przeciwne znaki:

\n

| Przypadek | Warunek | Wynik |
| \\(x - 3 < 0\\) i \\(x - 1 > 0\\) | \\(x < 3\\) i \\(x > 1\\) | \\(x \\in (1, 3)\\) ✓ |
| \\(x - 3 > 0\\) i \\(x - 1 < 0\\) | \\(x > 3\\) i \\(x < 1\\) | sprzeczność ✗ |

\n

Wynik: \\(\\boxed{x \\in (1, 3)}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\).

\n

Oraz własność: trójmian kwadratowy z \\(a > 0\\) jest ujemny dla \\(x \\in (x_1, x_2)\\) - to jest wniosek z kształtu paraboli, omówiony przy opisie funkcji kwadratowej na s. 7-9.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Przy przenoszeniu \\(x^2 - 9\\) na lewą stronę trzeba zmienić znaki: \\(-(x^2 - 9) = -x^2 + 9\\), nie \\(-x^2 - 9\\). To jeden z najczęstszych błędów rachunkowych!
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność \\((x-3)(x-1) < 0\\) to nie to samo co \\(x < 3\\) i \\(x < 1\\). Iloczyn jest ujemny, gdy jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny - trzeba przeanalizować oba przypadki.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik to przedział otwarty \\((1, 3)\\), bo przy \\(x = 1\\) i \\(x = 3\\) nierówność jest ostra (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)). Nie wstawiaj nawiasów kwadratowych!
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (1, 3)\\)

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - Nierówność kwadratowa
\n

Przekształcamy: \\(2(x+1)(x-3) < x^2 - 9\\).
\\(2(x^2 - 3x + x - 3) < x^2 - 9\\)
\\(2x^2 - 4x - 6 < x^2 - 9\\)
\\(x^2 - 4x + 3 < 0\\).
Wyróżnik: \\(\\Delta = 16 - 12 = 4\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 2\\).
Pierwiastki: \\(x_1 = \\dfrac{4-2}{2} = 1\\), \\(x_2 = \\dfrac{4+2}{2} = 3\\).
Ponieważ \\(a = 1 > 0\\), \\(f(x) < 0\\) między pierwiastkami: \\(x \\in (1, 3)\\).

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Nierówność: \\(x^2 - 4x + 3 < 0\\). Rozkład: \\(x_1 + x_2 = 4\\), \\(x_1\\cdot x_2 = 3\\). Pierwiastki: \\(1, 3\\).
\\((x - 1)(x - 3) < 0 \\Rightarrow x \\in (1, 3)\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: rozkład \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) pozwala wyłączyć \\((x-3)\\) - ale ostrożnie (tylko po sprowadzeniu do postaci \\(<0\\)).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$(1, 3)$ lub $x \\in (1, 3)$

"}]}