{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nNiech logଷ18 = 𝑐. Wtedy logଷ54 jest równy\nA. 𝑐-1\nB. 𝑐\nC. 𝑐+ 1\nD. 𝑐+ 2\nRozwiązanie zadania. Niech log_3 18 = c. Wtedy log_3 54 jest równy A. c-1 B. c C. c+1 D. c+2.","answer":"C","answer_text":"3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).\nZadanie 29. (0-2)\nZasady oceniania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑥+ 3.\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 𝑥2 -4𝑥+ 3 < 0.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego: 𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = 3\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no odczyta z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑥+ 3 i zapisze miejsca zerowe\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n\nrealizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, np.\no popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu\nkwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności,\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np. 𝑥1 + 𝑥2 = 3\ni konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności: (1, 3) lub 𝑥∈(1, 3)\nALBO\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający podzieli obustronnie nierówność przez (𝑥-3), to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(\\log_3 54 = c + 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki i własności logarytmów\n\n**Zauważamy**, że \\(54 = 18 \\cdot 3\\). To kluczowa obserwacja!\n\nSkoro \\(\\log_3 18 = c\\), chcemy wyrazić \\(\\log_3 54\\) przez \\(c\\).\n\n\\[\n\\log_3 54 = \\log_3(18 \\cdot 3)\n\\]\n\nKorzystamy z własności logarytmu iloczynu:\n\n\\[\n\\log_3(18 \\cdot 3) = \\log_3 18 + \\log_3 3\n\\]\n\nPodstawiamy \\(\\log_3 18 = c\\) oraz \\(\\log_3 3 = 1\\) (bo \\(3^1 = 3\\)):\n\n\\[\n= c + 1\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\log_3 54 = c + 1\\)**\n\n## Sposób 2 - Rozkład przez potęgi trójki\n\nRozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:\n\n\\[\n18 = 2 \\cdot 3^2, \\qquad 54 = 2 \\cdot 3^3\n\\]\n\nStąd:\n\n\\[\n\\log_3 18 = \\log_3(2 \\cdot 3^2) = \\log_3 2 + \\log_3 3^2 = \\log_3 2 + 2 = c\n\\]\n\nCzyli **\\(\\log_3 2 = c - 2\\)**.\n\nTeraz liczymy \\(\\log_3 54\\):\n\n\\[\n\\log_3 54 = \\log_3(2 \\cdot 3^3) = \\log_3 2 + \\log_3 3^3 = \\log_3 2 + 3\n\\]\n\nPodstawiamy \\(\\log_3 2 = c - 2\\):\n\n\\[\n= (c - 2) + 3 = c + 1\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\log_3 54 = c + 1\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nWłasność logarytmu iloczynu:\n\\[\n\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\n\\]\nUżyliśmy tego w obu sposobach - rozbijając \\(\\log_3(18 \\cdot 3)\\) lub \\(\\log_3(2 \\cdot 3^3)\\).\n\nWłasność logarytmu potęgi:\n\\[\n\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\n\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do uproszczenia \\(\\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3 = 3\\).\n\nDefinicja: \\(\\log_a a = 1\\) (bo \\(a^1 = a\\)), stąd \\(\\log_3 3 = 1\\). Wynika wprost z definicji na s. 5.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(c - 1\\) | Uczeń zauważa związek \\(54\\) i \\(18\\), ale myśli \\(54 = \\frac{18}{3}\\) (dzielenie zamiast mnożenia) - a \\(\\frac{18}{3} = 6\\), nie \\(54\\). Albo odejmuje \\(\\log_3 3\\) zamiast dodawać. |\n| B - \\(c\\) | Uczeń myli \\(\\log_3 54 = \\log_3(18+3)\\) i błędnie zakłada, że logarytm sumy = logarytm składników - ta własność **nie istnieje**. |\n| D - \\(c + 2\\) | Uczeń myśli, że \\(54 = 18 \\cdot 9 = 18 \\cdot 3^2\\), więc dodaje \\(2\\). Ale \\(18 \\cdot 9 = 162 \\neq 54\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm **iloczynu** to suma logarytmów: \\(\\log(AB) = \\log A + \\log B\\). Logarytm **sumy** nie ma takiego uproszczenia - \\(\\log(A+B) \\neq \\log A + \\log B\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy podany związek między liczbami (tu: \\(54\\) i \\(18\\)) jest mnożeniem, dzieleniem czy potęgowaniem - od tego zależy, którą własność logarytmu stosujesz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\log_3 3 = 1\\) (nie \\(0\\) i nie \\(3\\)!). Wartość \\(0\\) daje dopiero \\(\\log_3 1 = 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozkład 54 jako \\(3\\cdot 18\\)\n\\(\\log_{3}54 = \\log_{3}(3\\cdot 18) = \\log_{3}3 + \\log_{3}18 = 1 + c = c + 1\\).\n\n### Sposób 2 - Numerycznie\n\\(\\log_{3}18 \\approx 2{,}631\\), \\(\\log_{3}54 \\approx 3{,}631\\). Różnica równa 1.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(c - 1\\)** - odpowiednik \\(\\log_{3}6\\), nie 54.\n- **B. \\(c\\)** - brak różnicy.\n- **D. \\(c + 2\\)** - odpowiednik \\(\\log_{3}(9\\cdot 18) = \\log_{3}162\\).\n\n**Zasada:** \\(\\log_{a}(xy) = \\log_{a}x + \\log_{a}y\\) oraz \\(\\log_{a}a = 1\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Niech logଷ18 = 𝑐. Wtedy logଷ54 jest równy
A. 𝑐-1
B. 𝑐
C. 𝑐+ 1
D. 𝑐+ 2
Rozwiązanie zadania. Niech log_3 18 = c. Wtedy log_3 54 jest równy A. c-1 B. c C. c+1 D. c+2.

","answer_text_html":"
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie
\n

upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę
i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może
otrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania
liczbą punktów za dane zadanie).
Zadanie 29. (0-2)
Zasady oceniania
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑥+ 3.
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 𝑥2 -4𝑥+ 3 < 0.
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego: 𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = 3
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o odczyta z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑥+ 3 i zapisze miejsca zerowe
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań

realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne
pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, np.
o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu
kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań
nierówności,
o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np. 𝑥1 + 𝑥2 = 3
i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:

poda zbiór rozwiązań nierówności: (1, 3) lub 𝑥∈(1, 3)
ALBO

poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający podzieli obustronnie nierówność przez (𝑥-3), to otrzymuje 0 punktów
\n

za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony
\n

wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to
\n

oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\(\\log_3 54 = c + 1\\)

\n

Sposób 1 - Rozkład na czynniki i własności logarytmów

\n

Zauważamy, że \\(54 = 18 \\cdot 3\\). To kluczowa obserwacja!

\n

Skoro \\(\\log_3 18 = c\\), chcemy wyrazić \\(\\log_3 54\\) przez \\(c\\).

\n

\\[
\\log_3 54 = \\log_3(18 \\cdot 3)
\\]

\n

Korzystamy z własności logarytmu iloczynu:

\n

\\[
\\log_3(18 \\cdot 3) = \\log_3 18 + \\log_3 3
\\]

\n

Podstawiamy \\(\\log_3 18 = c\\) oraz \\(\\log_3 3 = 1\\) (bo \\(3^1 = 3\\)):

\n

\\[
= c + 1
\\]

\n

Wynik: \\(\\log_3 54 = c + 1\\)

\n

Sposób 2 - Rozkład przez potęgi trójki

\n

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

\n

\\[
18 = 2 \\cdot 3^2, \\qquad 54 = 2 \\cdot 3^3
\\]

\n

Stąd:

\n

\\[
\\log_3 18 = \\log_3(2 \\cdot 3^2) = \\log_3 2 + \\log_3 3^2 = \\log_3 2 + 2 = c
\\]

\n

Czyli \\(\\log_3 2 = c - 2\\).

\n

Teraz liczymy \\(\\log_3 54\\):

\n

\\[
\\log_3 54 = \\log_3(2 \\cdot 3^3) = \\log_3 2 + \\log_3 3^3 = \\log_3 2 + 3
\\]

\n

Podstawiamy \\(\\log_3 2 = c - 2\\):

\n

\\[
= (c - 2) + 3 = c + 1
\\]

\n

Wynik: \\(\\log_3 54 = c + 1\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n

Własność logarytmu iloczynu:
\\[
\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y
\\]
Użyliśmy tego w obu sposobach - rozbijając \\(\\log_3(18 \\cdot 3)\\) lub \\(\\log_3(2 \\cdot 3^3)\\).

\n

Własność logarytmu potęgi:
\\[
\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x
\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do uproszczenia \\(\\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3 = 3\\).

\n

Definicja: \\(\\log_a a = 1\\) (bo \\(a^1 = a\\)), stąd \\(\\log_3 3 = 1\\). Wynika wprost z definicji na s. 5.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(c - 1\\) | Uczeń zauważa związek \\(54\\) i \\(18\\), ale myśli \\(54 = \\frac{18}{3}\\) (dzielenie zamiast mnożenia) - a \\(\\frac{18}{3} = 6\\), nie \\(54\\). Albo odejmuje \\(\\log_3 3\\) zamiast dodawać. |
| B - \\(c\\) | Uczeń myli \\(\\log_3 54 = \\log_3(18+3)\\) i błędnie zakłada, że logarytm sumy = logarytm składników - ta własność nie istnieje. |
| D - \\(c + 2\\) | Uczeń myśli, że \\(54 = 18 \\cdot 9 = 18 \\cdot 3^2\\), więc dodaje \\(2\\). Ale \\(18 \\cdot 9 = 162 \\neq 54\\). |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Logarytm iloczynu to suma logarytmów: \\(\\log(AB) = \\log A + \\log B\\). Logarytm sumy nie ma takiego uproszczenia - \\(\\log(A+B) \\neq \\log A + \\log B\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź, czy podany związek między liczbami (tu: \\(54\\) i \\(18\\)) jest mnożeniem, dzieleniem czy potęgowaniem - od tego zależy, którą własność logarytmu stosujesz.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(\\log_3 3 = 1\\) (nie \\(0\\) i nie \\(3\\)!). Wartość \\(0\\) daje dopiero \\(\\log_3 1 = 0\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Rozkład 54 jako \\(3\\cdot 18\\)
\n

\\(\\log_{3}54 = \\log_{3}(3\\cdot 18) = \\log_{3}3 + \\log_{3}18 = 1 + c = c + 1\\).

\n
Sposób 2 - Numerycznie
\n

\\(\\log_{3}18 \\approx 2{,}631\\), \\(\\log_{3}54 \\approx 3{,}631\\). Różnica równa 1.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: \\(\\log_{a}(xy) = \\log_{a}x + \\log_{a}y\\) oraz \\(\\log_{a}a = 1\\).

"}]}