{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nWykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏 i 𝑐 takich, że 𝑎+𝑏\n2\n> 𝑐 i 𝑏+𝑐\n2\n> 𝑎,\nprawdziwa jest nierówność\n𝑎+ 𝑐\n2\n< 𝑏\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b i c takich, że a+b/2 > c i b+c/2 > a, prawdziwa jest nierówność a+c/2 < b","answer":null,"answer_text":"30 = 3\n10\nUwaga:\nZdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór uporządkowanych\npar możliwych do utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:\nΩ = {(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4),\n(5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4),\n(7, 0), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (8, 0), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4)}\nWtedy 𝐴= {(3, 2), (4, 0), (4, 4), (5, 2), (6, 0), (6, 4), (7, 2), (8, 0), (8, 4)}.\nSposób 2.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna\nprzez 4.\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia |Ω| = 6 ⋅5 = 30\nlub opisujemy zbiór zdarzeń elementarnych np. w postaci tabeli\nWskazujemy elementy zbioru 𝐴 i zliczamy je: |𝐴| = 9. Ponieważ wszystkie zdarzenia\njednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, więc korzystamy z klasycznej definicji\nprawdopodobieństwa:\n𝟎\n𝟏\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟑\n30\n31\n32\n33\n34\n𝟒\n40\n41\n42\n43\n44\n𝟓\n50\n51\n52\n53\n54\n𝟔\n60\n61\n62\n63\n64\n𝟕\n70\n71\n72\n73\n74\n𝟖\n80\n81\n82\n83\n84\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| = 9\n30 = 3\n10\nSposób 3.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna\nprzez 4.\nRysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1","solution":"## Poprawna odpowiedź: należy udowodnić, że \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\)\n\nJest to zadanie otwarte - dowodowe. Teza do wykazania: ze spełnienia obu nierówności wynika trzecia.\n\n## Sposób 1 - Dodawanie nierówności stronami\n\n**Krok 1.** Zapisujemy obie dane nierówności bez ułamków (mnożymy obie strony przez \\(2 > 0\\), co nie zmienia kierunku):\n\n\\[\\frac{a+b}{2} > c \\implies a + b > 2c\\]\n\n\\[\\frac{b+c}{2} > a \\implies b + c > 2a\\]\n\n**Krok 2.** Dodajemy obie nierówności stronami (sumy nierówności o tym samym kierunku dają nierówność w tym samym kierunku):\n\n\\[(a + b) + (b + c) > 2c + 2a\\]\n\n\\[a + 2b + c > 2a + 2c\\]\n\n**Krok 3.** Przenosimy \\(a\\) i \\(c\\) na lewą stronę:\n\n\\[2b > 2a + 2c - a - c\\]\n\n\\[2b > a + c\\]\n\n**Krok 4.** Dzielimy obie strony przez \\(2 > 0\\):\n\n\\[\\boxed{b > \\frac{a+c}{2}}\\]\n\nco jest równoważne tezie \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\). \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Dowód nie wprost (przez sprzeczność)\n\n**Założenie.** Przypuśćmy, że teza jest **fałszywa**, tzn.:\n\n\\[\\frac{a+c}{2} \\geq b \\implies a + c \\geq 2b\\]\n\n**Krok 1.** Z pierwszego założenia \\(a + b > 2c\\) wynika:\n\n\\[a > 2c - b \\tag{1}\\]\n\n**Krok 2.** Z drugiego założenia \\(b + c > 2a\\) wynika:\n\n\\[c > 2a - b \\tag{2}\\]\n\n**Krok 3.** Dodajemy nierówności \\((1)\\) i \\((2)\\):\n\n\\[a + c > (2c - b) + (2a - b) = 2a + 2c - 2b\\]\n\n\\[a + c > 2a + 2c - 2b\\]\n\n\\[0 > a + c - 2b\\]\n\n\\[2b > a + c\\]\n\n**Krok 4.** Otrzymaliśmy \\(2b > a + c\\), czyli \\(a + c < 2b\\) - co jest **sprzeczne** z naszym założeniem \\(a + c \\geq 2b\\).\n\nZatem założenie jest fałszywe, a teza \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\) musi być prawdziwa. \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności nierówności (dodawanie stronami, mnożenie przez stałą dodatnią), które są częścią wiedzy elementarnej.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno po prostu zapisać wniosku bez uzasadnienia - zadanie prosi o **wykazanie**, więc każdy krok musi być uzasadniony. Napisanie samego „dodajemy te dwie nierówności\" bez pokazania skąd i dokąd to za mało.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy pozbywaniu się ułamka \\(\\frac{a+b}{2}\\) mnożymy przez \\(2 > 0\\) - kierunek nierówności **nie zmienia się**. Błąd pojawia się, gdy uczeń myli tę operację z mnożeniem przez liczbę ujemną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W dowodzie przez sprzeczność (Sposób 2) kluczowe jest sformułowanie: **„przyjmujemy, że teza jest fałszywa\"**, a nie że założenia są fałszywe. Mylenie tego to częsty błąd formalny w dowodach nie wprost.\n\n**Poprawna odpowiedź: dowód.**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Dodawanie nierówności\nZ założeń: \\(\\dfrac{a+b}{2} > c\\) i \\(\\dfrac{b+c}{2} > a\\).\nDodajemy stronami:\n\\(\\dfrac{a+b}{2} + \\dfrac{b+c}{2} > c + a\\)\n\\(\\dfrac{a+b+b+c}{2} > c + a\\)\n\\(\\dfrac{a+2b+c}{2} > c + a\\)\n\\(a + 2b + c > 2c + 2a\\)\n\\(2b > a + c\\)\n\\(b > \\dfrac{a+c}{2}\\), czyli \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\). \\(\\square\\)\n\n### Sposób 2 - Dodawanie po przekształceniu\nPrzepisujemy założenia: \\(a + b > 2c\\) i \\(b + c > 2a\\).\nDodajemy: \\(a + 2b + c > 2c + 2a \\Rightarrow 2b > a + c \\Rightarrow b > \\dfrac{a+c}{2}\\). \\(\\square\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie \\(\\dfrac{a+b}{2} + \\dfrac{b+c}{2} > c + a\\) lub \\(a + 2b + c > 2c + 2a\\).\n- **2 pkt** - pełne rozumowanie.\n- **0 pkt** - sprawdzenie tylko dla konkretnych wartości \\(a, b, c\\).\n\n**Trik:** dodawanie nierówności stronami (zachowuje znak dla \\(>\\)).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"algebra","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏 i 𝑐 takich, że 𝑎+𝑏
2

\n
𝑐 i 𝑏+𝑐
\n

2

\n
𝑎,
\n

prawdziwa jest nierówność
𝑎+ 𝑐
2
< 𝑏

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b i c takich, że a+b/2 > c i b+c/2 > a, prawdziwa jest nierówność a+c/2 < b

","answer_text_html":"

30 = 3
10
Uwaga:
Zdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór uporządkowanych
par możliwych do utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:
Ω = {(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4),
(5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4),
(7, 0), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (8, 0), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4)}
Wtedy 𝐴= {(3, 2), (4, 0), (4, 4), (5, 2), (6, 0), (6, 4), (7, 2), (8, 0), (8, 4)}.
Sposób 2.
Niech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna
przez 4.
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia |Ω| = 6 ⋅5 = 30
lub opisujemy zbiór zdarzeń elementarnych np. w postaci tabeli
Wskazujemy elementy zbioru 𝐴 i zliczamy je: |𝐴| = 9. Ponieważ wszystkie zdarzenia
jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, więc korzystamy z klasycznej definicji
prawdopodobieństwa:
𝟎
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟑
30
31
32
33
34
𝟒
40
41
42
43
44
𝟓
50
51
52
53
54
𝟔
60
61
62
63
64
𝟕
70
71
72
73
74
𝟖
80
81
82
83
84
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑃(𝐴) = |𝐴|
|Ω| = 9
30 = 3
10
Sposób 3.
Niech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna
przez 4.
Rysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 1

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: należy udowodnić, że \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\)

\n

Jest to zadanie otwarte - dowodowe. Teza do wykazania: ze spełnienia obu nierówności wynika trzecia.

\n

Sposób 1 - Dodawanie nierówności stronami

\n

Krok 1. Zapisujemy obie dane nierówności bez ułamków (mnożymy obie strony przez \\(2 > 0\\), co nie zmienia kierunku):

\n

\\[\\frac{a+b}{2} > c \\implies a + b > 2c\\]

\n

\\[\\frac{b+c}{2} > a \\implies b + c > 2a\\]

\n

Krok 2. Dodajemy obie nierówności stronami (sumy nierówności o tym samym kierunku dają nierówność w tym samym kierunku):

\n

\\[(a + b) + (b + c) > 2c + 2a\\]

\n

\\[a + 2b + c > 2a + 2c\\]

\n

Krok 3. Przenosimy \\(a\\) i \\(c\\) na lewą stronę:

\n

\\[2b > 2a + 2c - a - c\\]

\n

\\[2b > a + c\\]

\n

Krok 4. Dzielimy obie strony przez \\(2 > 0\\):

\n

\\[\\boxed{b > \\frac{a+c}{2}}\\]

\n

co jest równoważne tezie \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\). \\(\\square\\)

\n

Sposób 2 - Dowód nie wprost (przez sprzeczność)

\n

Założenie. Przypuśćmy, że teza jest fałszywa, tzn.:

\n

\\[\\frac{a+c}{2} \\geq b \\implies a + c \\geq 2b\\]

\n

Krok 1. Z pierwszego założenia \\(a + b > 2c\\) wynika:

\n

\\[a > 2c - b \\tag{1}\\]

\n

Krok 2. Z drugiego założenia \\(b + c > 2a\\) wynika:

\n

\\[c > 2a - b \\tag{2}\\]

\n

Krok 3. Dodajemy nierówności \\((1)\\) i \\((2)\\):

\n

\\[a + c > (2c - b) + (2a - b) = 2a + 2c - 2b\\]

\n

\\[a + c > 2a + 2c - 2b\\]

\n

\\[0 > a + c - 2b\\]

\n

\\[2b > a + c\\]

\n

Krok 4. Otrzymaliśmy \\(2b > a + c\\), czyli \\(a + c < 2b\\) - co jest sprzeczne z naszym założeniem \\(a + c \\geq 2b\\).

\n

Zatem założenie jest fałszywe, a teza \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\) musi być prawdziwa. \\(\\square\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności nierówności (dodawanie stronami, mnożenie przez stałą dodatnią), które są częścią wiedzy elementarnej.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno po prostu zapisać wniosku bez uzasadnienia - zadanie prosi o wykazanie, więc każdy krok musi być uzasadniony. Napisanie samego „dodajemy te dwie nierówności" bez pokazania skąd i dokąd to za mało.
\n
⚠️ Uwaga: Przy pozbywaniu się ułamka \\(\\frac{a+b}{2}\\) mnożymy przez \\(2 > 0\\) - kierunek nierówności nie zmienia się. Błąd pojawia się, gdy uczeń myli tę operację z mnożeniem przez liczbę ujemną.
\n
⚠️ Uwaga: W dowodzie przez sprzeczność (Sposób 2) kluczowe jest sformułowanie: „przyjmujemy, że teza jest fałszywa", a nie że założenia są fałszywe. Mylenie tego to częsty błąd formalny w dowodach nie wprost.
\n

Poprawna odpowiedź: dowód.

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - Dodawanie nierówności
\n

Z założeń: \\(\\dfrac{a+b}{2} > c\\) i \\(\\dfrac{b+c}{2} > a\\).
Dodajemy stronami:
\\(\\dfrac{a+b}{2} + \\dfrac{b+c}{2} > c + a\\)
\\(\\dfrac{a+b+b+c}{2} > c + a\\)
\\(\\dfrac{a+2b+c}{2} > c + a\\)
\\(a + 2b + c > 2c + 2a\\)
\\(2b > a + c\\)
\\(b > \\dfrac{a+c}{2}\\), czyli \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\). \\(\\square\\)

\n
Sposób 2 - Dodawanie po przekształceniu
\n

Przepisujemy założenia: \\(a + b > 2c\\) i \\(b + c > 2a\\).
Dodajemy: \\(a + 2b + c > 2c + 2a \\Rightarrow 2b > a + c \\Rightarrow b > \\dfrac{a+c}{2}\\). \\(\\square\\)

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: dodawanie nierówności stronami (zachowuje znak dla \\(>\\)).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Wykazano, że $b > \\dfrac{a}{2} + \\dfrac{c}{2}$

"}]}