{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDany jest ciąg arytmetyczny (𝑎௡), określony dla wszystkich liczb naturalnych 𝑛≥1. Suma\ndwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 20𝑎ଶଵ+ 62. Oblicz różnicę\nciągu (𝑎௡).\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla wszystkich liczb naturalnych n≥1. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 20a_21 + 62. Oblicz różnicę ciągu (a_n).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = -\\dfrac{31}{105}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sumę i wyraz ciągu\n\n**Oznaczenia:** pierwszy wyraz \\(a_1\\), różnica \\(r\\).\n\n**Krok 1 - wyraź \\(S_{20}\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).**\n\n\\[S_{20} = \\frac{20}{2}(2a_1 + 19r) = 20a_1 + 190r\\]\n\n**Krok 2 - wyraź \\(20a_{21}\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).**\n\n\\[a_{21} = a_1 + 20r \\implies 20a_{21} = 20a_1 + 400r\\]\n\n**Krok 3 - podstaw do warunku zadania \\(S_{20} = 20a_{21} + 62\\).**\n\n\\[20a_1 + 190r = 20a_1 + 400r + 62\\]\n\nCzłony z \\(a_1\\) redukują się po obu stronach:\n\n\\[190r = 400r + 62\\]\n\\[190r - 400r = 62\\]\n\\[-210r = 62\\]\n\\[r = -\\frac{62}{210} = -\\frac{31}{105}\\]\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{r = -\\dfrac{31}{105}}\\)\n\n## Sposób 2 - wyrażenie \\(S_{20}\\) przez \\(a_{21}\\)\n\nZamiast rozkładać wszystko na \\(a_1\\) i \\(r\\), **od razu wyrażamy \\(S_{20}\\) przez \\(a_{21}\\)**.\n\nZ definicji ciągu arytmetycznego:\n\\[a_1 = a_{21} - 20r, \\qquad a_{20} = a_{21} - r\\]\n\nSumę 20 wyrazów zapiszemy jako:\n\\[S_{20} = 10(a_1 + a_{20}) = 10\\bigl[(a_{21} - 20r) + (a_{21} - r)\\bigr] = 10(2a_{21} - 21r)\\]\n\n\\[S_{20} = 20a_{21} - 210r\\]\n\nTeraz warunek \\(S_{20} = 20a_{21} + 62\\) daje natychmiast:\n\n\\[20a_{21} - 210r = 20a_{21} + 62\\]\n\\[-210r = 62\\]\n\\[r = -\\frac{31}{105}\\]\n\n> Ten sposób jest szybszy - od razu widać, że \\(a_{21}\\) \"odpada\" i zostaje czyste równanie na \\(r\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory ciągu arytmetycznego użyte w obu sposobach:\n\nWyraz ogólny:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(a_{21}\\) i wyrażenia \\(a_1, a_{20}\\) przez \\(a_{21}\\).\n\nSuma \\(n\\) wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy obu postaci - pierwszej w Sposobie 1, drugiej (ze wzorem \\(S_{20} = 10(a_1+a_{20})\\)) w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - wyznaczenie wzoru na \\(S_{20}\\) ale użycie \\(n = 21\\) zamiast \\(n = 20\\). Sumujemy **dwadzieścia** wyrazów, więc \\(n = 20\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(a_{21}\\) (wyraz **dwudziesty pierwszy**, czyli \\(a_1 + 20r\\)) z \\(a_{20}\\) (wyraz **dwudziesty**, czyli \\(a_1 + 19r\\)). W wzorze ogólnym indeks \\(n\\) pojawia się jako \\((n-1)\\) przy \\(r\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po redukcji \\(20a_1\\) z obu stron zostaje równanie **tylko z \\(r\\)**. Jeśli nadal masz \\(a_1\\) w równaniu, gdzieś popełniłeś błąd algebraiczny - wróć i sprawdź.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(r = -\\dfrac{31}{105}\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Suma n wyrazów\nKorzystamy ze wzoru \\(S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n\\) i \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).\nZ warunku: \\(S_{20} = 20a_{21} + 62\\).\n\\(\\dfrac{a_1 + a_{20}}{2}\\cdot 20 = 20(a_1 + 20r) + 62\\)\n\\(\\dfrac{a_1 + (a_1 + 19r)}{2}\\cdot 20 = 20a_1 + 400r + 62\\)\n\\((2a_1 + 19r)\\cdot 10 = 20a_1 + 400r + 62\\)\n\\(20a_1 + 190r = 20a_1 + 400r + 62\\)\n\\(-210r = 62\\)\n\\(r = -\\dfrac{62}{210} = -\\dfrac{31}{105}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór przez średnią\n\\(S_{20} = 20 \\cdot \\dfrac{a_1 + a_{20}}{2}\\). Środek wyrazów \\(1 20\\) to \\(\\tfrac{a_{10} + a_{11}}{2} = a_1 + \\tfrac{19}{2}r\\). Więc \\(S_{20} = 20(a_1 + \\tfrac{19}{2}r)\\). Równanie daje to samo \\(r = -\\tfrac{31}{105}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie równania z niewiadomymi i wykorzystanie wzoru na sumę.\n- **2 pkt** - obliczenie \\(r = -\\tfrac{31}{105}\\).\n\n**Trik:** wykorzystanie \\(a_{21} = a_1 + 20r\\) i \\(a_{20} = a_1 + 19r\\) - bez wyznaczania \\(a_1\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":20,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Dany jest ciąg arytmetyczny (𝑎௡), określony dla wszystkich liczb naturalnych 𝑛≥1. Suma
dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 20𝑎ଶଵ+ 62. Oblicz różnicę
ciągu (𝑎௡).
Odpowiedź:

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla wszystkich liczb naturalnych n≥1. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 20a_21 + 62. Oblicz różnicę ciągu (a_n).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(r = -\\dfrac{31}{105}\\)

\n

Sposób 1 - wzór na sumę i wyraz ciągu

\n

Oznaczenia: pierwszy wyraz \\(a_1\\), różnica \\(r\\).

\n

Krok 1 - wyraź \\(S_{20}\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).

\n

\\[S_{20} = \\frac{20}{2}(2a_1 + 19r) = 20a_1 + 190r\\]

\n

Krok 2 - wyraź \\(20a_{21}\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).

\n

\\[a_{21} = a_1 + 20r \\implies 20a_{21} = 20a_1 + 400r\\]

\n

Krok 3 - podstaw do warunku zadania \\(S_{20} = 20a_{21} + 62\\).

\n

\\[20a_1 + 190r = 20a_1 + 400r + 62\\]

\n

Człony z \\(a_1\\) redukują się po obu stronach:

\n

\\[190r = 400r + 62\\]
\\[190r - 400r = 62\\]
\\[-210r = 62\\]
\\[r = -\\frac{62}{210} = -\\frac{31}{105}\\]

\n

Wynik: \\(\\boxed{r = -\\dfrac{31}{105}}\\)

\n

Sposób 2 - wyrażenie \\(S_{20}\\) przez \\(a_{21}\\)

\n

Zamiast rozkładać wszystko na \\(a_1\\) i \\(r\\), od razu wyrażamy \\(S_{20}\\) przez \\(a_{21}\\).

\n

Z definicji ciągu arytmetycznego:
\\[a_1 = a_{21} - 20r, \\qquad a_{20} = a_{21} - r\\]

\n

Sumę 20 wyrazów zapiszemy jako:
\\[S_{20} = 10(a_1 + a_{20}) = 10\\bigl[(a_{21} - 20r) + (a_{21} - r)\\bigr] = 10(2a_{21} - 21r)\\]

\n

\\[S_{20} = 20a_{21} - 210r\\]

\n

Teraz warunek \\(S_{20} = 20a_{21} + 62\\) daje natychmiast:

\n

\\[20a_{21} - 210r = 20a_{21} + 62\\]
\\[-210r = 62\\]
\\[r = -\\frac{31}{105}\\]

\n
Ten sposób jest szybszy - od razu widać, że \\(a_{21}\\) "odpada" i zostaje czyste równanie na \\(r\\).
\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzory ciągu arytmetycznego użyte w obu sposobach:

\n

Wyraz ogólny:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia \\(a_{21}\\) i wyrażenia \\(a_1, a_{20}\\) przez \\(a_{21}\\).

\n

Suma \\(n\\) wyrazów:
\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]
Użyliśmy obu postaci - pierwszej w Sposobie 1, drugiej (ze wzorem \\(S_{20} = 10(a_1+a_{20})\\)) w Sposobie 2.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - wyznaczenie wzoru na \\(S_{20}\\) ale użycie \\(n = 21\\) zamiast \\(n = 20\\). Sumujemy dwadzieścia wyrazów, więc \\(n = 20\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \\(a_{21}\\) (wyraz dwudziesty pierwszy, czyli \\(a_1 + 20r\\)) z \\(a_{20}\\) (wyraz dwudziesty, czyli \\(a_1 + 19r\\)). W wzorze ogólnym indeks \\(n\\) pojawia się jako \\((n-1)\\) przy \\(r\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Po redukcji \\(20a_1\\) z obu stron zostaje równanie tylko z \\(r\\). Jeśli nadal masz \\(a_1\\) w równaniu, gdzieś popełniłeś błąd algebraiczny - wróć i sprawdź.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(r = -\\dfrac{31}{105}\\)

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - Suma n wyrazów
\n

Korzystamy ze wzoru \\(S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n\\) i \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).
Z warunku: \\(S_{20} = 20a_{21} + 62\\).
\\(\\dfrac{a_1 + a_{20}}{2}\\cdot 20 = 20(a_1 + 20r) + 62\\)
\\(\\dfrac{a_1 + (a_1 + 19r)}{2}\\cdot 20 = 20a_1 + 400r + 62\\)
\\((2a_1 + 19r)\\cdot 10 = 20a_1 + 400r + 62\\)
\\(20a_1 + 190r = 20a_1 + 400r + 62\\)
\\(-210r = 62\\)
\\(r = -\\dfrac{62}{210} = -\\dfrac{31}{105}\\).

\n
Sposób 2 - Wzór przez średnią
\n

\\(S_{20} = 20 \\cdot \\dfrac{a_1 + a_{20}}{2}\\). Środek wyrazów \\(1 20\\) to \\(\\tfrac{a_{10} + a_{11}}{2} = a_1 + \\tfrac{19}{2}r\\). Więc \\(S_{20} = 20(a_1 + \\tfrac{19}{2}r)\\). Równanie daje to samo \\(r = -\\tfrac{31}{105}\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: wykorzystanie \\(a_{21} = a_1 + 20r\\) i \\(a_{20} = a_1 + 19r\\) - bez wyznaczania \\(a_1\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$r = -\\dfrac{31}{105}$

"}]}