{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nDany jest trapez o podstawach długości 𝑎 oraz 𝑏 i wysokości ℎ. Każdą z podstaw tego\ntrapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym\npolu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość ℎ trapezu.\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest trapez o podstawach długości a oraz b i wysokości h. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość h trapezu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: wysokość skrócono o 20%\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie pól (algebraicznie)\n\n**Pole oryginalnego trapezu:**\n\\[P_1 = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\n\n**Nowe podstawy** po wydłużeniu o 25%:\n\\[a' = a \\cdot 1{,}25 = \\frac{5a}{4}, \\qquad b' = b \\cdot 1{,}25 = \\frac{5b}{4}\\]\n\n**Pole nowego trapezu** (z nową wysokością \\(h'\\)):\n\\[P_2 = \\frac{a' + b'}{2} \\cdot h' = \\frac{\\frac{5a}{4} + \\frac{5b}{4}}{2} \\cdot h' = \\frac{\\frac{5(a+b)}{4}}{2} \\cdot h' = \\frac{5(a+b)}{8} \\cdot h'\\]\n\n**Warunek:** pola są równe, czyli \\(P_1 = P_2\\):\n\\[\\frac{a+b}{2} \\cdot h = \\frac{5(a+b)}{8} \\cdot h'\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\((a+b)\\) (zakładamy \\(a+b \\neq 0\\)):\n\\[\\frac{h}{2} = \\frac{5h'}{8}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(8\\):\n\\[4h = 5h'\\]\n\n\\[h' = \\frac{4h}{5} = 0{,}8h\\]\n\n**Zmiana wysokości:**\n\\[h - h' = h - 0{,}8h = 0{,}2h\\]\n\nCzyli \\(\\frac{h - h'}{h} = 0{,}2 = 20\\%\\).\n\n**Wysokość skrócono o \\(20\\%\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez współczynniki skalowania (proporcjonalnie)\n\nKażda podstawa została przemnożona przez współczynnik \\(k = 1{,}25 = \\frac{5}{4}\\).\n\nPonieważ **suma podstaw** to \\(a + b\\), to nowa suma podstaw to:\n\\[\\frac{5}{4}(a+b)\\]\n\nPole trapezu = \\(\\frac{a+b}{2} \\cdot h\\), więc jeśli suma podstaw wzrosła \\(\\frac{5}{4}\\) razy, a pole ma pozostać **bez zmian**, to wysokość musi zmaleć dokładnie tyle razy, ile wzrosła suma podstaw:\n\n\\[h' = h \\cdot \\frac{1}{\\frac{5}{4}} = h \\cdot \\frac{4}{5} = 0{,}8h\\]\n\nWynika to z ogólnej zasady: jeżeli w iloczynie \\(A \\cdot B\\) zmienisz \\(A\\) k-krotnie, a chcesz zachować iloczyn, musisz \\(B\\) zmienić \\(\\frac{1}{k}\\)-krotnie.\n\n**Weryfikacja:**\n\\[P_2 = \\frac{\\frac{5}{4}(a+b)}{2} \\cdot \\frac{4h}{5} = \\frac{5(a+b)}{8} \\cdot \\frac{4h}{5} = \\frac{4(a+b)h}{8} = \\frac{(a+b)h}{2} = P_1 \\checkmark\\]\n\n**Wysokość skrócono o \\(20\\%\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole trapezu:\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości podstaw, \\(h\\) to wysokość. Wzoru tego użyliśmy do zapisania pola przed i po zmianie wymiarów.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wydłużenie każdej podstawy o 25% oznacza, że **suma podstaw** też rośnie o 25% - to samo \\(\\frac{5}{4}\\). Nie trzeba sumować osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek: jeśli suma podstaw wzrosła o \\(\\frac{1}{4}\\), to wysokość nie maleje o \\(\\frac{1}{4}\\) (czyli o 25%), lecz o mniej - bo \\(\\frac{1}{k} = \\frac{4}{5} = 0{,}8\\), a więc redukcja wynosi \\(20\\%\\), nie \\(25\\%\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik jest niezależny od konkretnych wartości \\(a\\), \\(b\\) i \\(h\\) - odpowiedź 20% jest zawsze prawdziwa, niezależnie od kształtu trapezu.\n\n**Poprawna odpowiedź: o \\(20\\%\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Równanie pól\nPole oryginalnego trapezu: \\(P = \\dfrac{(a+b)h}{2}\\).\nNowe podstawy: \\(\\tfrac{5}{4}a\\) i \\(\\tfrac{5}{4}b\\). Nowa wysokość: \\(x\\).\nPole nowego trapezu: \\(P' = \\dfrac{\\tfrac{5}{4}a + \\tfrac{5}{4}b}{2}\\cdot x = \\dfrac{5(a+b)}{8}x\\).\nZ równości \\(P = P'\\):\n\\(\\dfrac{(a+b)h}{2} = \\dfrac{5(a+b)x}{8}\\).\nDzielimy obie strony przez \\((a+b)\\) i mnożymy przez \\(8\\):\n\\(4h = 5x \\Rightarrow x = \\dfrac{4h}{5} = 0{,}8h\\).\nWysokość skrócono z \\(h\\) do \\(0{,}8h\\), co oznacza zmniejszenie o \\(20\\%\\).\n\n### Sposób 2 - Proporcja\nSuma podstaw wzrosła o \\(25\\%\\) (czynnik \\(\\tfrac{5}{4}\\)). Aby pole się nie zmieniło, wysokość musi zmaleć odwrotnie proporcjonalnie: czynnik \\(\\tfrac{4}{5} = 0{,}8\\), czyli skrócenie o \\(20\\%\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie równości pól.\n- **2 pkt** - wniosek: skrócono o \\(20\\%\\).\n\n**Trik:** \\((a+b)\\) redukuje się z obu stron równania.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"planimetria","page_from":21,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Dany jest trapez o podstawach długości 𝑎 oraz 𝑏 i wysokości ℎ. Każdą z podstaw tego
trapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym
polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość ℎ trapezu.
Odpowiedź:

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Dany jest trapez o podstawach długości a oraz b i wysokości h. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość h trapezu.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: wysokość skrócono o 20%

\n

Sposób 1 - Przyrównanie pól (algebraicznie)

\n

Pole oryginalnego trapezu:
\\[P_1 = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]

\n

Nowe podstawy po wydłużeniu o 25%:
\\[a' = a \\cdot 1{,}25 = \\frac{5a}{4}, \\qquad b' = b \\cdot 1{,}25 = \\frac{5b}{4}\\]

\n

Pole nowego trapezu (z nową wysokością \\(h'\\)):
\\[P_2 = \\frac{a' + b'}{2} \\cdot h' = \\frac{\\frac{5a}{4} + \\frac{5b}{4}}{2} \\cdot h' = \\frac{\\frac{5(a+b)}{4}}{2} \\cdot h' = \\frac{5(a+b)}{8} \\cdot h'\\]

\n

Warunek: pola są równe, czyli \\(P_1 = P_2\\):
\\[\\frac{a+b}{2} \\cdot h = \\frac{5(a+b)}{8} \\cdot h'\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\((a+b)\\) (zakładamy \\(a+b \\neq 0\\)):
\\[\\frac{h}{2} = \\frac{5h'}{8}\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(8\\):
\\[4h = 5h'\\]

\n

\\[h' = \\frac{4h}{5} = 0{,}8h\\]

\n

Zmiana wysokości:
\\[h - h' = h - 0{,}8h = 0{,}2h\\]

\n

Czyli \\(\\frac{h - h'}{h} = 0{,}2 = 20\\%\\).

\n

Wysokość skrócono o \\(20\\%\\).

\n

Sposób 2 - Przez współczynniki skalowania (proporcjonalnie)

\n

Każda podstawa została przemnożona przez współczynnik \\(k = 1{,}25 = \\frac{5}{4}\\).

\n

Ponieważ suma podstaw to \\(a + b\\), to nowa suma podstaw to:
\\[\\frac{5}{4}(a+b)\\]

\n

Pole trapezu = \\(\\frac{a+b}{2} \\cdot h\\), więc jeśli suma podstaw wzrosła \\(\\frac{5}{4}\\) razy, a pole ma pozostać bez zmian, to wysokość musi zmaleć dokładnie tyle razy, ile wzrosła suma podstaw:

\n

\\[h' = h \\cdot \\frac{1}{\\frac{5}{4}} = h \\cdot \\frac{4}{5} = 0{,}8h\\]

\n

Wynika to z ogólnej zasady: jeżeli w iloczynie \\(A \\cdot B\\) zmienisz \\(A\\) k-krotnie, a chcesz zachować iloczyn, musisz \\(B\\) zmienić \\(\\frac{1}{k}\\)-krotnie.

\n

Weryfikacja:
\\[P_2 = \\frac{\\frac{5}{4}(a+b)}{2} \\cdot \\frac{4h}{5} = \\frac{5(a+b)}{8} \\cdot \\frac{4h}{5} = \\frac{4(a+b)h}{8} = \\frac{(a+b)h}{2} = P_1 \\checkmark\\]

\n

Wysokość skrócono o \\(20\\%\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole trapezu:
\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]
gdzie \\(a, b\\) to długości podstaw, \\(h\\) to wysokość. Wzoru tego użyliśmy do zapisania pola przed i po zmianie wymiarów.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wydłużenie każdej podstawy o 25% oznacza, że suma podstaw też rośnie o 25% - to samo \\(\\frac{5}{4}\\). Nie trzeba sumować osobno.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić kierunek: jeśli suma podstaw wzrosła o \\(\\frac{1}{4}\\), to wysokość nie maleje o \\(\\frac{1}{4}\\) (czyli o 25%), lecz o mniej - bo \\(\\frac{1}{k} = \\frac{4}{5} = 0{,}8\\), a więc redukcja wynosi \\(20\\%\\), nie \\(25\\%\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Wynik jest niezależny od konkretnych wartości \\(a\\), \\(b\\) i \\(h\\) - odpowiedź 20% jest zawsze prawdziwa, niezależnie od kształtu trapezu.
\n

Poprawna odpowiedź: o \\(20\\%\\)

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - Równanie pól
\n

Pole oryginalnego trapezu: \\(P = \\dfrac{(a+b)h}{2}\\).
Nowe podstawy: \\(\\tfrac{5}{4}a\\) i \\(\\tfrac{5}{4}b\\). Nowa wysokość: \\(x\\).
Pole nowego trapezu: \\(P' = \\dfrac{\\tfrac{5}{4}a + \\tfrac{5}{4}b}{2}\\cdot x = \\dfrac{5(a+b)}{8}x\\).
Z równości \\(P = P'\\):
\\(\\dfrac{(a+b)h}{2} = \\dfrac{5(a+b)x}{8}\\).
Dzielimy obie strony przez \\((a+b)\\) i mnożymy przez \\(8\\):
\\(4h = 5x \\Rightarrow x = \\dfrac{4h}{5} = 0{,}8h\\).
Wysokość skrócono z \\(h\\) do \\(0{,}8h\\), co oznacza zmniejszenie o \\(20\\%\\).

\n
Sposób 2 - Proporcja
\n

Suma podstaw wzrosła o \\(25\\%\\) (czynnik \\(\\tfrac{5}{4}\\)). Aby pole się nie zmieniło, wysokość musi zmaleć odwrotnie proporcjonalnie: czynnik \\(\\tfrac{4}{5} = 0{,}8\\), czyli skrócenie o \\(20\\%\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: \\((a+b)\\) redukuje się z obu stron równania.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

wysokość $h$ trapezu została skrócona o $20\\%$

"}]}