Zadanie 33. (0-2)
W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 boki 𝐵𝐶 i 𝐴𝐶 są równej długości. Prosta 𝑘 jest prostopadła do podstawy 𝐴𝐵
tego trójkąta i przecina boki 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶 w punktach - odpowiednio - 𝐷 i 𝐸. Pole czworokąta
𝐴𝐷𝐸𝐶 jest 17 razy większe od pola trójkąta 𝐵𝐸𝐷. Oblicz
ห𝐶𝐸ห
ห𝐸𝐵ห .
Odpowiedź:
EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. W trójkącie ABC boki BC i AC są równej długości. Prosta k jest prostopadła do podstawy AB tego trójkąta i przecina boki AB oraz BC w punktach - odpowiednio - D i E. Pole czworokąta ADEC jest 17 razy większe od pola trójkąta BED. Oblicz |CE|/|EB|.
Wprowadzamy układ współrzędnych.
\nNiech \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (2a, 0)\\), a ponieważ \\(AC = BC\\), wierzchołek \\(C\\) leży na osi symetrii \\(AB\\):
\n\\[C = (a,\\, h)\\]
\nProsta \\(k \\perp AB\\) jest pionową prostą \\(x = d\\) dla pewnego \\(d \\in (0, 2a)\\).
\nWyznaczamy punkt D i E.
\n\\[D = (d,\\, 0)\\]
\nProsta \\(BC\\): z \\(B=(2a,0)\\) do \\(C=(a,h)\\), parametrycznie \\((2a - at,\\; ht)\\). Przy \\(x = d\\):
\n\\[t = \\frac{2a - d}{a}\\]
\nNiech \\(|BD| = b\\), czyli \\(d = 2a - b\\), więc \\(t = \\frac{b}{a}\\) i:
\n\\[E = \\left(2a - b,\\; \\frac{hb}{a}\\right)\\]
\nObliczamy pola.
\nTrójkąt \\(BED\\) ma kąt prosty w \\(D\\) (bo \\(DE \\perp AB\\)):
\n\\[P_{BED} = \\frac{1}{2} \\cdot |BD| \\cdot |DE| = \\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot \\frac{hb}{a} = \\frac{hb^2}{2a}\\]
\nPole całego trójkąta \\(ABC\\):
\n\\[P_{ABC} = \\frac{1}{2} \\cdot 2a \\cdot h = ah\\]
\nStąd pole czworokąta \\(ADEC\\):
\n\\[P_{ADEC} = P_{ABC} - P_{BED} = ah - \\frac{hb^2}{2a}\\]
\nStosujemy warunek zadania (\\(P_{ADEC} = 17 \\cdot P_{BED}\\)):
\n\\[ah - \\frac{hb^2}{2a} = 17 \\cdot \\frac{hb^2}{2a}\\]
\nDzielimy przez \\(h > 0\\):
\n\\[a = \\frac{hb^2}{2a} \\cdot 18 \\cdot \\frac{1}{h} \\quad \\Longrightarrow \\quad a = \\frac{18b^2}{2a} = \\frac{9b^2}{a}\\]
\n\\[a^2 = 9b^2 \\implies a = 3b\\]
\nWyznaczamy szukaną proporcję.
\nPonieważ \\(E\\) leży na \\(BC\\) w stosunku \\(t = b/a = 1/3\\) od \\(B\\):
\n\\[|BE| = \\frac{1}{3}|BC|, \\qquad |CE| = \\frac{2}{3}|BC|\\]
\n\\[\\boxed{\\frac{|CE|}{|EB|} = \\frac{\\tfrac{2}{3}|BC|}{\\tfrac{1}{3}|BC|} = 2}\\]
\nKluczowa obserwacja: Prosta \\(k\\) (prostopadła do \\(AB\\) w \\(D\\)) jest równoległa do wysokości \\(CF\\) opuszczonej z \\(C\\) na \\(AB\\) - obie są prostopadłe do \\(AB\\).
\nNiech \\(k = \\dfrac{|BE|}{|BC|}\\) (szukana proporcja). Ponieważ \\(DE \\parallel CF\\), z Twierdzenia Talesa:
\n\\[\\frac{|BD|}{|BF|} = \\frac{|BE|}{|BC|} = k\\]
\ngdzie \\(F\\) to środek \\(AB\\) (z symetrii trójkąta równoramiennego \\(|BF| = a\\)).
\nTrójkąty \\(BDE\\) i \\(BCF\\) są podobne (kąt wspólny przy \\(B\\), kąt prosty odpowiednio przy \\(D\\) i \\(F\\)), ze skalą \\(k\\). Zatem:
\n\\[\\frac{P_{BDE}}{P_{BCF}} = k^2\\]
\nPonieważ \\(P_{BCF} = \\dfrac{1}{2} P_{ABC}\\) (wysokość \\(CF\\) dzieli trójkąt równoramienny na połowy):
\n\\[P_{BDE} = k^2 \\cdot \\frac{P_{ABC}}{2}\\]
\nWarunek zadania (\\(P_{ADEC} = 17 \\cdot P_{BDE}\\), a \\(P_{ADEC} = P_{ABC} - P_{BDE}\\)):
\n\\[P_{ABC} - k^2 \\cdot \\frac{P_{ABC}}{2} = 17 \\cdot k^2 \\cdot \\frac{P_{ABC}}{2}\\]
\nDzielimy przez \\(P_{ABC}\\):
\n\\[1 - \\frac{k^2}{2} = \\frac{17k^2}{2}\\]
\n\\[1 = \\frac{18k^2}{2} = 9k^2 \\implies k^2 = \\frac{1}{9} \\implies k = \\frac{1}{3}\\]
\nZatem \\(|BE| = \\dfrac{1}{3}|BC|\\), \\(|CE| = \\dfrac{2}{3}|BC|\\), stąd:
\n\\[\\frac{|CE|}{|EB|} = 2\\]
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a\\]
Użyte do obliczenia pól \\(P_{BDE}\\) i \\(P_{ABC}\\) (trójkąt prostokątny \\(BDE\\) z ramionami \\(|BD|\\) i \\(|DE|\\)).
Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa:
\nJeżeli dwie proste równoległe przecinają boki trójkąta, to odpowiednie odcinki są proporcjonalne.\n
Użyte w Sposobie 2 do stwierdzenia \\(\\dfrac{|BD|}{|BF|} = \\dfrac{|BE|}{|BC|}\\).
\n⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, który bok jest podstawą. Tutaj podstawa to \\(AB\\), bo \\(AC = BC\\) - nie zakładaj pochopnie, że \\(C\\) jest "u góry po środku" bez sprawdzenia.\n
⚠️ Uwaga: Pole czworokąta \\(ADEC\\) to NIE jest \\(17\\)-krotność pola \\(BDE\\), lecz \\(P_{ADEC} = P_{ABC} - P_{BDE}\\). Błędem jest wpisanie warunku jako \\(P_{ADEC} = 17 \\cdot P_{ABC}\\).\n
⚠️ Uwaga: Po znalezieniu \\(k = |BE|/|BC| = 1/3\\) szukaną proporcją jest \\(|CE|/|EB|\\), nie \\(|BE|/|BC|\\). Odpowiedź to \\(2\\), nie \\(\\tfrac{1}{2}\\) ani \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n
Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{|CE|}{|EB|} = 2\\)
\nNiech \\(F\\) - spodek wysokości z \\(C\\) na \\(AB\\). Ponieważ \\(ABC\\) równoramienny, \\(F\\) to środek \\(AB\\).
Pole całego trójkąta: \\(P_{ABC} = P_{ADEC} + P_{BED} = 17P_{BED} + P_{BED} = 18P_{BED}\\).
Trójkąt \\(FBC\\) to połowa \\(ABC\\), więc \\(P_{FBC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 18 P_{BED} = 9P_{BED}\\).
Prosta \\(k\\) (czyli \\(DE\\)) jest równoległa do wysokości \\(CF\\) (obie prostopadłe do \\(AB\\)). Trójkąty \\(BCF\\) i \\(BED\\) są podobne (kkk).
Stosunek pól: \\(\\dfrac{P_{BCF}}{P_{BED}} = \\left(\\dfrac{|BC|}{|BE|}\\right)^2\\).
\\(9 = \\left(\\dfrac{|BC|}{|BE|}\\right)^2 \\Rightarrow \\dfrac{|BC|}{|BE|} = 3\\).
Więc \\(|BC| = 3|BE|\\), czyli \\(|BE| + |EC| = 3|BE| \\Rightarrow |EC| = 2|BE|\\).
\\(\\dfrac{|CE|}{|EB|} = 2\\).
Dla \\(|BE| = 1, |EC| = 2, |BC| = 3\\) trójkąt \\(BED\\) podobny do \\(BCF\\) w skali \\(\\tfrac{1}{3}\\), stosunek pól \\(\\tfrac{1}{9}\\). Pole \\(BCF = 9\\), pole trójkąta \\(ABC = 18\\), pole \\(ADEC = 18 - 1 = 17\\) ✓.
\nZasada: stosunek pól figur podobnych \\(= k^2\\), gdzie \\(k\\) - skala podobieństwa.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"\\dfrac{|CE|}{|EB|} = 2
"}]}