{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do\nzbioru {3, 4, 5, 6, 7, 8}, a cyfra jedności należy do zbioru {0, 1, 2, 3, 4}, losujemy jedną liczbę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę\ndwucyfrową, która jest podzielna przez 4.\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru {3,4,5,6,7,8}, a cyfra jedności należy do zbioru {0,1,2,3,4}, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{3}{10}\\)\n\n## Sposób 1 - analiza podzielności mod 4\n\n**Krok 1: Wyznacz przestrzeń zdarzeń elementarnych**\n\nCyfra dziesiątek: \\(\\{3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\) - **6 możliwości**\nCyfra jedności: \\(\\{0, 1, 2, 3, 4\\}\\) - **5 możliwości**\n\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 5 = 30\\]\n\n**Krok 2: Warunek podzielności przez 4**\n\nDwucyfrowa liczba \\(\\overline{AB} = 10A + B\\). Ponieważ \\(10A = 8A + 2A\\), a \\(8A\\) zawsze dzieli się przez 4, mamy:\n\\[10A + B \\equiv 2A + B \\pmod{4}\\]\n\nWarunek: \\(2A + B \\equiv 0 \\pmod{4}\\)\n\n**Krok 3: Przypadki według cyfry dziesiątek**\n\nDla **parzystych** cyfr dziesiątek (\\(A \\in \\{4, 6, 8\\}\\)):\n\\[2A \\equiv 0 \\pmod{4}\\]\nPotrzebujemy \\(B \\equiv 0 \\pmod{4}\\), czyli \\(B \\in \\{0, 4\\}\\) ze zbioru \\(\\{0,1,2,3,4\\}\\) → **2 cyfry jedności** na każdą dziesiątkę.\n\nDla **nieparzystych** cyfr dziesiątek (\\(A \\in \\{3, 5, 7\\}\\)):\n\\[2A \\equiv 2 \\pmod{4}\\]\nPotrzebujemy \\(B \\equiv 2 \\pmod{4}\\), czyli \\(B = 2\\) ze zbioru \\(\\{0,1,2,3,4\\}\\) → **1 cyfra jedności** na każdą dziesiątkę.\n\n**Krok 4: Policz zdarzenia sprzyjające**\n\n| Cyfra dziesiątek | Pasujące cyfry jedności | Liczby |\n| 3 | \\(\\{2\\}\\) | 32 |\n| 4 | \\(\\{0, 4\\}\\) | 40, 44 |\n| 5 | \\(\\{2\\}\\) | 52 |\n| 6 | \\(\\{0, 4\\}\\) | 60, 64 |\n| 7 | \\(\\{2\\}\\) | 72 |\n| 8 | \\(\\{0, 4\\}\\) | 80, 84 |\n\n\\[|A| = 3 \\cdot 1 + 3 \\cdot 2 = 3 + 6 = 9\\]\n\n**Krok 5: Oblicz prawdopodobieństwo**\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{9}{30} = \\frac{3}{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - pełne wyliczenie (weryfikacja)\n\nWypisujemy wszystkie 30 liczb i sprawdzamy podzielność przez 4:\n\n\\[\n\\begin{array}{c|ccccc}\n\\text{dz.}{\\backslash}\\text{jed.} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\\\hline\n3 & 30 & 31 & \\mathbf{32} & 33 & 34 \\\\\n4 & \\mathbf{40} & 41 & 42 & 43 & \\mathbf{44} \\\\\n5 & 50 & 51 & \\mathbf{52} & 53 & 54 \\\\\n6 & \\mathbf{60} & 61 & 62 & 63 & \\mathbf{64} \\\\\n7 & 70 & 71 & \\mathbf{72} & 73 & 74 \\\\\n8 & \\mathbf{80} & 81 & 82 & 83 & \\mathbf{84} \\\\\n\\end{array}\n\\]\n\n(Pogrubiono liczby podzielne przez 4.) Potwierdzenie: \\(32 = 4 \\cdot 8\\), \\(40 = 4 \\cdot 10\\), \\(44 = 4 \\cdot 11\\), \\(52 = 4 \\cdot 13\\), \\(60 = 4 \\cdot 15\\), \\(64 = 4 \\cdot 16\\), \\(72 = 4 \\cdot 18\\), \\(80 = 4 \\cdot 20\\), \\(84 = 4 \\cdot 21\\). Razem: **9 liczb**.\n\n\\[P(A) = \\frac{9}{30} = \\frac{3}{10}\\]\n\nWyniki zgodne. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) = liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 5: \\(|A| = 9\\), \\(|\\Omega| = 30\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podzielność przez 4 dotyczy **całej** liczby, nie tylko cyfry jedności! Częsty błąd: sprawdzanie tylko, czy cyfra jedności jest parzysta (co daje podzielność przez 2, nie przez 4).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozmiar próby to \\(6 \\cdot 5 = 30\\), nie \\(6 + 5 = 11\\) - cyfry dziesiątek i jedności **kombinujemy**, a nie sumujemy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra jedności z {0,4} pasuje gdy dziesiątka parzysta, a tylko {2} gdy nieparzysta - te dwa przypadki mają **różną** liczbę trafień, warto je rozpatrzeć oddzielnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{9}{30} = \\dfrac{3}{10}\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Reguła mnożenia i klasyczna definicja\nLiczba wszystkich możliwych liczb dwucyfrowych: \\(|\\Omega| = 6\\cdot 5 = 30\\) (6 możliwości dziesiątek, 5 jedności).\n\nLiczby podzielne przez 4 ze zbioru:\nDziesiątki 3: 32 ✓\nDziesiątki 4: 40, 44 ✓\nDziesiątki 5: 52 ✓\nDziesiątki 6: 60, 64 ✓\nDziesiątki 7: 72 ✓\nDziesiątki 8: 80, 84 ✓\nRazem: \\(\\{32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84\\}\\), \\(|A| = 9\\).\n\n\\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{9}{30} = \\dfrac{3}{10}\\).\n\n### Sposób 2 - Przez zdarzenie przeciwne\n\\(|A'| = 30 - 9 = 21\\). \\(P(A) = 1 - \\tfrac{21}{30} = \\tfrac{9}{30} = \\tfrac{3}{10}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - wypisanie \\(|\\Omega| = 30\\) lub \\(|A| = 9\\).\n- **2 pkt** - obliczenie \\(P(A) = \\tfrac{9}{30} = \\tfrac{3}{10}\\).\n\n**Zasada:** liczba podzielna przez 4, gdy jej ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":23,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (0-2)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do
zbioru {3, 4, 5, 6, 7, 8}, a cyfra jedności należy do zbioru {0, 1, 2, 3, 4}, losujemy jedną liczbę.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę
dwucyfrową, która jest podzielna przez 4.
Odpowiedź:

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru {3,4,5,6,7,8}, a cyfra jedności należy do zbioru {0,1,2,3,4}, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{3}{10}\\)

\n

Sposób 1 - analiza podzielności mod 4

\n

Krok 1: Wyznacz przestrzeń zdarzeń elementarnych

\n

Cyfra dziesiątek: \\(\\{3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\) - 6 możliwości
Cyfra jedności: \\(\\{0, 1, 2, 3, 4\\}\\) - 5 możliwości

\n

\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 5 = 30\\]

\n

Krok 2: Warunek podzielności przez 4

\n

Dwucyfrowa liczba \\(\\overline{AB} = 10A + B\\). Ponieważ \\(10A = 8A + 2A\\), a \\(8A\\) zawsze dzieli się przez 4, mamy:
\\[10A + B \\equiv 2A + B \\pmod{4}\\]

\n

Warunek: \\(2A + B \\equiv 0 \\pmod{4}\\)

\n

Krok 3: Przypadki według cyfry dziesiątek

\n

Dla parzystych cyfr dziesiątek (\\(A \\in \\{4, 6, 8\\}\\)):
\\[2A \\equiv 0 \\pmod{4}\\]
Potrzebujemy \\(B \\equiv 0 \\pmod{4}\\), czyli \\(B \\in \\{0, 4\\}\\) ze zbioru \\(\\{0,1,2,3,4\\}\\) → 2 cyfry jedności na każdą dziesiątkę.

\n

Dla nieparzystych cyfr dziesiątek (\\(A \\in \\{3, 5, 7\\}\\)):
\\[2A \\equiv 2 \\pmod{4}\\]
Potrzebujemy \\(B \\equiv 2 \\pmod{4}\\), czyli \\(B = 2\\) ze zbioru \\(\\{0,1,2,3,4\\}\\) → 1 cyfra jedności na każdą dziesiątkę.

\n

Krok 4: Policz zdarzenia sprzyjające

\n

| Cyfra dziesiątek | Pasujące cyfry jedności | Liczby |
| 3 | \\(\\{2\\}\\) | 32 |
| 4 | \\(\\{0, 4\\}\\) | 40, 44 |
| 5 | \\(\\{2\\}\\) | 52 |
| 6 | \\(\\{0, 4\\}\\) | 60, 64 |
| 7 | \\(\\{2\\}\\) | 72 |
| 8 | \\(\\{0, 4\\}\\) | 80, 84 |

\n

\\[|A| = 3 \\cdot 1 + 3 \\cdot 2 = 3 + 6 = 9\\]

\n

Krok 5: Oblicz prawdopodobieństwo

\n

\\[\\boxed{P(A) = \\frac{9}{30} = \\frac{3}{10}}\\]

\n

Sposób 2 - pełne wyliczenie (weryfikacja)

\n

Wypisujemy wszystkie 30 liczb i sprawdzamy podzielność przez 4:

\n

\\[
\\begin{array}{c|ccccc}
\\text{dz.}{\\backslash}\\text{jed.} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\\\hline
3 & 30 & 31 & \\mathbf{32} & 33 & 34 \\\\
4 & \\mathbf{40} & 41 & 42 & 43 & \\mathbf{44} \\\\
5 & 50 & 51 & \\mathbf{52} & 53 & 54 \\\\
6 & \\mathbf{60} & 61 & 62 & 63 & \\mathbf{64} \\\\
7 & 70 & 71 & \\mathbf{72} & 73 & 74 \\\\
8 & \\mathbf{80} & 81 & 82 & 83 & \\mathbf{84} \\\\
\\end{array}
\\]

\n

(Pogrubiono liczby podzielne przez 4.) Potwierdzenie: \\(32 = 4 \\cdot 8\\), \\(40 = 4 \\cdot 10\\), \\(44 = 4 \\cdot 11\\), \\(52 = 4 \\cdot 13\\), \\(60 = 4 \\cdot 15\\), \\(64 = 4 \\cdot 16\\), \\(72 = 4 \\cdot 18\\), \\(80 = 4 \\cdot 20\\), \\(84 = 4 \\cdot 21\\). Razem: 9 liczb.

\n

\\[P(A) = \\frac{9}{30} = \\frac{3}{10}\\]

\n

Wyniki zgodne. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
gdzie \\(|A|\\) = liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

\n

Użyliśmy tego wzoru w Kroku 5: \\(|A| = 9\\), \\(|\\Omega| = 30\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Podzielność przez 4 dotyczy całej liczby, nie tylko cyfry jedności! Częsty błąd: sprawdzanie tylko, czy cyfra jedności jest parzysta (co daje podzielność przez 2, nie przez 4).
\n
⚠️ Uwaga: Rozmiar próby to \\(6 \\cdot 5 = 30\\), nie \\(6 + 5 = 11\\) - cyfry dziesiątek i jedności kombinujemy, a nie sumujemy.
\n
⚠️ Uwaga: Cyfra jedności z {0,4} pasuje gdy dziesiątka parzysta, a tylko {2} gdy nieparzysta - te dwa przypadki mają różną liczbę trafień, warto je rozpatrzeć oddzielnie.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{9}{30} = \\dfrac{3}{10}\\)

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - Reguła mnożenia i klasyczna definicja
\n

Liczba wszystkich możliwych liczb dwucyfrowych: \\(|\\Omega| = 6\\cdot 5 = 30\\) (6 możliwości dziesiątek, 5 jedności).

\n

Liczby podzielne przez 4 ze zbioru:
Dziesiątki 3: 32 ✓
Dziesiątki 4: 40, 44 ✓
Dziesiątki 5: 52 ✓
Dziesiątki 6: 60, 64 ✓
Dziesiątki 7: 72 ✓
Dziesiątki 8: 80, 84 ✓
Razem: \\(\\{32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84\\}\\), \\(|A| = 9\\).

\n

\\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{9}{30} = \\dfrac{3}{10}\\).

\n
Sposób 2 - Przez zdarzenie przeciwne
\n

\\(|A'| = 30 - 9 = 21\\). \\(P(A) = 1 - \\tfrac{21}{30} = \\tfrac{9}{30} = \\tfrac{3}{10}\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Zasada: liczba podzielna przez 4, gdy jej ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A) = \\dfrac{3}{10}$

"}]}