{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5)\nPodstawa 𝐴𝐵 trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶 jest zawarta w prostej o równaniu 𝑦= -2𝑥+ 16.\nWierzchołki 𝐵 i 𝐶 mają współrzędne 𝐵= (3, 10) i 𝐶= (-2, 3). Oblicz współrzędne\nwierzchołka 𝐴 i pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n\nEMAP-P0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC jest zawarta w prostej o równaniu y=-2x+16. Wierzchołki B i C mają współrzędne B=(3,10) i C=(-2,3). Oblicz współrzędne wierzchołka A i pole trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nWierzchołek \\(A = \\left(\\frac{33}{5},\\ \\frac{14}{5}\\right)\\), pole trójkąta \\(ABC = \\frac{153}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoramienności \\(CA = CB\\)\n\n**Co wiemy:** Trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny z podstawą \\(AB\\), więc **ramiona to \\(CA\\) i \\(CB\\)**, czyli szukamy \\(A\\) tak, by \\(|CA| = |CB|\\).\n\n**Krok 1.** Sprawdź, że \\(B\\) leży na prostej \\(y = -2x + 16\\):\n\\[y = -2 \\cdot 3 + 16 = 10\\checkmark\\]\n\n**Krok 2.** Parametryzuj punkt \\(A\\) leżący na tej prostej:\n\\[A = (a,\\ -2a + 16)\\]\n\n**Krok 3.** Oblicz \\(|CB|^2\\) (stały):\n\\[|CB|^2 = (3-(-2))^2 + (10-3)^2 = 25 + 49 = 74\\]\n\n**Krok 4.** Wyznacz \\(|CA|^2\\):\n\\[|CA|^2 = (a+2)^2 + (-2a+16-3)^2 = (a+2)^2 + (-2a+13)^2\\]\n\\[= a^2 + 4a + 4 + 4a^2 - 52a + 169 = 5a^2 - 48a + 173\\]\n\n**Krok 5.** Postaw warunek \\(|CA|^2 = |CB|^2 = 74\\):\n\\[5a^2 - 48a + 173 = 74\\]\n\\[5a^2 - 48a + 99 = 0\\]\n\n**Krok 6.** Wyróżnik i pierwiastki:\n\\[\\Delta = 48^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot 99 = 2304 - 1980 = 324, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 18\\]\n\\[a_1 = \\frac{48 + 18}{10} = \\frac{66}{10} = \\frac{33}{5}, \\qquad a_2 = \\frac{48 - 18}{10} = \\frac{30}{10} = 3\\]\n\n**Krok 7.** Odrzuć \\(a_2 = 3\\), bo daje \\(A = (3, 10) = B\\) - punkt pokrywa się z \\(B\\).\n\nZatem:\n\\[A = \\left(\\frac{33}{5},\\ -2 \\cdot \\frac{33}{5} + 16\\right) = \\left(\\frac{33}{5},\\ \\frac{-66+80}{5}\\right) = \\boxed{\\left(\\frac{33}{5},\\ \\frac{14}{5}\\right)}\\]\n\n**Krok 8.** Pole trójkąta - wzór ze współrzędnych (dział 11):\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\n\nPodstawiamy \\(A = \\left(\\frac{33}{5}, \\frac{14}{5}\\right)\\), \\(B = (3, 10)\\), \\(C = (-2, 3)\\):\n\\[x_B - x_A = 3 - \\frac{33}{5} = -\\frac{18}{5}, \\quad y_C - y_A = 3 - \\frac{14}{5} = \\frac{1}{5}\\]\n\\[y_B - y_A = 10 - \\frac{14}{5} = \\frac{36}{5}, \\quad x_C - x_A = -2 - \\frac{33}{5} = -\\frac{43}{5}\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|\\left(-\\frac{18}{5}\\right)\\cdot\\frac{1}{5} - \\frac{36}{5}\\cdot\\left(-\\frac{43}{5}\\right)\\right| = \\frac{1}{2}\\left|-\\frac{18}{25} + \\frac{1548}{25}\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1530}{25} = \\boxed{\\frac{153}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawa i wysokość geometrycznie\n\n**Krok 1.** Długość podstawy \\(|AB|\\):\n\\[|AB|^2 = \\left(3 - \\frac{33}{5}\\right)^2 + \\left(10 - \\frac{14}{5}\\right)^2 = \\left(-\\frac{18}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{36}{5}\\right)^2 = \\frac{324 + 1296}{25} = \\frac{1620}{25}\\]\n\\[|AB| = \\frac{\\sqrt{1620}}{5} = \\frac{18\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n**Krok 2.** Wysokość \\(h\\) = odległość \\(C = (-2, 3)\\) od prostej \\(2x + y - 16 = 0\\) (prosta AB w postaci ogólnej):\n\\[h = \\frac{|2\\cdot(-2) + 1\\cdot 3 - 16|}{\\sqrt{2^2+1^2}} = \\frac{|-4 + 3 - 16|}{\\sqrt{5}} = \\frac{17}{\\sqrt{5}} = \\frac{17\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n**Krok 3.** Pole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{18\\sqrt{5}}{5} \\cdot \\frac{17\\sqrt{5}}{5} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{18 \\cdot 17 \\cdot 5}{25} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1530}{25} = \\frac{1530}{50} = \\frac{153}{5}\\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nOdległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia wysokości z \\(C\\) na prostą \\(AB\\).\n\nPole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1.\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na miejsca zerowe z wyróżnikiem \\(\\Delta\\):\n\\[x_{1,2} = \\frac{48 \\pm \\sqrt{324}}{10}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnej \\(a\\) punktu \\(A\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tutaj ramiona to \\(CA\\) i \\(CB\\), nie \\(AC\\) i \\(BC\\). \"Podstawa \\(AB\\)\" znaczy, że **to właśnie \\(AB\\) jest tą podstawą, od której mierzymy ramiona**. Równoramienność oznacza \\(|CA| = |CB|\\), a nie \\(|AB| = |AC|\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(5a^2 - 48a + 99 = 0\\) daje dwa rozwiązania - koniecznie sprawdź, czy oba dają sensowny punkt \\(A \\neq B\\). Drugie rozwiązanie \\(a = 3\\) prowadzi do \\(A = B\\), co należy odrzucić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odległości punktu od prostej musisz najpierw zapisać prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Prosta \\(y = -2x + 16\\) to \\(2x + y - 16 = 0\\), więc \\(A = 2\\), \\(B = 1\\), \\(C = -16\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(A = \\left(\\dfrac{33}{5}, \\dfrac{14}{5}\\right)\\), \\(P_{ABC} = \\dfrac{153}{5}\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Wysokość ze środka podstawy\nTrójkąt \\(ABC\\) równoramienny (\\(|CA| = |CB|\\)), więc wysokość z \\(C\\) na \\(AB\\) jest też środkową. Niech \\(D\\) - środek \\(AB\\).\n\nWyznaczamy prostą \\(CD\\) prostopadłą do \\(AB\\): \\(AB: y = -2x+16\\) ma współczynnik \\(-2\\), więc \\(CD\\) ma \\(a = \\tfrac{1}{2}\\).\n\\(y = \\tfrac{1}{2}x + b\\), \\(C = (-2, 3)\\): \\(3 = -1 + b \\Rightarrow b = 4\\). Prosta \\(CD: y = \\tfrac{1}{2}x + 4\\).\n\nPunkt \\(D\\) (przecięcie \\(AB\\) i \\(CD\\)):\n\\(-2x + 16 = \\tfrac{1}{2}x + 4 \\Rightarrow \\tfrac{5}{2}x = 12 \\Rightarrow x = \\tfrac{24}{5}\\). \\(y = -\\tfrac{48}{5} + 16 = \\tfrac{32}{5}\\). \\(D = \\left(\\tfrac{24}{5}, \\tfrac{32}{5}\\right)\\).\n\n\\(D\\) jest środkiem \\(AB\\): \\(\\left(\\tfrac{x_A + 3}{2}, \\tfrac{y_A + 10}{2}\\right) = \\left(\\tfrac{24}{5}, \\tfrac{32}{5}\\right)\\).\n\\(x_A = \\tfrac{48}{5} - 3 = \\tfrac{33}{5}\\), \\(y_A = \\tfrac{64}{5} - 10 = \\tfrac{14}{5}\\).\n\\(A = \\left(\\tfrac{33}{5}, \\tfrac{14}{5}\\right)\\).\n\nObliczamy długości:\n\\(|AB| = \\sqrt{\\left(3 - \\tfrac{33}{5}\\right)^2 + \\left(10 - \\tfrac{14}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\tfrac{324}{25} + \\tfrac{1296}{25}} = \\sqrt{\\tfrac{1620}{25}} = \\tfrac{18\\sqrt 5}{5}\\).\n\\(|CD| = \\sqrt{\\left(\\tfrac{24}{5}+2\\right)^2 + \\left(\\tfrac{32}{5}-3\\right)^2} = \\sqrt{\\tfrac{1156}{25} + \\tfrac{289}{25}} = \\sqrt{\\tfrac{1445}{25}} = \\tfrac{17\\sqrt 5}{5}\\).\n\nPole: \\(P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot |CD| = \\tfrac{1}{2}\\cdot \\tfrac{18\\sqrt 5}{5}\\cdot \\tfrac{17\\sqrt 5}{5} = \\tfrac{18\\cdot 17\\cdot 5}{50} = \\tfrac{1530}{50} = \\dfrac{153}{5}\\).\n\n### Sposób 2 - Warunek \\(|CA| = |CB|\\)\n\\(A = (x_A, -2x_A + 16)\\) (na prostej AB).\n\\(|CB| = \\sqrt{(3-(-2))^2 + (10-3)^2} = \\sqrt{25+49} = \\sqrt{74}\\).\n\\((x_A + 2)^2 + (-2x_A + 13)^2 = 74\\)\n\\(x_A^2 + 4x_A + 4 + 4x_A^2 - 52x_A + 169 = 74\\)\n\\(5x_A^2 - 48x_A + 99 = 0\\)\n\\(\\Delta = 2304 - 1980 = 324\\), \\(\\sqrt\\Delta = 18\\).\n\\(x_A = \\tfrac{48 \\pm 18}{10} = 3\\) lub \\(\\tfrac{33}{5}\\).\n\\(x_A = 3\\) odrzucamy (pokrywa się z \\(B\\)). \\(A = \\left(\\tfrac{33}{5}, \\tfrac{14}{5}\\right)\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-5)\n- **1 pkt** - wyznaczenie prostej \\(CD\\) (wysokości) lub obliczenie \\(|BC| = \\sqrt{74}\\).\n- **2 pkt** - obliczenie współrzędnych \\(D\\) lub zapisanie równania dla \\(x_A\\).\n- **3 pkt** - obliczenie współrzędnych \\(A\\).\n- **4 pkt** - obliczenie \\(|AB|\\) i \\(|CD|\\).\n- **5 pkt** - pole \\(P_{ABC} = \\tfrac{153}{5}\\).\n\n**Trik:** w równoramiennym wysokość = środkowa - wystarczy znaleźć środek \\(D\\), a potem \\(A\\) przez symetrię.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-35.svg","topics":"analityczna","page_from":24,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 35. (0-5)<br>Podstawa 𝐴𝐵 trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶 jest zawarta w prostej o równaniu 𝑦= -2𝑥+ 16.<br>Wierzchołki 𝐵 i 𝐶 mają współrzędne 𝐵= (3, 10) i 𝐶= (-2, 3). Oblicz współrzędne<br>wierzchołka 𝐴 i pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶.</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Odpowiedź:</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC jest zawarta w prostej o równaniu y=-2x+16. Wierzchołki B i C mają współrzędne B=(3,10) i C=(-2,3). Oblicz współrzędne wierzchołka A i pole trójkąta ABC.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-35.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p>Wierzchołek \\(A = \\left(\\frac{33}{5},\\ \\frac{14}{5}\\right)\\), pole trójkąta \\(ABC = \\frac{153}{5}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Warunek równoramienności \\(CA = CB\\)</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong> Trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny z podstawą \\(AB\\), więc <strong>ramiona to \\(CA\\) i \\(CB\\)</strong>, czyli szukamy \\(A\\) tak, by \\(|CA| = |CB|\\).</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Sprawdź, że \\(B\\) leży na prostej \\(y = -2x + 16\\):<br>\\[y = -2 \\cdot 3 + 16 = 10\\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Parametryzuj punkt \\(A\\) leżący na tej prostej:<br>\\[A = (a,\\ -2a + 16)\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Oblicz \\(|CB|^2\\) (stały):<br>\\[|CB|^2 = (3-(-2))^2 + (10-3)^2 = 25 + 49 = 74\\]</p>\n<p><strong>Krok 4.</strong> Wyznacz \\(|CA|^2\\):<br>\\[|CA|^2 = (a+2)^2 + (-2a+16-3)^2 = (a+2)^2 + (-2a+13)^2\\]<br>\\[= a^2 + 4a + 4 + 4a^2 - 52a + 169 = 5a^2 - 48a + 173\\]</p>\n<p><strong>Krok 5.</strong> Postaw warunek \\(|CA|^2 = |CB|^2 = 74\\):<br>\\[5a^2 - 48a + 173 = 74\\]<br>\\[5a^2 - 48a + 99 = 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 6.</strong> Wyróżnik i pierwiastki:<br>\\[\\Delta = 48^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot 99 = 2304 - 1980 = 324, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 18\\]<br>\\[a_1 = \\frac{48 + 18}{10} = \\frac{66}{10} = \\frac{33}{5}, \\qquad a_2 = \\frac{48 - 18}{10} = \\frac{30}{10} = 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 7.</strong> Odrzuć \\(a_2 = 3\\), bo daje \\(A = (3, 10) = B\\) - punkt pokrywa się z \\(B\\).</p>\n<p>Zatem:<br>\\[A = \\left(\\frac{33}{5},\\ -2 \\cdot \\frac{33}{5} + 16\\right) = \\left(\\frac{33}{5},\\ \\frac{-66+80}{5}\\right) = \\boxed{\\left(\\frac{33}{5},\\ \\frac{14}{5}\\right)}\\]</p>\n<p><strong>Krok 8.</strong> Pole trójkąta - wzór ze współrzędnych (dział 11):<br>\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(A = \\left(\\frac{33}{5}, \\frac{14}{5}\\right)\\), \\(B = (3, 10)\\), \\(C = (-2, 3)\\):<br>\\[x_B - x_A = 3 - \\frac{33}{5} = -\\frac{18}{5}, \\quad y_C - y_A = 3 - \\frac{14}{5} = \\frac{1}{5}\\]<br>\\[y_B - y_A = 10 - \\frac{14}{5} = \\frac{36}{5}, \\quad x_C - x_A = -2 - \\frac{33}{5} = -\\frac{43}{5}\\]</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2}\\left|\\left(-\\frac{18}{5}\\right)\\cdot\\frac{1}{5} - \\frac{36}{5}\\cdot\\left(-\\frac{43}{5}\\right)\\right| = \\frac{1}{2}\\left|-\\frac{18}{25} + \\frac{1548}{25}\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1530}{25} = \\boxed{\\frac{153}{5}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Podstawa i wysokość geometrycznie</h4>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Długość podstawy \\(|AB|\\):<br>\\[|AB|^2 = \\left(3 - \\frac{33}{5}\\right)^2 + \\left(10 - \\frac{14}{5}\\right)^2 = \\left(-\\frac{18}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{36}{5}\\right)^2 = \\frac{324 + 1296}{25} = \\frac{1620}{25}\\]<br>\\[|AB| = \\frac{\\sqrt{1620}}{5} = \\frac{18\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Wysokość \\(h\\) = odległość \\(C = (-2, 3)\\) od prostej \\(2x + y - 16 = 0\\) (prosta AB w postaci ogólnej):<br>\\[h = \\frac{|2\\cdot(-2) + 1\\cdot 3 - 16|}{\\sqrt{2^2+1^2}} = \\frac{|-4 + 3 - 16|}{\\sqrt{5}} = \\frac{17}{\\sqrt{5}} = \\frac{17\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Pole:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{18\\sqrt{5}}{5} \\cdot \\frac{17\\sqrt{5}}{5} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{18 \\cdot 17 \\cdot 5}{25} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1530}{25} = \\frac{1530}{50} = \\frac{153}{5}\\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<p>Odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):<br>\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia wysokości z \\(C\\) na prostą \\(AB\\).</p>\n<p>Pole trójkąta ze współrzędnych:<br>\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1.</p>\n<p>Długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2.</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)</strong> - wzór na miejsca zerowe z wyróżnikiem \\(\\Delta\\):<br>\\[x_{1,2} = \\frac{48 \\pm \\sqrt{324}}{10}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnej \\(a\\) punktu \\(A\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Tutaj ramiona to \\(CA\\) i \\(CB\\), nie \\(AC\\) i \\(BC\\). &quot;Podstawa \\(AB\\)&quot; znaczy, że <strong>to właśnie \\(AB\\) jest tą podstawą, od której mierzymy ramiona</strong>. Równoramienność oznacza \\(|CA| = |CB|\\), a nie \\(|AB| = |AC|\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równanie \\(5a^2 - 48a + 99 = 0\\) daje dwa rozwiązania - koniecznie sprawdź, czy oba dają sensowny punkt \\(A \\neq B\\). Drugie rozwiązanie \\(a = 3\\) prowadzi do \\(A = B\\), co należy odrzucić.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odległości punktu od prostej musisz najpierw zapisać prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Prosta \\(y = -2x + 16\\) to \\(2x + y - 16 = 0\\), więc \\(A = 2\\), \\(B = 1\\), \\(C = -16\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(A = \\left(\\dfrac{33}{5}, \\dfrac{14}{5}\\right)\\), \\(P_{ABC} = \\dfrac{153}{5}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - Wysokość ze środka podstawy</h5>\n<p>Trójkąt \\(ABC\\) równoramienny (\\(|CA| = |CB|\\)), więc wysokość z \\(C\\) na \\(AB\\) jest też środkową. Niech \\(D\\) - środek \\(AB\\).</p>\n<p>Wyznaczamy prostą \\(CD\\) prostopadłą do \\(AB\\): \\(AB: y = -2x+16\\) ma współczynnik \\(-2\\), więc \\(CD\\) ma \\(a = \\tfrac{1}{2}\\).<br>\\(y = \\tfrac{1}{2}x + b\\), \\(C = (-2, 3)\\): \\(3 = -1 + b \\Rightarrow b = 4\\). Prosta \\(CD: y = \\tfrac{1}{2}x + 4\\).</p>\n<p>Punkt \\(D\\) (przecięcie \\(AB\\) i \\(CD\\)):<br>\\(-2x + 16 = \\tfrac{1}{2}x + 4 \\Rightarrow \\tfrac{5}{2}x = 12 \\Rightarrow x = \\tfrac{24}{5}\\). \\(y = -\\tfrac{48}{5} + 16 = \\tfrac{32}{5}\\). \\(D = \\left(\\tfrac{24}{5}, \\tfrac{32}{5}\\right)\\).</p>\n<p>\\(D\\) jest środkiem \\(AB\\): \\(\\left(\\tfrac{x_A + 3}{2}, \\tfrac{y_A + 10}{2}\\right) = \\left(\\tfrac{24}{5}, \\tfrac{32}{5}\\right)\\).<br>\\(x_A = \\tfrac{48}{5} - 3 = \\tfrac{33}{5}\\), \\(y_A = \\tfrac{64}{5} - 10 = \\tfrac{14}{5}\\).<br>\\(A = \\left(\\tfrac{33}{5}, \\tfrac{14}{5}\\right)\\).</p>\n<p>Obliczamy długości:<br>\\(|AB| = \\sqrt{\\left(3 - \\tfrac{33}{5}\\right)^2 + \\left(10 - \\tfrac{14}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\tfrac{324}{25} + \\tfrac{1296}{25}} = \\sqrt{\\tfrac{1620}{25}} = \\tfrac{18\\sqrt 5}{5}\\).<br>\\(|CD| = \\sqrt{\\left(\\tfrac{24}{5}+2\\right)^2 + \\left(\\tfrac{32}{5}-3\\right)^2} = \\sqrt{\\tfrac{1156}{25} + \\tfrac{289}{25}} = \\sqrt{\\tfrac{1445}{25}} = \\tfrac{17\\sqrt 5}{5}\\).</p>\n<p>Pole: \\(P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot |CD| = \\tfrac{1}{2}\\cdot \\tfrac{18\\sqrt 5}{5}\\cdot \\tfrac{17\\sqrt 5}{5} = \\tfrac{18\\cdot 17\\cdot 5}{50} = \\tfrac{1530}{50} = \\dfrac{153}{5}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Warunek \\(|CA| = |CB|\\)</h5>\n<p>\\(A = (x_A, -2x_A + 16)\\) (na prostej AB).<br>\\(|CB| = \\sqrt{(3-(-2))^2 + (10-3)^2} = \\sqrt{25+49} = \\sqrt{74}\\).<br>\\((x_A + 2)^2 + (-2x_A + 13)^2 = 74\\)<br>\\(x_A^2 + 4x_A + 4 + 4x_A^2 - 52x_A + 169 = 74\\)<br>\\(5x_A^2 - 48x_A + 99 = 0\\)<br>\\(\\Delta = 2304 - 1980 = 324\\), \\(\\sqrt\\Delta = 18\\).<br>\\(x_A = \\tfrac{48 \\pm 18}{10} = 3\\) lub \\(\\tfrac{33}{5}\\).<br>\\(x_A = 3\\) odrzucamy (pokrywa się z \\(B\\)). \\(A = \\left(\\tfrac{33}{5}, \\tfrac{14}{5}\\right)\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (CKE, 0-5)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> - wyznaczenie prostej \\(CD\\) (wysokości) lub obliczenie \\(|BC| = \\sqrt{74}\\).</li><li><strong>2 pkt</strong> - obliczenie współrzędnych \\(D\\) lub zapisanie równania dla \\(x_A\\).</li><li><strong>3 pkt</strong> - obliczenie współrzędnych \\(A\\).</li><li><strong>4 pkt</strong> - obliczenie \\(|AB|\\) i \\(|CD|\\).</li><li><strong>5 pkt</strong> - pole \\(P_{ABC} = \\tfrac{153}{5}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w równoramiennym wysokość = środkowa - wystarczy znaleźć środek \\(D\\), a potem \\(A\\) przez symetrię.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$A = \\left(\\dfrac{33}{5}, \\dfrac{14}{5}\\right), P_{ABC} = \\dfrac{153}{5}$</p>"}]}