Zadanie 4. (0-1)
Cenę drukarki obniżono o 20%, a następnie nową cenę obniżono o 10%. W wyniku obu tych
zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o
A. 18%
B. 28%
C. 30%
D. 72%
Rozwiązanie zadania. Cenę drukarki obniżono o 20%, a następnie nową cenę obniżono o 10%. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o A. 18% B. 28% C. 30% D. 72%.
4 𝑎, 5
4 𝑏 oraz wysokości 𝑥 taki, że spełniona jest
równość pól:
𝑎+ 𝑏
2
⋅ℎ=
5
4 (𝑎+ 𝑏)
2
⋅𝑥
Po pomnożeniu obu stron tej równości przez 2
𝑎+𝑏 otrzymujemy ℎ= 5
4 𝑥, czyli 𝑥= 4
5 ℎ= 0,8ℎ.
Oznacza to, że wysokość ℎ trapezu została skrócona o 20%.
Zadanie 33. (0-2)
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
zapisze związek między polami trójkątów 𝐹𝐵𝐶 oraz 𝐵𝐸𝐷: 𝑃𝐹𝐵𝐶= 9𝑃𝐵𝐸𝐷
ALBO
zapisze, że trójkąty 𝐵𝐶𝐹 i 𝐵𝐸𝐷 są podobne
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy
|𝐶𝐸|
|𝐸𝐵|:
|𝐶𝐸|
|𝐸𝐵| = 2.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝐹 będzie spodkiem wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐶 na
podstawę 𝐴𝐵. Ponieważ 𝑃𝐴𝐷𝐸𝐶= 17𝑃𝐵𝐸𝐷 i trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, więc
𝑃𝐹𝐵𝐶= 9𝑃𝐵𝐸𝐷.
Prosta 𝑘 jest równoległa do wysokości 𝐶𝐹, więc trójkąty 𝐵𝐶𝐹 i 𝐵𝐸𝐷 są podobne (na
podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów).
Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych i warunków zadania otrzymujemy
𝑃𝛥𝐹𝐵𝐶
𝑃𝛥𝐵𝐸𝐷
= (|𝐵𝐶|
|𝐸𝐵|)
2
więc
Zamiast liczyć każdą obniżkę osobno, użyjemy współczynników zmiany.
\nObniżka o \\(20\\%\\) oznacza, że zostaje \\(80\\%\\) ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}8\\).
Obniżka o \\(10\\%\\) oznacza, że zostaje \\(90\\%\\) ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}9\\).
Po obu obniżkach cena wynosi:
\\[C_{\\text{końcowa}} = C_0 \\cdot 0{,}8 \\cdot 0{,}9 = C_0 \\cdot 0{,}72\\]
Cena końcowa to \\(72\\%\\) ceny wyjściowej, więc spadła o:
\\[100\\% - 72\\% = \\mathbf{28\\%}\\]
Przyjmijmy, że drukarka kosztuje \\(C_0 = 100\\) zł.
\nKrok 1: Obniżka o \\(20\\%\\):
\\[100 - 20\\% \\cdot 100 = 100 - 20 = 80 \\text{ zł}\\]
Krok 2: Nową cenę \\(80\\) zł obniżamy o \\(10\\%\\):
\\[80 - 10\\% \\cdot 80 = 80 - 8 = 72 \\text{ zł}\\]
Łączny spadek:
\\[100 - 72 = 28 \\text{ zł}\\]
Na wyjściowe \\(100\\) zł → spadek o \\(28\\) zł, czyli o \\(\\mathbf{28\\%}\\).
\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie procentów i mnożenie współczynników. Jest to zadanie rachunkowe oparte na definicji procentu.
\n| Odp. | Błąd |
| A (\\(18\\%\\)) | Uczeń liczy \\(20\\% \\cdot 10\\% = 2\\%\\), czyli "o ile obniżki się różnią" lub robi inną błędną operację; wynik \\(18\\%\\) = \\(20\\% - 2\\%\\) - ta droga nie ma sensu rachunkowego |
| C (\\(30\\%\\)) | Uczeń po prostu dodaje oba procenty: \\(20\\% + 10\\% = 30\\%\\). To klasyczny błąd - procenty obniżek nie dodają się, bo druga obniżka jest liczona od już obniżonej ceny |
| D (\\(72\\%\\)) | Uczeń poprawnie oblicza, że cena końcowa to \\(72\\%\\) ceny wyjściowej, ale zapomina odjąć od 100% - podaje ile cena wynosi, a nie o ile spadła |
⚠️ Uwaga: Procenty obniżek nie sumują się! Dwie obniżki o \\(20\\%\\) i \\(10\\%\\) to nie to samo co jedna obniżka o \\(30\\%\\). Druga obniżka liczy się od już zmniejszonej ceny, więc efekt jest zawsze mniejszy niż suma procentów.\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź D (\\(72\\%\\)) to cena po obniżkach wyrażona jako procent ceny wyjściowej - nie mylić z procentem obniżki! Pytanie brzmi "o ile zmniejszyła się cena", a nie "ile wynosi nowa cena".\n
⚠️ Uwaga: Przy kolejnych zmianach procentowych zawsze działaj na współczynnikach (\\(0{,}8 \\cdot 0{,}9 = 0{,}72\\)), a nie na samych procentach - to najszybsza i najpewniejsza metoda.\n
Poprawna odpowiedź: B
\nPo pierwszej obniżce: \\(0{,}8\\) ceny początkowej.
Po drugiej obniżce: \\(0{,}8\\cdot 0{,}9 = 0{,}72\\) ceny początkowej.
Obniżka łączna: \\(100\\% - 72\\% = 28\\%\\).
Cena 100 zł → \\(100 - 20 = 80\\) zł → \\(80 - 0{,}1\\cdot 80 = 72\\) zł. Obniżka \\(28\\) zł = \\(28\\%\\).
\nUwaga: obniżki kolejne mnożą się, nie dodają.
"}]}