{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wyrażenie (𝑥-1)ଶ-(2 -𝑥)ଶ jest równe\nA. 2𝑥-3\nB. 2𝑥ଶ-6𝑥-3\nC. (2𝑥-3)ଶ\nD. 9\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (x-1)² - (2-x)² jest równe A. 2x-3 B. 2x^2-6x-3 C. (2x-3)^2 D. 9","answer":"A","answer_text":"5. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu wszystkich par (lub wskazywaniu gałęzi\nistotnych drzewa) i wypisze (wskaże) o jedną za mało lub o jedną za dużo, ale nie wypisze\n(wskaże) żadnej niewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy\nprawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZdarzeniem elementarnym jest liczba dwucyfrowa o cyfrze dziesiątek 𝑥 i cyfrze jedności 𝑦,\ngdzie 𝑥∈{3, 4, 5, 6, 7, 8} oraz 𝑦∈{0, 1, 2, 3, 4}. Zatem zbiór wszystkich zdarzeń\nelementarnych Ω ma postać:\nΩ = {30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 50, 51, 52, 53, 54,\n60, 61, 62, 63, 64, 70, 71, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 83, 84}\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 6 ⋅5 = 30.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna\nprzez 4. Wtedy 𝐴= {32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84}. Zdarzeniu 𝐴 sprzyja więc 9 zdarzeń\nelementarnych, tj. |𝐴| = 9. Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 9","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2x - 3\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory skróconego mnożenia\n\nRozwijamy oba kwadraty osobno, korzystając ze wzoru \\((a \\pm b)^2 = a^2 \\pm 2ab + b^2\\).\n\n**Krok 1:** Rozwijamy \\((x-1)^2\\):\n\\[(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\]\n\n**Krok 2:** Rozwijamy \\((2-x)^2\\):\n\\[(2-x)^2 = 4 - 4x + x^2\\]\n\n**Krok 3:** Odejmujemy:\n\\[(x-1)^2 - (2-x)^2 = (x^2 - 2x + 1) - (4 - 4x + x^2)\\]\n\nUwaga na minus przed nawiasem - zmieniamy znaki wszystkich wyrazów w drugim nawiasie:\n\\[= x^2 - 2x + 1 - 4 + 4x - x^2\\]\n\n**Krok 4:** Redukujemy wyrazy podobne:\n\\[= (x^2 - x^2) + (-2x + 4x) + (1 - 4) = 0 + 2x - 3\\]\n\n\\[\\boxed{= 2x - 3}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nZauważamy, że mamy wyrażenie postaci \\(A^2 - B^2\\), gdzie:\n\\[A = x - 1, \\quad B = 2 - x\\]\n\nStosujemy wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\n\\[(x-1)^2 - (2-x)^2 = \\bigl[(x-1) - (2-x)\\bigr] \\cdot \\bigl[(x-1) + (2-x)\\bigr]\\]\n\n**Krok 1:** Liczymy pierwszy czynnik:\n\\[(x-1) - (2-x) = x - 1 - 2 + x = 2x - 3\\]\n\n**Krok 2:** Liczymy drugi czynnik:\n\\[(x-1) + (2-x) = x - 1 + 2 - x = 1\\]\n\n**Krok 3:** Mnożymy:\n\\[(2x-3) \\cdot 1 = \\mathbf{2x - 3}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - drugi czynnik wynosi \\(1\\), więc wynik od razu widać!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\n- \\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) - użyte w Sposobie 1 do rozwinięcia obu kwadratów\n- \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) - użyte w Sposobie 2 do faktoryzacji całego wyrażenia\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń oblicza \\((x-1)^2 + (2-x)^2\\) zamiast różnicy, lub nie redukuje \\(x^2\\) |\n| C | Uczeń widzi wynik \\(2x-3\\) i myśli, że trzeba go jeszcze podnieść do kwadratu - myli etapy obliczeń |\n| D | Uczeń błędnie oblicza \\((x-1)^2 - (2-x)^2 = (x-1-2+x)^2\\) i dostaje \\((2x-3)^2\\), a potem upraszcza losowo do stałej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus przed nawiasem zmienia znaki WSZYSTKICH wyrazów. \\(-(4 - 4x + x^2)\\) to \\(-4 + 4x - x^2\\), nie \\(-4 - 4x - x^2\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrażenie \\((2-x)^2\\) i \\((x-2)^2\\) są RÓWNE (kwadrat jest zawsze nieujemny, a \\((2-x) = -(x-2)\\), więc po podniesieniu do kwadratu wychodzi to samo). Możesz zamieniać kolejność.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(2x-3\\) jest funkcją liniową - zależy od \\(x\\). Odpowiedź D (stała \\(9\\)) od razu powinna wzbudzić podejrzenie, bo wyrażenie nie jest stałe dla wszystkich \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(a^2 - b^2\\)\n\\((x-1)^2 - (2-x)^2 = [(x-1) - (2-x)]\\cdot[(x-1) + (2-x)]\\).\nPierwszy czynnik: \\(x - 1 - 2 + x = 2x - 3\\).\nDrugi czynnik: \\(x - 1 + 2 - x = 1\\).\nIloczyn: \\((2x-3)\\cdot 1 = 2x - 3\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie\n\\((x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\), \\((2-x)^2 = 4 - 4x + x^2\\).\nRóżnica: \\(x^2 - 2x + 1 - 4 + 4x - x^2 = 2x - 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(2x^2 - 6x - 3\\)** - brak redukcji wyrazów kwadratowych.\n- **C. \\((2x-3)^2\\)** - błędna potęga.\n- **D. \\(9\\)** - tożsamość fałszywa.\n\n**Trik:** \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) zamiast rozwijać.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wyrażenie (𝑥-1)ଶ-(2 -𝑥)ଶ jest równe
A. 2𝑥-3
B. 2𝑥ଶ-6𝑥-3
C. (2𝑥-3)ଶ
D. 9

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (x-1)² - (2-x)² jest równe A. 2x-3 B. 2x^2-6x-3 C. (2x-3)^2 D. 9

","answer_text_html":"
  1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu wszystkich par (lub wskazywaniu gałęzi
\n

istotnych drzewa) i wypisze (wskaże) o jedną za mało lub o jedną za dużo, ale nie wypisze
(wskaże) żadnej niewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy
prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Zdarzeniem elementarnym jest liczba dwucyfrowa o cyfrze dziesiątek 𝑥 i cyfrze jedności 𝑦,
gdzie 𝑥∈{3, 4, 5, 6, 7, 8} oraz 𝑦∈{0, 1, 2, 3, 4}. Zatem zbiór wszystkich zdarzeń
elementarnych Ω ma postać:
Ω = {30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 50, 51, 52, 53, 54,
60, 61, 62, 63, 64, 70, 71, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 83, 84}
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 6 ⋅5 = 30.
Niech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna
przez 4. Wtedy 𝐴= {32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84}. Zdarzeniu 𝐴 sprzyja więc 9 zdarzeń
elementarnych, tj. |𝐴| = 9. Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 9

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(2x - 3\\)

\n

Sposób 1 - Wzory skróconego mnożenia

\n

Rozwijamy oba kwadraty osobno, korzystając ze wzoru \\((a \\pm b)^2 = a^2 \\pm 2ab + b^2\\).

\n

Krok 1: Rozwijamy \\((x-1)^2\\):
\\[(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\]

\n

Krok 2: Rozwijamy \\((2-x)^2\\):
\\[(2-x)^2 = 4 - 4x + x^2\\]

\n

Krok 3: Odejmujemy:
\\[(x-1)^2 - (2-x)^2 = (x^2 - 2x + 1) - (4 - 4x + x^2)\\]

\n

Uwaga na minus przed nawiasem - zmieniamy znaki wszystkich wyrazów w drugim nawiasie:
\\[= x^2 - 2x + 1 - 4 + 4x - x^2\\]

\n

Krok 4: Redukujemy wyrazy podobne:
\\[= (x^2 - x^2) + (-2x + 4x) + (1 - 4) = 0 + 2x - 3\\]

\n

\\[\\boxed{= 2x - 3}\\]

\n

Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów

\n

Zauważamy, że mamy wyrażenie postaci \\(A^2 - B^2\\), gdzie:
\\[A = x - 1, \\quad B = 2 - x\\]

\n

Stosujemy wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):

\n

\\[(x-1)^2 - (2-x)^2 = \\bigl[(x-1) - (2-x)\\bigr] \\cdot \\bigl[(x-1) + (2-x)\\bigr]\\]

\n

Krok 1: Liczymy pierwszy czynnik:
\\[(x-1) - (2-x) = x - 1 - 2 + x = 2x - 3\\]

\n

Krok 2: Liczymy drugi czynnik:
\\[(x-1) + (2-x) = x - 1 + 2 - x = 1\\]

\n

Krok 3: Mnożymy:
\\[(2x-3) \\cdot 1 = \\mathbf{2x - 3}\\]

\n

Ten sposób jest szybszy - drugi czynnik wynosi \\(1\\), więc wynik od razu widać!

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)

\n\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Uczeń oblicza \\((x-1)^2 + (2-x)^2\\) zamiast różnicy, lub nie redukuje \\(x^2\\) |
| C | Uczeń widzi wynik \\(2x-3\\) i myśli, że trzeba go jeszcze podnieść do kwadratu - myli etapy obliczeń |
| D | Uczeń błędnie oblicza \\((x-1)^2 - (2-x)^2 = (x-1-2+x)^2\\) i dostaje \\((2x-3)^2\\), a potem upraszcza losowo do stałej |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Minus przed nawiasem zmienia znaki WSZYSTKICH wyrazów. \\(-(4 - 4x + x^2)\\) to \\(-4 + 4x - x^2\\), nie \\(-4 - 4x - x^2\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu!
\n
⚠️ Uwaga: Wyrażenie \\((2-x)^2\\) i \\((x-2)^2\\) są RÓWNE (kwadrat jest zawsze nieujemny, a \\((2-x) = -(x-2)\\), więc po podniesieniu do kwadratu wychodzi to samo). Możesz zamieniać kolejność.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(2x-3\\) jest funkcją liniową - zależy od \\(x\\). Odpowiedź D (stała \\(9\\)) od razu powinna wzbudzić podejrzenie, bo wyrażenie nie jest stałe dla wszystkich \\(x\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór \\(a^2 - b^2\\)
\n

\\((x-1)^2 - (2-x)^2 = [(x-1) - (2-x)]\\cdot[(x-1) + (2-x)]\\).
Pierwszy czynnik: \\(x - 1 - 2 + x = 2x - 3\\).
Drugi czynnik: \\(x - 1 + 2 - x = 1\\).
Iloczyn: \\((2x-3)\\cdot 1 = 2x - 3\\).

\n
Sposób 2 - Rozwinięcie
\n

\\((x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\), \\((2-x)^2 = 4 - 4x + x^2\\).
Różnica: \\(x^2 - 2x + 1 - 4 + 4x - x^2 = 2x - 3\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) zamiast rozwijać.

"}]}