Zadanie 6. (0-1)
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych 𝑥,
spełniających jednocześnie nierówności 0 < 7 -3𝑥 oraz 7 -3𝑥≤5𝑥-3.
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie zadania. Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających jednocześnie nierówności 0 < 7-3x oraz 7-3x ≤ 5x-3.
6 ⋅1
5 + 1
6 ⋅1
5 + 1
6 ⋅1
5 + 1
6 ⋅1
5 + 1
6 ⋅1
5 + 1
6 ⋅1
5 + 1
6 ⋅1
5 + 1
6 ⋅1
5 + 1
6 ⋅1
5 = 9
30 = 3
10
Uwaga:
Zdający może narysować drzewo stochastyczne, w którym na pierwszym etapie losujemy
cyfrę nieparzystą lub parzystą.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 może być obliczone w następujący sposób:
𝑃(𝐴) = 1
2 ⋅1
5 + 1
2 ⋅1
5 + 1
2 ⋅1
5 = 3
10
Sposób 4.
Niech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna
przez 4.
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia |Ω| = 6 ⋅5 = 30
lub opisujemy zbiór zdarzeń elementarnych np. w postaci tabeli
𝟎
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟑
30
31
32
33
34
𝟒
40
41
42
43
44
𝟓
50
51
52
53
54
𝟔
60
61
62
63
64
𝟕
70
71
72
73
74
𝟖
80
81
82
83
84
Wskazujemy elementy zbioru 𝐴′ i zliczamy je: |𝐴′| = 21. Ponieważ wszystkie zdarzenia
jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, więc korzystamy z klasycznej definicji
prawdopodobieństwa:
𝑃(𝐴) = 1 -𝑃(𝐴′) = 1 -21
30 = 9
30 = 3
10
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zadanie 35. (0-5)
Zasady oceniania
dla sposobów 1.-3.
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
wyznaczy równanie prostej zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na
bok 𝐴𝐵: 𝑦= 1
2 𝑥+ 4
ALBO
obliczy długość ramienia 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = √74
ALBO
obliczy współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶: 𝑎𝐵𝐶= 7
5
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
obliczy współrzędne punktu 𝐷, będącego środkiem odcinka 𝐴𝐵: 𝐷= (24
5 , 32
5 )
ALBO
zapisze równanie wynikające z równoramienności trójkąta 𝐴𝐵𝐶, umożliwiające
obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑥𝐴 punktu 𝐴:
√(𝑥𝐴-(-2))
2 + (-2𝑥𝐴+ 16 -3)2 = √(3 -(-2))
2 + (10 -3)2
ALBO
wyznaczy równanie prostej 𝐴𝐶: 𝑦= -1
43 𝑥+ 127
43
Zdający otrzymuje 3 p.
obliczy współrzędne punktu 𝐴: 𝐴= (33
5 , 14
5 ).
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy obliczy długość podstawy 𝐴𝐵 i wysokość 𝐶𝐷 trójkąta: |𝐴𝐵| = 18√5
5
, |𝐶𝐷| = 17√5
5 .
Zdający otrzymuje 5 p.
gdy obliczy współrzędne punktu 𝐴 i obliczy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝐴= (33
5 , 14
5 ), 𝑃𝐴𝐵𝐶= 153
5 .
Uwaga:
Jeśli zdający realizuję strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe, to może
otrzymać 4 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego zagadnienia na żadnym
etapie rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, więc wysokość opuszczona z wierzchołka 𝐶 na podstawę
𝐴𝐵 jest jednocześnie środkową trójkąta 𝐴𝐵𝐶.
Niech 𝐷 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐵.
Wyznaczamy równanie prostej 𝐶𝐷, zawierającej wysokość trójkąta:
𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏
𝑎⋅(-2) = -1 (gdyż 𝐶𝐷⊥𝑦= -2𝑥+ 16)
𝑎= 1
2
3 = 1
2 ⋅(-2) + 𝑏 (gdyż 𝐶∈𝐶𝐷)
𝑏= 4
Zatem prosta 𝐶𝐷 ma równanie 𝑦= 1
2 𝑥+ 4.
Wyznaczamy współrzędne punktu 𝐷 (tj. punktu, w którym przecinają się proste 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷):
{𝑦= 1
2 𝑥+ 4
𝑦= -2𝑥+ 16
Stąd 𝑥= 24
5 i 𝑦= 32
5 , więc 𝐷= (24
5 , 32
5 ).
Korzystamy z faktu, że 𝐷 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵 i obliczamy współrzędne punktu 𝐴:
(24
5 , 32
5 ) = (𝑥𝐴+ 3
2
, 𝑦𝐴+ 10
2
)
24
5 = 𝑥𝐴+ 3
2
i 32
5 = 𝑦𝐴+ 10
2
Stąd 𝐴= (33
5 , 14
5 ).
Obliczamy długości podstawy 𝐴𝐵 i wysokości 𝐶𝐷 trójkąta:
|𝐴𝐵| = √(3 -33
5 )
2
5 )
2
= √(-18
5 )
2
5 )
2
= √324
25 + 4 ⋅324
25
= √324
25 ⋅5 = 18√5
5
|𝐶𝐷| = √(24
5 -(-2))
2
5 -3)
2
= √(34
5 )
2
5 )
2
= √4 ⋅289
25
25 = √289
25 ⋅5 = 17√5
5
Obliczamy pole 𝑃𝐴𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐶𝐷| = 1
2 ⋅18√5
5
⋅17√5
5
= 153
5
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób 2.
Niech 𝑥𝐴 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐴. Punkt 𝐴 leży na prostej 𝑦= -2𝑥+ 16,
więc 𝐴= (𝑥𝐴, -2𝑥𝐴+ 16).
Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, w którym |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|. Stąd
√(𝑥𝐴-(-2))
2 + (-2𝑥𝐴+ 16 -3)2 = √(3 -(-2))
2 + (10 -3)2
i dalej
√(𝑥𝐴+ 2)2 + (-2𝑥𝐴+ 13)2 = √74
5(𝑥𝐴)2 -48𝑥𝐴+ 99 = 0
Δ = (-48)2 -4 ⋅5 ⋅99 = 324
𝑥𝐴= 48 -18
10
= 3 lub 𝑥𝐴= 48 + 18
10
= 33
5
Rozwiązanie 𝑥𝐴= 3 odrzucamy, gdyż wtedy punkty 𝐴 i 𝐵 pokrywałyby się.
Zatem 𝐴= (33
5 , 14
5 ).
Obliczymy pole 𝑃𝐴𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, korzystając ze wzoru
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 |(𝑥𝐵-𝑥𝐴)(𝑦𝐶-𝑦𝐴) -(𝑦𝐵-𝑦𝐴)(𝑥𝐶-𝑥𝐴)|
Otrzymujemy
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 |(3 -33
5 ) (3 -14
5 ) -(10 -14
5 ) (-2 -33
5 )| = 1
2 ⋅|(-18
5 ) ⋅1
5 -36
5 ⋅(-43
5 )| =
= 1
2 ⋅|1530
25 | = 153
5
Sposób 3.
Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny o podstawie 𝐴𝐵. Niech 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵| = |∡𝐶𝐵𝐴|.
Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶:
{10 = 𝑎⋅3 + 𝑏
3 = 𝑎⋅(-2) + 𝑏
Stąd 𝑎= 7
5 i 𝑏= 29
5 .
Proste 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 tworzą kąt ostry 𝛼, więc
tg 𝛼= | 𝑎𝐵𝐶-𝑎𝐴𝐵
1 + 𝑎𝐵𝐶⋅𝑎𝐴𝐵
7
5 -(-2)
1 + 7
5 ⋅(-2)
| = |-17
9 | = 17
9
Proste 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 tworzą kąt ostry 𝛼, więc
tg 𝛼= | 𝑎𝐴𝐶-𝑎𝐴𝐵
1 + 𝑎𝐴𝐶⋅𝑎𝐴𝐵
| = | 𝑎𝐴𝐶-(-2)
1 + 𝑎𝐴𝐶⋅(-2)| = | 𝑎𝐴𝐶+ 2
1 -2𝑎𝐴𝐶
Łącząc ostatnie dwa równania, otrzymujemy kolejno
| 𝑎𝐴𝐶+ 2
1 -2𝑎𝐴𝐶
| = 17
9
𝑎𝐴𝐶+ 2
1 -2𝑎𝐴𝐶
= 17
9 lub 𝑎𝐴𝐶+ 2
1 -2𝑎𝐴𝐶
= -17
9
9(𝑎𝐴𝐶+ 2) = 17(1 -2𝑎𝐴𝐶) lub 9(𝑎𝐴𝐶+ 2) = -17(1 -2𝑎𝐴𝐶)
43𝑎𝐴𝐶= -1 lub 25𝑎𝐴𝐶= 35
𝑎𝐴𝐶= -1
43 lub 𝑎𝐴𝐶= 7
5
Rozwiązanie 𝑎𝐴𝐶= 7
5 odrzucamy, gdyż wtedy proste 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 pokrywałyby się. Zatem
𝑎𝐴𝐶= -1
Zbiorem rozwiązań obu nierówności jednocześnie jest przedział \\(\\left\\langle \\dfrac{5}{4},\\ \\dfrac{7}{3} \\right)\\) - domknięty od lewej (wypełniony punkt w \\(\\frac{5}{4}\\)), otwarty od prawej (kółko w \\(\\frac{7}{3}\\)).
\nMamy dwie nierówności do spełnienia jednocześnie:
\n\\[\\text{(I)}\\ \\ 0 < 7 - 3x \\qquad \\text{i} \\qquad \\text{(II)}\\ \\ 7 - 3x \\leq 5x - 3\\]
\nNierówność (I):
\\[0 < 7 - 3x\\]
\\[3x < 7\\]
\\[x < \\frac{7}{3}\\]
Nierówność (II):
\\[7 - 3x \\leq 5x - 3\\]
\\[7 + 3 \\leq 5x + 3x\\]
\\[10 \\leq 8x\\]
\\[x \\geq \\frac{10}{8} = \\frac{5}{4}\\]
Część wspólna (oba warunki muszą być spełnione jednocześnie):
\\[\\frac{5}{4} \\leq x < \\frac{7}{3}\\]
Jest to przedział \\(\\left\\langle \\dfrac{5}{4},\\ \\dfrac{7}{3} \\right)\\).
\nNa osi liczbowej: wypełniony punkt w \\(\\frac{5}{4}\\) (nierówność ostra z lewej to "≥", więc kraniec należy) i puste kółko w \\(\\frac{7}{3}\\) (nierówność ostra, kraniec nie należy). To odpowiada rysunkowi B.
\nZauważamy, że wyrażenie \\(7 - 3x\\) występuje w obu nierównościach - to ułatwia analizę.
\nPodstawmy \\(t = 7 - 3x\\). Warunki stają się:
\\[0 < t \\leq 5x - 3\\]
Z pierwszego warunku: \\(t > 0\\), czyli \\(7 - 3x > 0\\), więc \\(x < \\frac{7}{3}\\). ✓
\nPołączmy warunki bezpośrednio - z nierówności (I) i (II) mamy:
\\[0 < 7 - 3x \\leq 5x - 3\\]
To daje nam dwa ograniczenia naraz. Z lewej strony: \\(x < \\frac{7}{3}\\), z prawej:
\\[7 - 3x \\leq 5x - 3 \\implies x \\geq \\frac{5}{4}\\]
Weryfikacja krańców:
\nWynik potwierdzony: \\(\\left\\langle \\dfrac{5}{4},\\ \\dfrac{7}{3} \\right)\\).
\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowe przekształcanie nierówności liniowych (przenoszenie wyrazów, dzielenie przez liczbę dodatnią).
\nWażna zasada (nie na karcie, ale fundamentalna): Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną - znak nierówności się odwraca. Tutaj nie było takiej potrzeby (dzieliliśmy przez \\(+3\\) i \\(+8\\)).\n
| Odp. | Błąd |
| A | Rysunek może pokazywać półprostą lub inny przedział - nie odpowiada zbiorowi \\(\\left\\langle \\frac{5}{4}, \\frac{7}{3} \\right)\\) |
| C | Wynik \\(\\left(-\\infty, \\frac{7}{3}\\right)\\) - uczeń rozwiązał tylko nierówność (I), zapomniał o warunku (II), który narzuca ograniczenie \\(x \\geq \\frac{5}{4}\\) |
| D | Wynik \\(\\left\\langle \\frac{5}{4}, +\\infty \\right)\\) - uczeń rozwiązał tylko nierówność (II), zapomniał o warunku (I), który narzuca ograniczenie \\(x < \\frac{7}{3}\\) |
⚠️ Uwaga: Sprawdź, czy kraniec należy do przedziału! Nierówność \\(\\leq\\) lub \\(\\geq\\) → wypełniony punkt; nierówność ostra \\(<\\) lub \\(>\\) → puste kółko. Tutaj \\(\\frac{5}{4}\\) należy (znak "≤" w nierówności II), a \\(\\frac{7}{3}\\) nie należy (znak "<" w nierówności I).\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwiązywaniu układu nierówności zawsze bierz część wspólną (przekrój) obu zbiorów rozwiązań - nie sumę! Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie.\n
⚠️ Uwaga: Przenosząc \\(-3x\\) na drugą stronę, otrzymujesz \\(+3x\\) (zmiana znaku). Łatwo tu o pomyłkę przy spieszeniu się - zawsze sprawdź kierunek nierówności po przekształceniu.\n
Poprawna odpowiedź: B
\nI: \\(0 < 7 - 3x \\Rightarrow 3x < 7 \\Rightarrow x < \\tfrac{7}{3}\\).
II: \\(7 - 3x \\le 5x - 3 \\Rightarrow 10 \\le 8x \\Rightarrow x \\ge \\tfrac{10}{8} = \\tfrac{5}{4}\\).
Część wspólna: \\(x \\in \\left\\langle\\tfrac{5}{4}, \\tfrac{7}{3}\\right)\\).
\\(x = \\tfrac{5}{4}\\): I: \\(7 - \\tfrac{15}{4} = \\tfrac{13}{4} > 0\\) ✓; II: \\(\\tfrac{13}{4} \\le \\tfrac{25}{4} - 3 = \\tfrac{13}{4}\\) ✓ (równość - należy).
\\(x = \\tfrac{7}{3}\\): I: \\(7 - 7 = 0\\) - nierówność ostra, nie należy.
Uwaga: w B kropka przy \\(\\tfrac{5}{4}\\) (zamknięty), kółko przy \\(\\tfrac{7}{3}\\) (otwarty).
"}]}