{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nRozwiązaniem równania 𝑥√3 + 2 = 2𝑥-8 jest liczba\nA. 10൫2 + √3൯\nB. 10\nඥ3-2\nC. 10൫√3 -2൯\nD.\nඥ3+10\n2\nRozwiązanie zadania. Rozwiązaniem równania x√3 + 2 = 2x-8 jest liczba A. 10(2+√3) B. 10/√3-2 C. 10(√3-2) D. √3+10/2.","answer":"A","answer_text":"7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(10(2 + \\sqrt{3})\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie x i racjonalizacja mianownika\n\n**Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, resztę na prawą:**\n\n\\[x\\sqrt{3} + 2 = 2x - 8\\]\n\n\\[x\\sqrt{3} - 2x = -8 - 2\\]\n\n\\[x(\\sqrt{3} - 2) = -10\\]\n\n**Dzielimy obie strony przez \\((\\sqrt{3} - 2)\\):**\n\n\\[x = \\frac{-10}{\\sqrt{3} - 2}\\]\n\nMamy ułamek z irracjonalnym mianownikiem - **racjonalizujemy**, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie \\((\\sqrt{3} + 2)\\):\n\n\\[x = \\frac{-10}{\\sqrt{3} - 2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3} + 2}{\\sqrt{3} + 2} = \\frac{-10(\\sqrt{3} + 2)}{(\\sqrt{3})^2 - 2^2}\\]\n\n\\[x = \\frac{-10(\\sqrt{3} + 2)}{3 - 4} = \\frac{-10(\\sqrt{3} + 2)}{-1}\\]\n\n\\[\\boxed{x = 10(\\sqrt{3} + 2) = 10(2 + \\sqrt{3})}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 10(2 + \\sqrt{3})\\) spełnia równanie. Wyznaczamy składniki:\n\n\\[x = 20 + 10\\sqrt{3}\\]\n\n**Lewa strona:**\n\\[x\\sqrt{3} + 2 = (20 + 10\\sqrt{3})\\cdot\\sqrt{3} + 2 = 20\\sqrt{3} + 10 \\cdot 3 + 2 = 20\\sqrt{3} + 32\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[2x - 8 = 2(20 + 10\\sqrt{3}) - 8 = 40 + 20\\sqrt{3} - 8 = 20\\sqrt{3} + 32\\]\n\nLewa = Prawa = \\(20\\sqrt{3} + 32\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy algebra elementarna (wyłączanie przed nawias) oraz technika racjonalizacji mianownika (wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) z **Działu 6, s. 7**):\n\n\\[({\\sqrt{3} - 2})(\\sqrt{3} + 2) = (\\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1\\]\n\nTo kluczowy krok - właśnie dlatego dwa minusy się \"znoszą\" i wynik jest dodatni.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość przybliżona | Typowy błąd |\n| **B** | \\(\\approx -37{,}3\\) | Racjonalizuje się przez \\((\\sqrt{3}+2)\\), ale zapomina, że \\((\\sqrt{3}-2)(\\sqrt{3}+2) = -1\\), nie \\(+1\\). Wynik zmienia znak: \\(\\frac{-10}{\\sqrt{3}-2} \\ne \\frac{10}{\\sqrt{3}-2}\\) |\n| **C** | \\(\\approx -2{,}7\\) | Racjonalizuje się przez \\((\\sqrt{3}-2)\\) zamiast przez sprzężenie \\((\\sqrt{3}+2)\\). Mianownik wtedy: \\((\\sqrt{3}-2)^2 = 3 - 4\\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\\sqrt{3}\\) - wynik się nie upraszcza, a uczeń \"zgaduje\" \\(10(\\sqrt{3}-2)\\) |\n| **D** | \\(\\approx 5{,}87\\) | Po doprowadzeniu do \\(x\\sqrt{3} + 10 = 2x\\) uczeń traktuje \\(\\sqrt{3}\\) jako **stałą** (nie jako współczynnik \\(x\\)) i dzieli \\((\\sqrt{3} + 10)\\) przez \\(2\\) - błąd: pomija \\(x\\) przy \\(\\sqrt{3}\\) po lewej stronie |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy racjonalizacji \\(\\frac{a}{\\sqrt{3}-2}\\) mnożymy przez **sprzężenie** \\((\\sqrt{3}+2)\\), a **nie** przez \\((\\sqrt{3}-2)\\). Sprzężenie zmienia tylko znak środkowy sumy/różnicy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((\\sqrt{3}-2)(\\sqrt{3}+2) = 3 - 4 = \\mathbf{-1}\\) - wynik **ujemny**, bo \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}73 < 2\\). Oba minusy w liczniku i mianowniku muszą się skasować - dopiero wtedy wychodzi wynik dodatni.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów z \\(x\\): \\(x\\sqrt{3} - 2x = x(\\sqrt{3} - 2)\\) - pamiętaj wyłączyć \\(x\\) przed nawias, bo tylko wtedy możesz podzielić obie strony przez \\((\\sqrt{3}-2)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Przeniesienie wyrazów\n\\(x\\sqrt{3} + 2 = 2x - 8\\)\n\\(x\\sqrt{3} - 2x = -8 - 2\\)\n\\(x(\\sqrt{3} - 2) = -10\\)\n\\(x = \\dfrac{-10}{\\sqrt{3} - 2}\\)\nRacjonalizujemy mnożąc licznik i mianownik przez \\((\\sqrt{3}+2)\\):\n\\(x = \\dfrac{-10(\\sqrt{3}+2)}{(\\sqrt{3})^2 - 2^2} = \\dfrac{-10(\\sqrt{3}+2)}{3-4} = \\dfrac{-10(\\sqrt{3}+2)}{-1} = 10(\\sqrt{3}+2) = 10(2+\\sqrt{3})\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi A\nDla \\(x = 10(2+\\sqrt{3}) = 20 + 10\\sqrt{3}\\):\nL: \\((20+10\\sqrt{3})\\sqrt{3} + 2 = 20\\sqrt{3} + 30 + 2 = 20\\sqrt{3} + 32\\).\nP: \\(2(20+10\\sqrt{3}) - 8 = 40 + 20\\sqrt{3} - 8 = 20\\sqrt{3} + 32\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{10}{\\sqrt{3}-2}\\)** - brak znaku minus.\n- **C. \\(10(\\sqrt{3}-2)\\)** - błąd znaku.\n- **D. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}+10}{2}\\)** - nieprawidłowa algebra.\n\n**Trik:** racjonalizacja mianownika przez sprzężenie.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Rozwiązaniem równania 𝑥√3 + 2 = 2𝑥-8 jest liczba
A. 10൫2 + √3൯
B. 10
ඥ3-2
C. 10൫√3 -2൯
D.
ඥ3+10
2
Rozwiązanie zadania. Rozwiązaniem równania x√3 + 2 = 2x-8 jest liczba A. 10(2+√3) B. 10/√3-2 C. 10(√3-2) D. √3+10/2.

","answer_text_html":"
  1. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
\n

zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(10(2 + \\sqrt{3})\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie x i racjonalizacja mianownika

\n

Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, resztę na prawą:

\n

\\[x\\sqrt{3} + 2 = 2x - 8\\]

\n

\\[x\\sqrt{3} - 2x = -8 - 2\\]

\n

\\[x(\\sqrt{3} - 2) = -10\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\((\\sqrt{3} - 2)\\):

\n

\\[x = \\frac{-10}{\\sqrt{3} - 2}\\]

\n

Mamy ułamek z irracjonalnym mianownikiem - racjonalizujemy, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie \\((\\sqrt{3} + 2)\\):

\n

\\[x = \\frac{-10}{\\sqrt{3} - 2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3} + 2}{\\sqrt{3} + 2} = \\frac{-10(\\sqrt{3} + 2)}{(\\sqrt{3})^2 - 2^2}\\]

\n

\\[x = \\frac{-10(\\sqrt{3} + 2)}{3 - 4} = \\frac{-10(\\sqrt{3} + 2)}{-1}\\]

\n

\\[\\boxed{x = 10(\\sqrt{3} + 2) = 10(2 + \\sqrt{3})}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy \\(x = 10(2 + \\sqrt{3})\\) spełnia równanie. Wyznaczamy składniki:

\n

\\[x = 20 + 10\\sqrt{3}\\]

\n

Lewa strona:
\\[x\\sqrt{3} + 2 = (20 + 10\\sqrt{3})\\cdot\\sqrt{3} + 2 = 20\\sqrt{3} + 10 \\cdot 3 + 2 = 20\\sqrt{3} + 32\\]

\n

Prawa strona:
\\[2x - 8 = 2(20 + 10\\sqrt{3}) - 8 = 40 + 20\\sqrt{3} - 8 = 20\\sqrt{3} + 32\\]

\n

Lewa = Prawa = \\(20\\sqrt{3} + 32\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy algebra elementarna (wyłączanie przed nawias) oraz technika racjonalizacji mianownika (wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) z Działu 6, s. 7):

\n

\\[({\\sqrt{3} - 2})(\\sqrt{3} + 2) = (\\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1\\]

\n

To kluczowy krok - właśnie dlatego dwa minusy się "znoszą" i wynik jest dodatni.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wartość przybliżona | Typowy błąd |
| B | \\(\\approx -37{,}3\\) | Racjonalizuje się przez \\((\\sqrt{3}+2)\\), ale zapomina, że \\((\\sqrt{3}-2)(\\sqrt{3}+2) = -1\\), nie \\(+1\\). Wynik zmienia znak: \\(\\frac{-10}{\\sqrt{3}-2} \\ne \\frac{10}{\\sqrt{3}-2}\\) |
| C | \\(\\approx -2{,}7\\) | Racjonalizuje się przez \\((\\sqrt{3}-2)\\) zamiast przez sprzężenie \\((\\sqrt{3}+2)\\). Mianownik wtedy: \\((\\sqrt{3}-2)^2 = 3 - 4\\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\\sqrt{3}\\) - wynik się nie upraszcza, a uczeń "zgaduje" \\(10(\\sqrt{3}-2)\\) |
| D | \\(\\approx 5{,}87\\) | Po doprowadzeniu do \\(x\\sqrt{3} + 10 = 2x\\) uczeń traktuje \\(\\sqrt{3}\\) jako stałą (nie jako współczynnik \\(x\\)) i dzieli \\((\\sqrt{3} + 10)\\) przez \\(2\\) - błąd: pomija \\(x\\) przy \\(\\sqrt{3}\\) po lewej stronie |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przy racjonalizacji \\(\\frac{a}{\\sqrt{3}-2}\\) mnożymy przez sprzężenie \\((\\sqrt{3}+2)\\), a nie przez \\((\\sqrt{3}-2)\\). Sprzężenie zmienia tylko znak środkowy sumy/różnicy!
\n
⚠️ Uwaga: \\((\\sqrt{3}-2)(\\sqrt{3}+2) = 3 - 4 = \\mathbf{-1}\\) - wynik ujemny, bo \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}73 < 2\\). Oba minusy w liczniku i mianowniku muszą się skasować - dopiero wtedy wychodzi wynik dodatni.
\n
⚠️ Uwaga: Przy przenoszeniu wyrazów z \\(x\\): \\(x\\sqrt{3} - 2x = x(\\sqrt{3} - 2)\\) - pamiętaj wyłączyć \\(x\\) przed nawias, bo tylko wtedy możesz podzielić obie strony przez \\((\\sqrt{3}-2)\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Przeniesienie wyrazów
\n

\\(x\\sqrt{3} + 2 = 2x - 8\\)
\\(x\\sqrt{3} - 2x = -8 - 2\\)
\\(x(\\sqrt{3} - 2) = -10\\)
\\(x = \\dfrac{-10}{\\sqrt{3} - 2}\\)
Racjonalizujemy mnożąc licznik i mianownik przez \\((\\sqrt{3}+2)\\):
\\(x = \\dfrac{-10(\\sqrt{3}+2)}{(\\sqrt{3})^2 - 2^2} = \\dfrac{-10(\\sqrt{3}+2)}{3-4} = \\dfrac{-10(\\sqrt{3}+2)}{-1} = 10(\\sqrt{3}+2) = 10(2+\\sqrt{3})\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi A
\n

Dla \\(x = 10(2+\\sqrt{3}) = 20 + 10\\sqrt{3}\\):
L: \\((20+10\\sqrt{3})\\sqrt{3} + 2 = 20\\sqrt{3} + 30 + 2 = 20\\sqrt{3} + 32\\).
P: \\(2(20+10\\sqrt{3}) - 8 = 40 + 20\\sqrt{3} - 8 = 20\\sqrt{3} + 32\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: racjonalizacja mianownika przez sprzężenie.

"}]}