{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nRównanie 𝑥2-7𝑥\n𝑥2-49 = 0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie\nA. jedno rozwiązanie.\nB. dwa rozwiązania.\nC. trzy rozwiązania.\nD. cztery rozwiązania.\n5\n4\n7\n3\n𝑥\n5\n4\n7\n3\n𝑥\n5\n4\n7\n3\n𝑥\n5\n4\n7\n3\n𝑥\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Równanie x²-7x / x²-49 = 0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.","answer":"A","answer_text":"8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - jedno rozwiązanie.\n\n## Sposób 1 - Dziedzina + uproszczenie ułamka\n\n**Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę.**\n\nMianownik \\(x^2 - 49\\) nie może być równy zero:\n\\[x^2 - 49 \\neq 0 \\implies x \\neq 7 \\text{ i } x \\neq -7\\]\n\nDziedzina: \\(\\mathbb{R} \\setminus \\{-7, 7\\}\\).\n\n**Krok 2: Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki.**\n\n\\[x^2 - 7x = x(x - 7)\\]\n\\[x^2 - 49 = (x-7)(x+7)\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[\\frac{x(x-7)}{(x-7)(x+7)} = 0\\]\n\n**Krok 3: Skracamy ułamek - ALE tylko w dziedzinie!**\n\nCzynnik \\((x-7)\\) możemy skrócić, bo wiemy już, że \\(x \\neq 7\\), więc \\(x - 7 \\neq 0\\):\n\\[\\frac{x}{x+7} = 0\\]\n\n**Krok 4: Rozwiązujemy.**\n\nUłamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0** (mianownik \\(\\neq 0\\)):\n\\[x = 0\\]\n\nSprawdzamy: \\(x = 0\\) należy do dziedziny (nie jest \\(\\pm 7\\)). ✓\n\n**Jedyne rozwiązanie: \\(x = 0\\).**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z warunku: licznik = 0, mianownik ≠ 0\n\nUłamek \\(\\frac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(L = 0\\) **i** \\(M \\neq 0\\).\n\n**Warunek \\(L = 0\\):**\n\\[x^2 - 7x = 0 \\implies x(x-7) = 0 \\implies x = 0 \\text{ lub } x = 7\\]\n\n**Warunek \\(M \\neq 0\\):**\n\\[x^2 - 49 \\neq 0 \\implies x \\neq 7 \\text{ i } x \\neq -7\\]\n\nSprawdzamy kandydatów:\n- \\(x = 0\\): mianownik \\(= 0 - 49 = -49 \\neq 0\\) ✓ - **jest rozwiązaniem**\n- \\(x = 7\\): mianownik \\(= 49 - 49 = 0\\) ✗ - **odpada (zero w mianowniku)**\n\n**Jedyne rozwiązanie: \\(x = 0\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego do rozkładu mianownika: \\(x^2 - 49 = (x-7)(x+7)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Uczeń liczy miejsca zerowe licznika (\\(x = 0\\) i \\(x = 7\\)) i zapomina sprawdzić dziedziny. Oba traktuje jako rozwiązania. |\n| C | Uczeń myli miejsca zerowe licznika z mianownikiem i dodaje \\(x = -7\\) do \"rozwiązań\". |\n| D | Kombinacja powyższych błędów - uczeń znajduje 4 wartości (\\(0, 7, -7\\) i jeszcze coś) nie rozumiejąc, co tu jest pytane. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba \\(x = 7\\) **zeruje zarówno licznik, jak i mianownik** - to nie jest rozwiązanie równania, to punkt **wyłączony z dziedziny**. Ułamek w \\(x = 7\\) w ogóle nie istnieje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skracanie \\((x-7)\\) jest legalne tylko dlatego, że wcześniej wykluczyliśmy \\(x = 7\\) z dziedziny. Nie wolno skracać \"na ślepo\", a potem sprawdzać - kolejność ma znaczenie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada ogólna - **ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 i mianownik ≠ 0**. Ta zasada rozwiązuje cały typ tych zadań jednym krokiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Rozkład i dziedzina\nDziedzina: \\(x^2 - 49 \\ne 0 \\Rightarrow x \\ne \\pm 7\\).\nLicznik: \\(x^2 - 7x = x(x - 7) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = 7\\).\nRozwiązanie \\(x = 7\\) odrzucamy (poza dziedziną). Zostaje tylko \\(x = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie\n\\(\\dfrac{x(x-7)}{(x-7)(x+7)} = \\dfrac{x}{x+7} = 0 \\Rightarrow x = 0\\) (przy \\(x \\ne \\pm 7\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D** - nie uwzględniono dziedziny (odrzucenia \\(x = 7\\) i \\(x = -7\\)).\n\n**Zasada:** ułamek równy zero, gdy licznik = 0 i mianownik ≠ 0.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Równanie 𝑥2-7𝑥<br>𝑥2-49 = 0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie<br>A. jedno rozwiązanie.<br>B. dwa rozwiązania.<br>C. trzy rozwiązania.<br>D. cztery rozwiązania.<br>5<br>4<br>7<br>3<br>𝑥<br>5<br>4<br>7<br>3<br>𝑥<br>5<br>4<br>7<br>3<br>𝑥<br>5<br>4<br>7<br>3<br>𝑥</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Równanie x²-7x / x²-49 = 0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.</p>","answer_text_html":"<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - jedno rozwiązanie.</h4>\n<h4>Sposób 1 - Dziedzina + uproszczenie ułamka</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę.</strong></p>\n<p>Mianownik \\(x^2 - 49\\) nie może być równy zero:<br>\\[x^2 - 49 \\neq 0 \\implies x \\neq 7 \\text{ i } x \\neq -7\\]</p>\n<p>Dziedzina: \\(\\mathbb{R} \\setminus \\{-7, 7\\}\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki.</strong></p>\n<p>\\[x^2 - 7x = x(x - 7)\\]<br>\\[x^2 - 49 = (x-7)(x+7)\\]</p>\n<p>Równanie przyjmuje postać:<br>\\[\\frac{x(x-7)}{(x-7)(x+7)} = 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Skracamy ułamek - ALE tylko w dziedzinie!</strong></p>\n<p>Czynnik \\((x-7)\\) możemy skrócić, bo wiemy już, że \\(x \\neq 7\\), więc \\(x - 7 \\neq 0\\):<br>\\[\\frac{x}{x+7} = 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Rozwiązujemy.</strong></p>\n<p>Ułamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy <strong>licznik = 0</strong> (mianownik \\(\\neq 0\\)):<br>\\[x = 0\\]</p>\n<p>Sprawdzamy: \\(x = 0\\) należy do dziedziny (nie jest \\(\\pm 7\\)). ✓</p>\n<p><strong>Jedyne rozwiązanie: \\(x = 0\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednio z warunku: licznik = 0, mianownik ≠ 0</h4>\n<p>Ułamek \\(\\frac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(L = 0\\) <strong>i</strong> \\(M \\neq 0\\).</p>\n<p><strong>Warunek \\(L = 0\\):</strong><br>\\[x^2 - 7x = 0 \\implies x(x-7) = 0 \\implies x = 0 \\text{ lub } x = 7\\]</p>\n<p><strong>Warunek \\(M \\neq 0\\):</strong><br>\\[x^2 - 49 \\neq 0 \\implies x \\neq 7 \\text{ i } x \\neq -7\\]</p>\n<p>Sprawdzamy kandydatów:</p>\n<ul><li>\\(x = 0\\): mianownik \\(= 0 - 49 = -49 \\neq 0\\) ✓ - <strong>jest rozwiązaniem</strong></li><li>\\(x = 7\\): mianownik \\(= 49 - 49 = 0\\) ✗ - <strong>odpada (zero w mianowniku)</strong></li></ul>\n<p><strong>Jedyne rozwiązanie: \\(x = 0\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):</strong><br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśmy tego do rozkładu mianownika: \\(x^2 - 49 = (x-7)(x+7)\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| B | Uczeń liczy miejsca zerowe licznika (\\(x = 0\\) i \\(x = 7\\)) i zapomina sprawdzić dziedziny. Oba traktuje jako rozwiązania. |<br>| C | Uczeń myli miejsca zerowe licznika z mianownikiem i dodaje \\(x = -7\\) do &quot;rozwiązań&quot;. |<br>| D | Kombinacja powyższych błędów - uczeń znajduje 4 wartości (\\(0, 7, -7\\) i jeszcze coś) nie rozumiejąc, co tu jest pytane. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba \\(x = 7\\) <strong>zeruje zarówno licznik, jak i mianownik</strong> - to nie jest rozwiązanie równania, to punkt <strong>wyłączony z dziedziny</strong>. Ułamek w \\(x = 7\\) w ogóle nie istnieje.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Skracanie \\((x-7)\\) jest legalne tylko dlatego, że wcześniej wykluczyliśmy \\(x = 7\\) z dziedziny. Nie wolno skracać &quot;na ślepo&quot;, a potem sprawdzać - kolejność ma znaczenie!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zasada ogólna - <strong>ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 i mianownik ≠ 0</strong>. Ta zasada rozwiązuje cały typ tych zadań jednym krokiem.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Rozkład i dziedzina</h5>\n<p>Dziedzina: \\(x^2 - 49 \\ne 0 \\Rightarrow x \\ne \\pm 7\\).<br>Licznik: \\(x^2 - 7x = x(x - 7) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = 7\\).<br>Rozwiązanie \\(x = 7\\) odrzucamy (poza dziedziną). Zostaje tylko \\(x = 0\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Uproszczenie</h5>\n<p>\\(\\dfrac{x(x-7)}{(x-7)(x+7)} = \\dfrac{x}{x+7} = 0 \\Rightarrow x = 0\\) (przy \\(x \\ne \\pm 7\\)).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B, C, D</strong> - nie uwzględniono dziedziny (odrzucenia \\(x = 7\\) i \\(x = -7\\)).</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> ułamek równy zero, gdy licznik = 0 i mianownik ≠ 0.</p>"}]}