{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓 określonej w zbiorze (-1, 7).\nWskaż zdanie prawdziwe.\nA. Funkcja 𝑓 ma trzy miejsca zerowe.\nB. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest ⟨-1, 1).\nC. Funkcja 𝑓 osiąga wartość największą równą 1.\nD. Funkcja 𝑓 osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru (-1, 0).\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej w zbiorze (-1,7). Wskaż zadanie prawdziwe. A. Funkcja f ma trzy miejsca zerowe. B. Zbiorem wartości funkcji f jest <-1,1). C. Funkcja f osiąga wartość największą równą 1. D. Funkcja f osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru (-1,0).","answer":"C","answer_text":"9 = (\n|𝐵𝐶|\n|𝐸𝐵|)\n2\n|𝐵𝐶|\n|𝐸𝐵| = 3\n|𝐵𝐸| + |𝐸𝐶|\n|𝐸𝐵|\n= 3\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝐸| + |𝐶𝐸|\n|𝐸𝐵| = 3\n|𝐶𝐸|\n|𝐸𝐵| = 2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 34. (0-2)\nZasady oceniania\ndla sposobów 1.-4.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 6 ⋅5\nALBO\n\nzapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 lub poda ich liczbę:\n|𝐴| = 9\nALBO\n\nnarysuje drzewo doświadczenia:\na) składające się ze wszystkich 30 gałęzi i zapisze na co najmniej jednym odcinku\nkażdego z etapów odpowiednie prawdopodobieństwo lub wskaże wszystkie istotne\ngałęzie na tym drzewie\nALBO\nb) składające się z mniej niż 30 gałęzi, ale wskaże na nim wszystkie gałęzie\nodpowiadające wylosowaniu liczby podzielnej przez 4\nALBO\n\nzapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴′ lub poda ich\nliczbę: |𝐴′| = 21\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴: 𝑃(𝐴) = 9\n30 = 3\n10 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko: |𝐴| = 9, |Ω| = 30, 𝑃(𝐴) = 9\n30, lub zapisze tylko 𝑃(𝐴) = 9\n30\nlub tylko 9\n30 , to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie pustą tabelę o 30 pustych polach, to otrzymuje\n0 punktów.\n3. Jeżeli zdający narysuje tylko drzewko i nie wskaże wszystkich istotnych gałęzi na tym\ndrzewie ani nie opisze żadnej gałęzi, to otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający zapisze tylko liczby 30 lub 9 lub 21 i z rozwiązania zadania nie wynika\nznaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nFunkcja \\(f\\) osiąga wartość największą równą \\(1\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości z wykresu\n\nW zadaniach tego typu analizujemy wykres i sprawdzamy każde zdanie po kolei. Kluczowe pytania:\n- Ile razy wykres przecina oś \\(OX\\)?\n- Jakie wartości \\(y\\) przyjmuje funkcja (zbiór wartości)?\n- Jaka jest największa wartość?\n- Gdzie funkcja jest ujemna?\n\n**Odczytujemy z wykresu:**\n\nZ opisu osi widzimy, że zaznaczone wartości na osi \\(y\\) to \\(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\\). Funkcja jest określona na \\((-1, 7)\\) i:\n- **Najwyższy punkt wykresu leży na poziomie \\(y = 1\\)** - to wartość największa.\n- Wykres schodzi poniżej osi \\(x\\), osiągając wartości ujemne (nawet \\(-3\\)).\n- Na odcinku \\((-1, 0)\\) wykres przebiega powyżej osi \\(x\\) lub przez zero - funkcja NIE przyjmuje tam wartości ujemnych.\n\n**Sprawdzamy zdanie C:**\n> \"Funkcja \\(f\\) osiąga wartość największą równą \\(1\\).\"\n\nNajwyższy punkt wykresu to \\(y = 1\\) (wykres dotyka poziomu \\(y = 1\\), ale nie przekracza go). **Zdanie C jest prawdziwe.**\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez sprawdzenie pozostałych zdań\n\nSprawdzamy zdania A, B, D i pokazujemy, że każde jest fałszywe:\n\n**Zdanie A:** *\"Funkcja \\(f\\) ma trzy miejsca zerowe.\"*\nZ wykresu odczytujemy punkty przecięcia z osią \\(OX\\). Wykres przecina oś \\(x\\) w **dwóch** punktach (nie trzech). Zdanie **fałszywe**.\n\n**Zdanie B:** *\"Zbiorem wartości funkcji \\(f\\) jest \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\).\"*\nSkoro wykres osiąga wartości sięgające nawet \\(-3\\) lub \\(-2\\) (wykres wyraźnie schodzi poniżej \\(-1\\)), zbiór wartości **nie jest** ograniczony od dołu przez \\(-1\\). Zdanie **fałszywe**.\n\n**Zdanie D:** *\"Funkcja \\(f\\) osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru \\((-1, 0)\\).\"*\nNa przedziale \\((-1, 0)\\) wykres funkcji przebiega **powyżej** osi \\(x\\) (wartości są nieujemne). Zdanie **fałszywe**.\n\nSkoro A, B, D są fałszywe - **musi być prawdziwe C**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu wykresu funkcji (wartości, miejsca zerowe, monotoniczność).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Pomyłka przy liczeniu przecięć wykresu z osią \\(OX\\) - uczeń liczy punkty \"bliskie osi\" zamiast dokładnych przecięć |\n| B | Uczeń patrzy tylko na zakres argumentów \\((-1, 7)\\) zamiast na wartości \\(y\\) (skala osi \\(OY\\)) |\n| D | Uczeń patrzy na etykietę \"\\(-1\\)\" na osi \\(x\\) i myli ją z wartościami funkcji; nie śledzi przebiegu wykresu na tym odcinku |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **dziedziny** funkcji (zbiór argumentów \\(x\\)) z **zbiorem wartości** (zbiór \\(y\\)). Zdanie B podsuwa przedział \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) - ale \\(-1\\) to granica dziedziny, nie minimum wartości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zliczaniu miejsc zerowych upewnij się, że wykres **rzeczywiście przecina** oś \\(OX\\) (zmienia znak), a nie tylko do niej dochodzi i zawraca (dotknięcie to też zero, ale jeden punkt - nie dwa!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wartość największa\" to \\(\\max y\\) odczytane z wykresu. Sprawdź dokładnie, czy wykres dosięga siatki \\(y = 1\\) czy może \\(y = 2\\) - tu decyduje milimetr na rysunku, więc czytaj uważnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nZ wykresu: funkcja przyjmuje największą wartość \\(1\\) (osiągana m.in. na odcinku poziomym między \\(x = 5\\) a \\(x = 6\\) oraz w \\(x = -1\\) - wartość \\(1\\)).\nMaksimum = \\(1\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. Trzy miejsca zerowe** - z wykresu widać tylko \\(2\\) miejsca zerowe (około \\(x = 2\\) oraz \\(x = 7\\), choć 7 nie należy do dziedziny). Faktycznie są dwa.\n- **B. Zbiór wartości \\(\\langle-1,1\\rangle\\)** - kraniec \\(-1\\) nie jest osiągany (otwarte kółka), a najmniejsza wartość to \\(-1\\) (osiągana).\n- **D.** Na \\((-1, 0)\\) funkcja przyjmuje wartości dodatnie (maleje od \\(1\\) do \\(0\\) na początku).\n\n**Uwaga:** z wykresu maksimum to wyraźnie \\(1\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Na rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓 określonej w zbiorze (-1, 7).<br>Wskaż zdanie prawdziwe.<br>A. Funkcja 𝑓 ma trzy miejsca zerowe.<br>B. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest ⟨-1, 1).<br>C. Funkcja 𝑓 osiąga wartość największą równą 1.<br>D. Funkcja 𝑓 osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru (-1, 0).<br>Rozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej w zbiorze (-1,7). Wskaż zadanie prawdziwe. A. Funkcja f ma trzy miejsca zerowe. B. Zbiorem wartości funkcji f jest &lt;-1,1). C. Funkcja f osiąga wartość największą równą 1. D. Funkcja f osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru (-1,0).</p>","answer_text_html":"<p>9 = (<br>|𝐵𝐶|<br>|𝐸𝐵|)<br>2<br>|𝐵𝐶|<br>|𝐸𝐵| = 3<br>|𝐵𝐸| + |𝐸𝐶|<br>|𝐸𝐵|<br>= 3<br>|𝐵𝐸|<br>|𝐵𝐸| + |𝐶𝐸|<br>|𝐸𝐵| = 3<br>|𝐶𝐸|<br>|𝐸𝐵| = 2<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadanie 34. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>dla sposobów 1.-4.<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br><br>wypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 6 ⋅5<br>ALBO<br><br>zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 lub poda ich liczbę:<br>|𝐴| = 9<br>ALBO<br><br>narysuje drzewo doświadczenia:<br>a) składające się ze wszystkich 30 gałęzi i zapisze na co najmniej jednym odcinku<br>każdego z etapów odpowiednie prawdopodobieństwo lub wskaże wszystkie istotne<br>gałęzie na tym drzewie<br>ALBO<br>b) składające się z mniej niż 30 gałęzi, ale wskaże na nim wszystkie gałęzie<br>odpowiadające wylosowaniu liczby podzielnej przez 4<br>ALBO<br><br>zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴′ lub poda ich<br>liczbę: |𝐴′| = 21<br>i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴: 𝑃(𝐴) = 9<br>30 = 3<br>10 .<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze tylko: |𝐴| = 9, |Ω| = 30, 𝑃(𝐴) = 9</li></ol>\n<p>30, lub zapisze tylko 𝑃(𝐴) = 9<br>30<br>lub tylko 9<br>30 , to otrzymuje 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający sporządzi jedynie pustą tabelę o 30 pustych polach, to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający narysuje tylko drzewko i nie wskaże wszystkich istotnych gałęzi na tym</li></ol>\n<p>drzewie ani nie opisze żadnej gałęzi, to otrzymuje 0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze tylko liczby 30 lub 9 lub 21 i z rozwiązania zadania nie wynika</li></ol>\n<p>znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Funkcja \\(f\\) osiąga wartość największą równą \\(1\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt wartości z wykresu</h4>\n<p>W zadaniach tego typu analizujemy wykres i sprawdzamy każde zdanie po kolei. Kluczowe pytania:</p>\n<ul><li>Ile razy wykres przecina oś \\(OX\\)?</li><li>Jakie wartości \\(y\\) przyjmuje funkcja (zbiór wartości)?</li><li>Jaka jest największa wartość?</li><li>Gdzie funkcja jest ujemna?</li></ul>\n<p><strong>Odczytujemy z wykresu:</strong></p>\n<p>Z opisu osi widzimy, że zaznaczone wartości na osi \\(y\\) to \\(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\\). Funkcja jest określona na \\((-1, 7)\\) i:</p>\n<ul><li><strong>Najwyższy punkt wykresu leży na poziomie \\(y = 1\\)</strong> - to wartość największa.</li><li>Wykres schodzi poniżej osi \\(x\\), osiągając wartości ujemne (nawet \\(-3\\)).</li><li>Na odcinku \\((-1, 0)\\) wykres przebiega powyżej osi \\(x\\) lub przez zero - funkcja NIE przyjmuje tam wartości ujemnych.</li></ul>\n<p><strong>Sprawdzamy zdanie C:</strong></p>\n<blockquote>&quot;Funkcja \\(f\\) osiąga wartość największą równą \\(1\\).&quot;</blockquote>\n<p>Najwyższy punkt wykresu to \\(y = 1\\) (wykres dotyka poziomu \\(y = 1\\), ale nie przekracza go). <strong>Zdanie C jest prawdziwe.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Eliminacja przez sprawdzenie pozostałych zdań</h4>\n<p>Sprawdzamy zdania A, B, D i pokazujemy, że każde jest fałszywe:</p>\n<p><strong>Zdanie A:</strong> <em>&quot;Funkcja \\(f\\) ma trzy miejsca zerowe.&quot;</em><br>Z wykresu odczytujemy punkty przecięcia z osią \\(OX\\). Wykres przecina oś \\(x\\) w <strong>dwóch</strong> punktach (nie trzech). Zdanie <strong>fałszywe</strong>.</p>\n<p><strong>Zdanie B:</strong> <em>&quot;Zbiorem wartości funkcji \\(f\\) jest \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\).&quot;</em><br>Skoro wykres osiąga wartości sięgające nawet \\(-3\\) lub \\(-2\\) (wykres wyraźnie schodzi poniżej \\(-1\\)), zbiór wartości <strong>nie jest</strong> ograniczony od dołu przez \\(-1\\). Zdanie <strong>fałszywe</strong>.</p>\n<p><strong>Zdanie D:</strong> <em>&quot;Funkcja \\(f\\) osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru \\((-1, 0)\\).&quot;</em><br>Na przedziale \\((-1, 0)\\) wykres funkcji przebiega <strong>powyżej</strong> osi \\(x\\) (wartości są nieujemne). Zdanie <strong>fałszywe</strong>.</p>\n<p>Skoro A, B, D są fałszywe - <strong>musi być prawdziwe C</strong>. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu wykresu funkcji (wartości, miejsca zerowe, monotoniczność).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Pomyłka przy liczeniu przecięć wykresu z osią \\(OX\\) - uczeń liczy punkty &quot;bliskie osi&quot; zamiast dokładnych przecięć |<br>| B | Uczeń patrzy tylko na zakres argumentów \\((-1, 7)\\) zamiast na wartości \\(y\\) (skala osi \\(OY\\)) |<br>| D | Uczeń patrzy na etykietę &quot;\\(-1\\)&quot; na osi \\(x\\) i myli ją z wartościami funkcji; nie śledzi przebiegu wykresu na tym odcinku |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić <strong>dziedziny</strong> funkcji (zbiór argumentów \\(x\\)) z <strong>zbiorem wartości</strong> (zbiór \\(y\\)). Zdanie B podsuwa przedział \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) - ale \\(-1\\) to granica dziedziny, nie minimum wartości!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy zliczaniu miejsc zerowych upewnij się, że wykres <strong>rzeczywiście przecina</strong> oś \\(OX\\) (zmienia znak), a nie tylko do niej dochodzi i zawraca (dotknięcie to też zero, ale jeden punkt - nie dwa!).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Wartość największa&quot; to \\(\\max y\\) odczytane z wykresu. Sprawdź dokładnie, czy wykres dosięga siatki \\(y = 1\\) czy może \\(y = 2\\) - tu decyduje milimetr na rysunku, więc czytaj uważnie!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Z wykresu: funkcja przyjmuje największą wartość \\(1\\) (osiągana m.in. na odcinku poziomym między \\(x = 5\\) a \\(x = 6\\) oraz w \\(x = -1\\) - wartość \\(1\\)).<br>Maksimum = \\(1\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. Trzy miejsca zerowe</strong> - z wykresu widać tylko \\(2\\) miejsca zerowe (około \\(x = 2\\) oraz \\(x = 7\\), choć 7 nie należy do dziedziny). Faktycznie są dwa.</li><li><strong>B. Zbiór wartości \\(\\langle-1,1\\rangle\\)</strong> - kraniec \\(-1\\) nie jest osiągany (otwarte kółka), a najmniejsza wartość to \\(-1\\) (osiągana).</li><li><strong>D.</strong> Na \\((-1, 0)\\) funkcja przyjmuje wartości dodatnie (maleje od \\(1\\) do \\(0\\) na początku).</li></ul>\n<p><strong>Uwaga:</strong> z wykresu maksimum to wyraźnie \\(1\\).</p>"}]}