{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 2. Punkt 𝑆 jest środkiem krawędzi 𝐷𝐻\n(zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta 𝐶𝐹𝑆.\n𝐴\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝑆\n𝐵\n𝐷\n2\n2\n2\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2. Punkt S jest środkiem krawędzi DH (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta CFS.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nobliczy długości boków 𝐶𝐹 i 𝐶𝑆: |𝐶𝐹| = 2√2, |𝐶𝑆| = √5\nALBO\n\nobliczy tylko długość boku |𝐹𝑆|: |𝐹𝑆| = 3.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy długości trzech boków trójkąta 𝐶𝐹𝑆: |𝐶𝐹| = 2√2, |𝐶𝑆| = √5 oraz |𝐹𝑆| = 3.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze zależność, wynikającą z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝐹𝑆,\nnp. (√5)\n2 = (2√2)\n2 + 32 -2 ⋅2√2 ⋅3 ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆).\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy wyznaczy miarę kąta 𝐶𝐹𝑆: |∡𝐶𝐹𝑆| = 45°.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozwiązanie rozpoczniemy od obliczenia długości boków trójkąta 𝐶𝐹𝑆. Mamy oczywiście\n|𝐶𝐹| = 2√2 oraz |𝐶𝑆| = √22 + 12 = √5.\nDorysujmy teraz odcinek 𝐹𝐻.\nOczywiście |∡𝐹𝐻𝑆| = 90°, więc\n𝐴\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝑆\n𝐵\n𝐷\n2\n2\n2\n|𝐹𝑆| = √|𝐹𝐻|2 + |𝐻𝑆|2 = √(2√2)\n2 + 12 = 3\nTrójkąt 𝐶𝐹𝑆 ma zatem boki o następujących długościach: |𝐶𝐹| = 2√2, |𝐶𝑆| = √5 oraz\n|𝐹𝑆| = 3.\nNajmniejszy kąt wewnętrzny trójkąta znajduje się naprzeciw najkrótszego boku, zatem jest nim\nkąt 𝐶𝐹𝑆.\nZ twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝐹𝑆 wynika, że\n|𝐶𝑆|2 = |𝐶𝐹|2 + |𝐹𝑆|2 -2 ⋅|𝐶𝐹| ⋅|𝐹𝑆| ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆)\nStąd otrzymujemy\n(√5)\n2 = (2√2)\n2 + 32 -2 ⋅2√2 ⋅3 ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆)\n5 = 8 + 9 -12√2 ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆)\ncos(∡𝐶𝐹𝑆) = √2\n2\nwięc najmniejszy kąt w trójkącie 𝐶𝐹𝑆 ma miarę 45°.","solution":"$|\\sphericalangle CFS| = 45^{\\circ}$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 2. Punkt 𝑆 jest środkiem krawędzi 𝐷𝐻<br>(zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta 𝐶𝐹𝑆.<br>𝐴<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐶<br>𝐺<br>𝐻<br>𝑆<br>𝐵<br>𝐷<br>2<br>2<br>2</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Odpowiedź:</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Rozwiązanie zadania. Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2. Punkt S jest środkiem krawędzi DH (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta CFS.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br><br>obliczy długości boków 𝐶𝐹 i 𝐶𝑆: |𝐶𝐹| = 2√2, |𝐶𝑆| = √5<br>ALBO<br><br>obliczy tylko długość boku |𝐹𝑆|: |𝐹𝑆| = 3.<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy obliczy długości trzech boków trójkąta 𝐶𝐹𝑆: |𝐶𝐹| = 2√2, |𝐶𝑆| = √5 oraz |𝐹𝑆| = 3.<br>Zdający otrzymuje 3 p.<br>gdy zapisze zależność, wynikającą z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝐹𝑆,<br>np. (√5)<br>2 = (2√2)<br>2 + 32 -2 ⋅2√2 ⋅3 ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆).<br>Zdający otrzymuje 4 p.<br>gdy wyznaczy miarę kąta 𝐶𝐹𝑆: |∡𝐶𝐹𝑆| = 45°.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Rozwiązanie rozpoczniemy od obliczenia długości boków trójkąta 𝐶𝐹𝑆. Mamy oczywiście<br>|𝐶𝐹| = 2√2 oraz |𝐶𝑆| = √22 + 12 = √5.<br>Dorysujmy teraz odcinek 𝐹𝐻.<br>Oczywiście |∡𝐹𝐻𝑆| = 90°, więc<br>𝐴<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐶<br>𝐺<br>𝐻<br>𝑆<br>𝐵<br>𝐷<br>2<br>2<br>2<br>|𝐹𝑆| = √|𝐹𝐻|2 + |𝐻𝑆|2 = √(2√2)<br>2 + 12 = 3<br>Trójkąt 𝐶𝐹𝑆 ma zatem boki o następujących długościach: |𝐶𝐹| = 2√2, |𝐶𝑆| = √5 oraz<br>|𝐹𝑆| = 3.<br>Najmniejszy kąt wewnętrzny trójkąta znajduje się naprzeciw najkrótszego boku, zatem jest nim<br>kąt 𝐶𝐹𝑆.<br>Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝐹𝑆 wynika, że<br>|𝐶𝑆|2 = |𝐶𝐹|2 + |𝐹𝑆|2 -2 ⋅|𝐶𝐹| ⋅|𝐹𝑆| ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆)<br>Stąd otrzymujemy<br>(√5)<br>2 = (2√2)<br>2 + 32 -2 ⋅2√2 ⋅3 ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆)<br>5 = 8 + 9 -12√2 ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆)<br>cos(∡𝐶𝐹𝑆) = √2<br>2<br>więc najmniejszy kąt w trójkącie 𝐶𝐹𝑆 ma miarę 45°.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$|\\sphericalangle CFS| = 45^{\\circ}$</p>"}]}