{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów.\nW trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego\n(liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na\ntym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest\nrówne 1\n15 . Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów.W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe 1/15. Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\npoprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń wszystkich uczestników programu, np.\n(𝑛+ 3)!\nALBO\n\npoprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń, w których sportowcy siedzą obok\nsiebie np. (𝑛+ 1) ⋅3! ⋅𝑛!.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy poprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń, w których sportowcy siedzą obok siebie,\nnp. (𝑛+ 1) ⋅3! ⋅𝑛! lub innym rozumowaniem 3! ⋅(𝑛+ 1)! oraz liczbę wszystkich\nrozmieszczeń (𝑛+ 3)!.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze równanie\n6\n(𝑛+2)(𝑛+3) = 1\n15 .\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy poprawnie obliczy liczbę aktorów: 7.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑛 oznacza liczbę aktorów uczestniczących w programie (𝑛∈ℕ), natomiast 𝐴 -\nzdarzenie polegające na tym, że trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym\nwyborze miejsc. Wtedy\n𝑃(𝐴) = 3! ⋅(𝑛+ 1)!\n(𝑛+ 3)!\nStąd po uproszczeniu otrzymujemy\n𝑃(𝐴) =\n6\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)\nZ treści zadania otrzymujemy równanie\n6\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = 1\n15\nco prowadzi do\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = 90\n𝑛2 + 5𝑛-84 = 0\n(𝑛-7)(𝑛+ 12) = 0\nZatem 𝑛= 7, gdyż 𝑛= -12 przeczy założeniom. W tym programie bierze zatem udział\n7 aktorów.","solution":"$7$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów.
W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego
(liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na
tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest
równe 1
15 . Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

\n

EMAP-R0_100
Odpowiedź:

\n

EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów.W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe 1/15. Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

poprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń wszystkich uczestników programu, np.
(𝑛+ 3)!
ALBO

poprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń, w których sportowcy siedzą obok
siebie np. (𝑛+ 1) ⋅3! ⋅𝑛!.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy poprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń, w których sportowcy siedzą obok siebie,
np. (𝑛+ 1) ⋅3! ⋅𝑛! lub innym rozumowaniem 3! ⋅(𝑛+ 1)! oraz liczbę wszystkich
rozmieszczeń (𝑛+ 3)!.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy zapisze równanie
6
(𝑛+2)(𝑛+3) = 1
15 .
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy poprawnie obliczy liczbę aktorów: 7.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝑛 oznacza liczbę aktorów uczestniczących w programie (𝑛∈ℕ), natomiast 𝐴 -
zdarzenie polegające na tym, że trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym
wyborze miejsc. Wtedy
𝑃(𝐴) = 3! ⋅(𝑛+ 1)!
(𝑛+ 3)!
Stąd po uproszczeniu otrzymujemy
𝑃(𝐴) =
6
(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)
Z treści zadania otrzymujemy równanie
6
(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = 1
15
co prowadzi do
(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = 90
𝑛2 + 5𝑛-84 = 0
(𝑛-7)(𝑛+ 12) = 0
Zatem 𝑛= 7, gdyż 𝑛= -12 przeczy założeniom. W tym programie bierze zatem udział
7 aktorów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$7$

"}]}