Zadanie 12. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie
ሺ𝑥-3ሻሺ𝑥ଶ+ ሺ𝑚-1ሻ𝑥-6𝑚ଶ+ 2𝑚ሻ= 0
ma dokładnie dwa rozwiązania.
EMAP-R0_100
Odpowiedź:
EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (x-3)(x²+(m-1)x-6m²+2m) = 0 ma dokładnie dwa rozwiązania.
Zadanie 12. (0-5)
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
zapisze, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania i liczba 3 musi być
jednokrotnym pierwiastkiem trójmianu kwadratowego 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚
ALBO
zapisze, że Δ = 0 i 𝑥0 ≠3 (tj. dwukrotny pierwiastek trójmianu jest różny od 3)
ALBO
rozwiąże równanie Δ = 0, otrzymując 𝑚= 1
5.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
rozwiąże równanie Δ = 0, otrzymując 𝑚= 1
5 i sprawdzi, że dla 𝑚= 1
5 trójmian
𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚 ma jeden pierwiastek podwójny różny od liczby 3
ALBO
zapisze, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania i wyznaczy pierwiastki
trójmianu 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚:
𝑥1 = -𝑚+ 1 -|5𝑚-1|
2
i 𝑥2 = -𝑚+ 1 + |5𝑚-1|
2
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy:
zapisze, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, wyznaczy pierwiastki 𝑥1 oraz
𝑥2 trójmianu 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚 i zapisze je bez użycia wartości
bezwzględnej: 𝑥1 = 2𝑚 oraz 𝑥2 = -3𝑚+ 1
ALBO
zapisze równanie 32 + (𝑚-1) ⋅3 -6𝑚2 + 2𝑚= 0.
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy:
zapisze alternatywę (𝑚= 1
5 i 𝑚≠3
5 i 𝑚= 3
\n(𝑚≠1
5 i 𝑚= -2
3)
ALBO
rozwiąże równanie 32 + (𝑚-1) ⋅3 -6𝑚2 + 2𝑚= 0.
Zdający otrzymuje 5 p.
gdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: 𝑚= -2
3 lub 𝑚= 1
5 lub 𝑚= 3
2.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Uwaga:
Jeśli zdający popełnia błąd, zapisując √𝛥= √(5𝑚-1)2 = 5𝑚-1 i konsekwentnie do tego
błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Jednym z rozwiązań równania jest liczba 𝑥3 = 3. Jeśli podane równanie ma mieć dokładnie
dwa rozwiązania, to trójmian kwadratowy 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚 powinien mieć
pierwiastek podwójny inny niż 3 albo dwa różne pierwiastki, z których jeden jest równy 3.
Obliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚:
Δ = (𝑚-1)2 -4 ⋅1 ⋅(-6𝑚2 + 2𝑚) = 25𝑚2 -10𝑚+ 1 = (5𝑚-1)2
Zatem dla każdej liczby rzeczywistej 𝑚 ten wyróżnik przyjmuje wartość nieujemną.
Pierwiastkami tego trójmianu są więc liczby
𝑥1 = -𝑚+ 1 -|5𝑚-1|
2
i 𝑥2 = -𝑚+ 1 + |5𝑚-1|
2
Dla 𝑚∈(-∞, 1
𝑥1 = -𝑚+ 1 + 5𝑚-1
2
= 2𝑚 i 𝑥2 = -𝑚+ 1 -5𝑚+ 1
2
= -3𝑚+ 1
Dla 𝑚∈[1
5 , +∞) otrzymujemy
𝑥1 = -𝑚+ 1 -5𝑚+ 1
2
= -3𝑚+ 1 i 𝑥2 = -𝑚+ 1 + 5𝑚-1
2
= 2𝑚
Zatem, z dokładnością do oznaczeń, dla każdego 𝑚∈𝑅 zachodzi 𝑥1 = 2𝑚 oraz
𝑥2 = -3𝑚+ 1.
Należy zatem rozpatrzeć trzy sytuacje:
(Δ = 0 i 𝑥1 ≠3) lub (Δ > 0 i 𝑥1 = 3) lub (Δ > 0 i 𝑥2 = 3).
Rozpatrując każdą z nich, otrzymujemy odpowiednio:
(𝑚= 1
5 i 𝑚≠3
5 i 𝑚= 3
\n5 i 𝑚= -2
3)
𝑚= 1
5 lub 𝑚= 3
2 lub 𝑚= -2
3
Zatem podane w treści zadania równanie ma dokładnie dwa rozwiązania dla 𝑚∈{-2
3 , 1
5 , 3
2}.
Sposób 2.
Jednym z rozwiązań równania jest liczba 𝑥3 = 3. Jeśli podane równanie ma mieć dokładnie
dwa rozwiązania, to trójmian kwadratowy 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚 powinien mieć
pierwiastek podwójny inny niż 3 albo dwa różne pierwiastki, z których jeden jest równy 3.
Obliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚:
Δ = (𝑚-1)2 -4 ⋅1 ⋅(-6𝑚2 + 2𝑚) = 25𝑚2 -10𝑚+ 1 = (5𝑚-1)2
Dla 𝑚= 1
5 trójmian ma dwukrotny pierwiastek 𝑥0 = -𝑚+1
2
= 2
5 różny od 3.
Sprawdzamy, dla jakich wartości 𝑚 liczba 3 jest pierwiastkiem trójmianu
𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚:
32 + (𝑚-1) ⋅3 -6𝑚2 + 2𝑚= 0
-6𝑚2 + 5𝑚+ 6 = 0
𝑚= 3
2 lub 𝑚= -2
3
Ponieważ dla każdej z tych otrzymanych wartości 𝑚= 3
2 oraz 𝑚= -2
3 wyróżnik Δ jest
większy od zera, więc w obu przypadkach trójmian 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚 ma dwa
różne pierwiastki, z których jeden jest równy 3.
Zatem podane w treści zadania równanie ma dokładnie dwa rozwiązania dla 𝑚∈{-2
3 , 1
5 , 3
2}.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
$m \\in \\left\\{-\\dfrac{2}{3}, \\dfrac{1}{5}, \\dfrac{3}{2}\\right\\}$
"}]}