{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nDana jest funkcja 𝑓 określona wzorem 𝑓ሺ𝑥ሻ= 𝑥3+𝑘\n𝑥\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.\nOblicz wartość 𝑘, dla której prosta o równaniu 𝑦= -𝑥 jest styczna do wykresu funkcji 𝑓.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = x³+k / x dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 0. Oblicz wartość k, dla której prosta o równaniu y = -x jest styczna do wykresu funkcji f.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nobliczy pochodną funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥3-𝑘\n𝑥2\n= dla 𝑥≠0\nALBO\n\nzapisze równanie wynikające z faktu, że punkt styczności należy do wykresu funkcji 𝑓:\n-𝑥0 = 𝑥0\n3+𝑘\n𝑥0\nALBO\n\nskorzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej funkcji w punkcie i zapisze\nrównanie: 𝑓′(𝑥0) = -1\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy skorzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej funkcji w punkcie i zapisze równanie:\n2𝑥0\n3-𝑘\n𝑥02\n= -1.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑥0 oraz 𝑘 prowadzący do\nwyznaczenia parametru 𝑘, np.: -𝑥0 = 𝑥0\n3+𝑘\n𝑥0\ni 2𝑥0\n3-𝑘\n𝑥02\n= -1.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy obliczy z układu równań -𝑥0 = 𝑥0\n3+𝑘\n𝑥0\ni 2𝑥0\n3-𝑘\n𝑥02\n= -1 niewiadomą 𝑥0: 𝑥0 = -2\n3.\nUwaga:\nWystarczy, że zdający rozwiąże równanie 3𝑥0\n3 = -2𝑥0\n2 w zbiorze ℝ: 𝑥0 = -2\n3 , 𝑥0 = 0.\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i uzyska poprawny wynik: 𝑘= -4\n27 .\nUwagi:\n1 Jeśli zdający przy wyznaczaniu pochodnej popełnia błąd w potędze zmiennej lub traktuje\nparametr 𝑘 jako zmienną, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za zapisanie warunku\n-𝑥0 = 𝑥0\n3+𝑘\n𝑥0\nlub za zapisanie, że 𝑓′(𝑥0) = -1.\n2. Jeśli zdający, obliczając pochodną funkcji 𝑓, zapisze 𝑓′(𝑥) = 2𝑥3+𝑘\n𝑥2\n(tj. błędnie ustali\nznak przed współczynnikiem 𝑘), to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech punkt 𝑃= (𝑥0, 𝑦0), gdzie 𝑥0 ≠0, będzie punktem styczności prostej 𝑦= -𝑥 do\nwykresu funkcji 𝑓. Wtedy 𝑦0 = -𝑥0 , więc\n- 𝑥0 = 𝑥0\n3 + 𝑘\n𝑥0\nPochodna funkcji 𝑓 jest równa\n𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 ⋅𝑥-(𝑥3 + 𝑘) ⋅1\n𝑥2\n= 2𝑥3 -𝑘\n𝑥2\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.\nZ warunków zadania wynika, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy (-1); jest on\nwartością pochodnej dla 𝑥0. Zatem 2𝑥0\n3-𝑘\n𝑥0\n2\n= -1. Otrzymujemy układ równań\n- 𝑥0 = 𝑥0\n3 + 𝑘\n𝑥0\ni 2𝑥0\n3 -𝑘\n𝑥0\n2\n= -1\nDla 𝑥0 ≠0 jest on równoważny układowi\n𝑥0\n3 + 𝑘= -𝑥0\n2 i 2𝑥0\n3 -𝑘= -𝑥0\n2\nStąd otrzymujemy równanie 3𝑥0\n3 = -2𝑥0\n2.\nPonieważ 𝑥0 ≠0, więc dzieląc obie strony tego równania przez 3𝑥0\n2, otrzymujemy 𝑥0 = -2\n3.\nZatem 𝑘= -𝑥0\n3 -𝑥0\n2 = 8\n27 -4\n9 = -4\n27 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$k = -\\dfrac{4}{27}$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"funkcje","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-5)
Dana jest funkcja 𝑓 określona wzorem 𝑓ሺ𝑥ሻ= 𝑥3+𝑘
𝑥
dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.
Oblicz wartość 𝑘, dla której prosta o równaniu 𝑦= -𝑥 jest styczna do wykresu funkcji 𝑓.

\n

EMAP-R0_100
Odpowiedź:

\n

EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = x³+k / x dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 0. Oblicz wartość k, dla której prosta o równaniu y = -x jest styczna do wykresu funkcji f.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-5)
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

obliczy pochodną funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥3-𝑘
𝑥2
= dla 𝑥≠0
ALBO

zapisze równanie wynikające z faktu, że punkt styczności należy do wykresu funkcji 𝑓:
-𝑥0 = 𝑥0
3+𝑘
𝑥0
ALBO

skorzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej funkcji w punkcie i zapisze
równanie: 𝑓′(𝑥0) = -1
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy skorzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej funkcji w punkcie i zapisze równanie:
2𝑥0
3-𝑘
𝑥02
= -1.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy zapisze układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑥0 oraz 𝑘 prowadzący do
wyznaczenia parametru 𝑘, np.: -𝑥0 = 𝑥0
3+𝑘
𝑥0
i 2𝑥0
3-𝑘
𝑥02
= -1.
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy obliczy z układu równań -𝑥0 = 𝑥0
3+𝑘
𝑥0
i 2𝑥0
3-𝑘
𝑥02
= -1 niewiadomą 𝑥0: 𝑥0 = -2
3.
Uwaga:
Wystarczy, że zdający rozwiąże równanie 3𝑥0
3 = -2𝑥0
2 w zbiorze ℝ: 𝑥0 = -2
3 , 𝑥0 = 0.
Zdający otrzymuje 5 p.
gdy zastosuje poprawną metodę i uzyska poprawny wynik: 𝑘= -4
27 .
Uwagi:
1 Jeśli zdający przy wyznaczaniu pochodnej popełnia błąd w potędze zmiennej lub traktuje
parametr 𝑘 jako zmienną, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za zapisanie warunku
-𝑥0 = 𝑥0
3+𝑘
𝑥0
lub za zapisanie, że 𝑓′(𝑥0) = -1.

\n
  1. Jeśli zdający, obliczając pochodną funkcji 𝑓, zapisze 𝑓′(𝑥) = 2𝑥3+𝑘
\n

𝑥2
(tj. błędnie ustali
znak przed współczynnikiem 𝑘), to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech punkt 𝑃= (𝑥0, 𝑦0), gdzie 𝑥0 ≠0, będzie punktem styczności prostej 𝑦= -𝑥 do
wykresu funkcji 𝑓. Wtedy 𝑦0 = -𝑥0 , więc

\n\n

3 + 𝑘
𝑥0
Pochodna funkcji 𝑓 jest równa
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 ⋅𝑥-(𝑥3 + 𝑘) ⋅1
𝑥2
= 2𝑥3 -𝑘
𝑥2
dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.
Z warunków zadania wynika, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy (-1); jest on
wartością pochodnej dla 𝑥0. Zatem 2𝑥0
3-𝑘
𝑥0
2
= -1. Otrzymujemy układ równań

\n\n

3 + 𝑘
𝑥0
i 2𝑥0
3 -𝑘
𝑥0
2
= -1
Dla 𝑥0 ≠0 jest on równoważny układowi
𝑥0
3 + 𝑘= -𝑥0
2 i 2𝑥0
3 -𝑘= -𝑥0
2
Stąd otrzymujemy równanie 3𝑥0
3 = -2𝑥0
2.
Ponieważ 𝑥0 ≠0, więc dzieląc obie strony tego równania przez 3𝑥0
2, otrzymujemy 𝑥0 = -2
3.
Zatem 𝑘= -𝑥0
3 -𝑥0
2 = 8
27 -4
9 = -4
27 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$k = -\\dfrac{4}{27}$

"}]}