{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"14","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-5)\nNa okręgu jest opisany czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷. Bok 𝐴𝐷 tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od\nboku 𝐴𝐵, a przekątna 𝐵𝐷 ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:\ncosሺ∡𝐴𝐷𝐵ሻ= 7\n8 , |∡𝐵𝐶𝐷| = 90° oraz |𝐴𝐵| > √15.\nOblicz długość boku 𝐵𝐶 tego czworokąta.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD. Bok AD tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku AB, a przekątna BD ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki: cos(∠ ADB) = 7/8, |∠ BCD| = 90° oraz |AB| > √15. Oblicz długość boku BC tego czworokąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-5)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą (długością boku 𝐴𝐵 albo 𝐴𝐷), wynikające\nz twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐴𝐵𝐷, np.\n|𝐴𝐵|2 = (2|𝐴𝐵|)2 + 62 -2 ⋅2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅6 ⋅cos(∡𝐴𝐷𝐵)\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy długość boku 𝐴𝐵 lub 𝐴𝐷: |𝐴𝐵| = 4, |𝐴𝐷| = 8.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zastosuje twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu oraz twierdzenie Pitagorasa\ni zapisze układ równań z niewiadomymi |𝐵𝐶| i |𝐶𝐷|: {|𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 4\n|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 = 36\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy nie odrzuci rozwiązania |𝐴𝐵| = 3, rozwiąże dwa równania:\n|𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 4)2 = 36 oraz |𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 3)2 = 36\ni zapisze dwa dodatnie rozwiązania tych równań: |𝐵𝐶| = -2 + √14 oraz |𝐵𝐶| = -3+3√7\n2\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |𝐵𝐶| = -2 + √14.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający zakłada błędnie, że cos(∡𝐵𝐴𝐷) = 7\n8 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n2. Jeśli zdający zakłada błędnie, że |𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐴𝐷| i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n3. Jeśli zdający zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, wynikające z twierdzenia\no czworokącie opisanym na okręgu oraz z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do\ntrójkąta 𝐵𝐶𝐷, np.: |𝐴𝐵| + √36 -|𝐵𝐶|2 = |𝐵𝐶| + 2 ⋅|𝐴𝐵| i na tym zakończy, to\notrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy 𝑎= |𝐴𝐵|.\nDo trójkąta 𝐴𝐵𝐷 stosujemy twierdzenie cosinusów i otrzymujemy\n𝑎2 = (2𝑎)2 + 62 -2 ⋅2𝑎⋅6 ⋅cos(∡𝐴𝐷𝐵)\nPonieważ cos(∡𝐴𝐷𝐵) = 7\n8, więc\n𝑎2 = (2𝑎)2 + 62 -2 ⋅2𝑎⋅6 ⋅7\n8\n𝑎2 -7𝑎+ 12 = 0\n𝑎= 3 lub 𝑎= 4\ni po uwzględnieniu warunku |𝐴𝐵| > √15 otrzymujemy |𝐴𝐵| = 4 oraz |𝐴𝐷| = 8.\nKorzystamy z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i otrzymujemy\n|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|\n4 + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 8\n|𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 4\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym 𝐵𝐶𝐷 i otrzymujemy kolejno:\n|𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 4)2 = |𝐵𝐷|2\n|𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 4)2 = 36\n|𝐵𝐶|2 + 4|𝐵𝐶| -10 = 0\n|𝐵𝐶| = -2 -√14 lub |𝐵𝐶| = -2 + √14\nPonieważ -2 -√14 < 0, więc |𝐵𝐶| = -2 + √14.\n𝑎\n2𝑎\n6\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$|BC| = -2 + \\sqrt{14}$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-5)
Na okręgu jest opisany czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷. Bok 𝐴𝐷 tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od
boku 𝐴𝐵, a przekątna 𝐵𝐷 ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:
cosሺ∡𝐴𝐷𝐵ሻ= 7
8 , |∡𝐵𝐶𝐷| = 90° oraz |𝐴𝐵| > √15.
Oblicz długość boku 𝐵𝐶 tego czworokąta.

\n

EMAP-R0_100
Odpowiedź:

\n

EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD. Bok AD tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku AB, a przekątna BD ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki: cos(∠ ADB) = 7/8, |∠ BCD| = 90° oraz |AB| > √15. Oblicz długość boku BC tego czworokąta.

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-5)
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą (długością boku 𝐴𝐵 albo 𝐴𝐷), wynikające
z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐴𝐵𝐷, np.
|𝐴𝐵|2 = (2|𝐴𝐵|)2 + 62 -2 ⋅2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅6 ⋅cos(∡𝐴𝐷𝐵)
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy długość boku 𝐴𝐵 lub 𝐴𝐷: |𝐴𝐵| = 4, |𝐴𝐷| = 8.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy zastosuje twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu oraz twierdzenie Pitagorasa
i zapisze układ równań z niewiadomymi |𝐵𝐶| i |𝐶𝐷|: {|𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 4
|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 = 36
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy nie odrzuci rozwiązania |𝐴𝐵| = 3, rozwiąże dwa równania:
|𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 4)2 = 36 oraz |𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 3)2 = 36
i zapisze dwa dodatnie rozwiązania tych równań: |𝐵𝐶| = -2 + √14 oraz |𝐵𝐶| = -3+3√7
2
Zdający otrzymuje 5 p.
gdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |𝐵𝐶| = -2 + √14.
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający zakłada błędnie, że cos(∡𝐵𝐴𝐷) = 7
\n

8 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do
końca, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający zakłada błędnie, że |𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐴𝐷| i konsekwentnie rozwiąże zadanie do
\n

końca, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, wynikające z twierdzenia
\n

o czworokącie opisanym na okręgu oraz z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do
trójkąta 𝐵𝐶𝐷, np.: |𝐴𝐵| + √36 -|𝐵𝐶|2 = |𝐵𝐶| + 2 ⋅|𝐴𝐵| i na tym zakończy, to
otrzymuje 1 punkt.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Oznaczmy 𝑎= |𝐴𝐵|.
Do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 stosujemy twierdzenie cosinusów i otrzymujemy
𝑎2 = (2𝑎)2 + 62 -2 ⋅2𝑎⋅6 ⋅cos(∡𝐴𝐷𝐵)
Ponieważ cos(∡𝐴𝐷𝐵) = 7
8, więc
𝑎2 = (2𝑎)2 + 62 -2 ⋅2𝑎⋅6 ⋅7
8
𝑎2 -7𝑎+ 12 = 0
𝑎= 3 lub 𝑎= 4
i po uwzględnieniu warunku |𝐴𝐵| > √15 otrzymujemy |𝐴𝐵| = 4 oraz |𝐴𝐷| = 8.
Korzystamy z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i otrzymujemy
|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|
4 + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 8
|𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 4
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym 𝐵𝐶𝐷 i otrzymujemy kolejno:
|𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 4)2 = |𝐵𝐷|2
|𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 4)2 = 36
|𝐵𝐶|2 + 4|𝐵𝐶| -10 = 0
|𝐵𝐶| = -2 -√14 lub |𝐵𝐶| = -2 + √14
Ponieważ -2 -√14 < 0, więc |𝐵𝐶| = -2 + √14.
𝑎
2𝑎
6
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-14.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$|BC| = -2 + \\sqrt{14}$

"}]}