{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nNiech logଶ9 = 𝑐. Wykaż, że logଷ54 = 3𝑐+2\n𝑐\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Niech log_2 9 = c. Wykaż, że log_3 54 = 3c+2/c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy podczas przekształcenia wyrażenia log3 54 lub 3log2 9+2\nlog29\npoprawnie zastosuje wzór\nna zamianę podstaw logarytmu lub logarytm iloczynu/ilorazu, lub logarytm potęgi, np.:\nlog3 54 = log2 54\nlog2 3 , log2 9 = 2log2 3 , log3 54 = log3 27 + log3 2\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przekształci wyrażenie log3 54 lub 3log2 9+2\nlog2 9\nlub oba te wyrażenia do takiej postaci,\nz której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\niloczynu/ilorazu, lub logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia\nwymiernego uzyskuje się tezę.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy, stosując poprawną metodę, przeprowadzi pełny dowód.\nUwaga:\nJeżeli zdający, przy rozpoczęciu przekształcania wyrażenia log3 54 lub 3log2 9+2\nlog29\n, popełnia\nbłąd rzeczowy (niepoprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm\nilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi), lecz w dalszej części rozwiązania każdorazowo stosuje\nte wzory poprawnie, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wyrażenie log3 54, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu:\nlog3 54 = log2 54\nlog2 3\nStosujemy wzór na logarytm iloczynu i otrzymujemy:\nlog2 54\nlog2 3 = log2(27 ⋅2)\nlog2 3\n= log2 27 + log2 2\nlog2 3\nAby doprowadzić do uzyskania w mianowniku wyrażenia log2 9, mnożymy licznik i mianownik\nprzez 2, a następnie korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:\n2 ⋅log2 27 + 2 ⋅log2 2\n2 ⋅log2 3\n= log2 36 + 2\nlog2 9\n= 3 log2 9 + 2\nlog2 9\n= 3𝑐+ 2\n𝑐\nTo należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-3)<br>Niech logଶ9 = 𝑐. Wykaż, że logଷ54 = 3𝑐+2<br>𝑐</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Rozwiązanie zadania. Niech log_2 9 = c. Wykaż, że log_3 54 = 3c+2/c.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-3)<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy podczas przekształcenia wyrażenia log3 54 lub 3log2 9+2<br>log29<br>poprawnie zastosuje wzór<br>na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm iloczynu/ilorazu, lub logarytm potęgi, np.:<br>log3 54 = log2 54<br>log2 3 , log2 9 = 2log2 3 , log3 54 = log3 27 + log3 2<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy przekształci wyrażenie log3 54 lub 3log2 9+2<br>log2 9<br>lub oba te wyrażenia do takiej postaci,<br>z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>iloczynu/ilorazu, lub logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia<br>wymiernego uzyskuje się tezę.<br>Zdający otrzymuje 3 p.<br>gdy, stosując poprawną metodę, przeprowadzi pełny dowód.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający, przy rozpoczęciu przekształcania wyrażenia log3 54 lub 3log2 9+2<br>log29<br>, popełnia<br>błąd rzeczowy (niepoprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm<br>ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi), lecz w dalszej części rozwiązania każdorazowo stosuje<br>te wzory poprawnie, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przekształcamy wyrażenie log3 54, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu:<br>log3 54 = log2 54<br>log2 3<br>Stosujemy wzór na logarytm iloczynu i otrzymujemy:<br>log2 54<br>log2 3 = log2(27 ⋅2)<br>log2 3<br>= log2 27 + log2 2<br>log2 3<br>Aby doprowadzić do uzyskania w mianowniku wyrażenia log2 9, mnożymy licznik i mianownik<br>przez 2, a następnie korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:<br>2 ⋅log2 27 + 2 ⋅log2 2<br>2 ⋅log2 3<br>= log2 36 + 2<br>log2 9<br>= 3 log2 9 + 2<br>log2 9<br>= 3𝑐+ 2<br>𝑐<br>To należało wykazać.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg"}]}