{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta obrano punkty 𝐷, 𝐸 i 𝐹 tak, że\n|𝐴𝐷| = |𝐷𝐸| = |𝐸𝐹| = 2|𝐹𝐵|. Na bokach 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 obrano - odpowiednio - punkty 𝐺 i 𝐻\ntak, że 𝐷𝐺∥𝐸𝐶 oraz 𝐹𝐻∥𝐸𝐶 (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta 𝐹𝐵𝐻 jest\nrówne 𝑆, to pole trójkąta 𝐴𝐷𝐺 jest równe 3𝑆.\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐵\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt ABC. Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D, E i F tak, że |AD| = |DE| = |EF| = 2|FB|. Na bokach AC i BC obrano - odpowiednio - punkty G i H tak, że DG || EC oraz FH || EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta FBH jest równe S, to pole trójkąta ADG jest równe 3S.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze, że trójkąt 𝐵𝐸𝐶 jest podobny do trójkąta 𝐵𝐹𝐻 oraz zapisze związek między\nwysokościami tych trójkątów opuszczonymi na prostą 𝐴𝐵 (lub zapisze związek między\npolami tych trójkątów), np. : ℎ𝐵𝐸𝐶= 3ℎ𝐵𝐹𝐻 (lub 𝑃𝐸𝐵𝐶= 9𝑆)\nALBO\n\nzapisze, że trójkąt 𝐴𝐷𝐺 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 oraz zapisze związek między\nwysokościami tych trójkątów opuszczonymi na prostą 𝐴𝐵 (lub zapisze związek między\npolami tych trójkątów), np. : ℎ𝐴𝐸𝐶= 2ℎ𝐴𝐷𝐺 (lub 𝑃𝐴𝐸𝐶= 4𝑃𝐴𝐷𝐺)\nALBO\n\nzapisze związek między polami trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶, np.: 𝑃𝐴𝐸𝐶= 4\n3 𝑃𝐸𝐵𝐶\nALBO\n\nzapisze, że 𝑃𝐴𝐵𝐶= 21𝑆 i 𝑃𝐸𝐵𝐶= 9𝑆.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nzapisze związki między polami trójkątów 𝐴𝐷𝐺 i 𝐴𝐸𝐶 oraz 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶, np.:\n𝑃𝐴𝐸𝐶\n𝑃𝐸𝐵𝐶= 4\n3 i 𝑃𝐴𝐸𝐶= 4𝑃𝐴𝐷𝐺\nALBO\n\nzapisze związki między polami trójkątów 𝐵𝐸𝐶 i 𝐵𝐹𝐻 oraz 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶, np.:\n𝑃𝐴𝐸𝐶\n𝑃𝐸𝐵𝐶= 4\n3 i 𝑃𝐵𝐸𝐶= 9𝑃𝐵𝐹𝐻\nALBO\n\nzapisze związki między polami trójkątów 𝐴𝐷𝐺 i 𝐴𝐸𝐶 oraz 𝐵𝐸𝐶 i 𝐵𝐹𝐻, np.:\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 4𝑃𝐴𝐷𝐺 i 𝑃𝐵𝐸𝐶= 9𝑃𝐵𝐹𝐻\nALBO\n\nzapisze układ równań z polem 𝑝 trapezu 𝐷𝐸𝐶𝐺 oraz polem 𝑞 trójkąta 𝐴𝐷𝐺 jako\nniewiadomymi, np.:\n{\n𝑝+ 𝑞= 12𝑆\n𝑝+ 𝑞\n𝑞\n= 4\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\nUwaga:\nJeśli zdający wprowadza do rozwiązania dodatkowe założenia, nie wynikające z treści\nzadania, to otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nOznaczmy pole trójkąta 𝐹𝐵𝐻 przez 𝑆, a długość odcinka 𝐹𝐵 przez 𝑥. Zgodnie z treścią\nzadania |𝐴𝐷| = |𝐷𝐸| = |𝐸𝐹| = 2|𝐹𝐵| = 2𝑥.\nOdcinki 𝐸𝐶 i 𝐹𝐻 są równoległe, więc trójkąt 𝐸𝐵𝐶 jest podobny do trójkąta 𝐹𝐵𝐻 na\npodstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów. Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych\ni warunków zadania otrzymujemy\n𝑃𝐸𝐵𝐶\n𝑃𝐹𝐵𝐻\n= (|𝐸𝐵|\n|𝐹𝐵|)\n2\n= (3𝑥\n𝑥)\n2\n= 9\nwięc\n𝑃𝐸𝐵𝐶= 9𝑆\nTrójkąty 𝐸𝐵𝐶 i 𝐴𝐸𝐶 mają wspólną wysokość ℎ, poprowadzoną z wierzchołka 𝐶. Zatem\n𝑃𝐴𝐸𝐶\n𝑃𝐸𝐵𝐶\n1\n2 ⋅|𝐴𝐸| ⋅ℎ\n1\n2 ⋅|𝐸𝐵| ⋅ℎ\n= 4𝑥\n3𝑥= 4\n3\nwięc\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 4\n3 ⋅𝑃𝐸𝐵𝐶= 12𝑆\nOdcinki 𝐷𝐺 i 𝐸𝐶 są równoległe, więc trójkąt 𝐴𝐷𝐺 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 na\npodstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów. Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych\ni warunków zadania otrzymujemy\n𝑃𝐴𝐷𝐺\n𝑃𝐴𝐸𝐶\n= (\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐸|)\n2\n= (2𝑥\n4𝑥)\n2\n= 1\n4\nwięc\n𝑃𝐴𝐷𝐺= 1\n4 ⋅𝑃𝐴𝐸𝐶= 3𝑆\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐵\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n2𝑥\n2𝑥\n2𝑥\n𝑥\nSposób 2.\nOznaczmy przez ℎ wysokość trójkąta 𝐵𝐹𝐻, natomiast przez 𝑎 długość odcinka |𝐹𝐵|.\nWtedy\npole\ntrójkąta\n𝐴𝐵𝐶\njest\nrówne\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅7𝑎⋅3ℎ= 21𝑆\noraz\n𝑃𝐸𝐵𝐶= 1\n2 ⋅3𝑎⋅3ℎ= 9𝑆.\nOdcinki 𝐷𝐺 i 𝐸𝐶 są równoległe, więc trójkąt 𝐴𝐷𝐺 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 na\npodstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów w skali 𝑘= 0,5. Niech pole trapezu 𝐷𝐸𝐶𝐺\nbędzie równe 𝑝, natomiast pole trójkąta 𝐴𝐷𝐺 będzie równe 𝑞.\nWtedy\n{\n𝑝+ 𝑞= 12𝑆\n𝑝+ 𝑞\n𝑞\n= 4\nStąd otrzymujemy 𝑝= 9𝑆 oraz 𝑞= 3𝑆, co jest tezą twierdzenia.","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta obrano punkty 𝐷, 𝐸 i 𝐹 tak, że
|𝐴𝐷| = |𝐷𝐸| = |𝐸𝐹| = 2|𝐹𝐵|. Na bokach 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 obrano - odpowiednio - punkty 𝐺 i 𝐻
tak, że 𝐷𝐺∥𝐸𝐶 oraz 𝐹𝐻∥𝐸𝐶 (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta 𝐹𝐵𝐻 jest
równe 𝑆, to pole trójkąta 𝐴𝐷𝐺 jest równe 3𝑆.
𝐴
𝐷
𝐸
𝐹
𝐵
𝐶
𝐺
𝐻

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt ABC. Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D, E i F tak, że |AD| = |DE| = |EF| = 2|FB|. Na bokach AC i BC obrano - odpowiednio - punkty G i H tak, że DG || EC oraz FH || EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta FBH jest równe S, to pole trójkąta ADG jest równe 3S.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

zapisze, że trójkąt 𝐵𝐸𝐶 jest podobny do trójkąta 𝐵𝐹𝐻 oraz zapisze związek między
wysokościami tych trójkątów opuszczonymi na prostą 𝐴𝐵 (lub zapisze związek między
polami tych trójkątów), np. : ℎ𝐵𝐸𝐶= 3ℎ𝐵𝐹𝐻 (lub 𝑃𝐸𝐵𝐶= 9𝑆)
ALBO

zapisze, że trójkąt 𝐴𝐷𝐺 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 oraz zapisze związek między
wysokościami tych trójkątów opuszczonymi na prostą 𝐴𝐵 (lub zapisze związek między
polami tych trójkątów), np. : ℎ𝐴𝐸𝐶= 2ℎ𝐴𝐷𝐺 (lub 𝑃𝐴𝐸𝐶= 4𝑃𝐴𝐷𝐺)
ALBO

zapisze związek między polami trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶, np.: 𝑃𝐴𝐸𝐶= 4
3 𝑃𝐸𝐵𝐶
ALBO

zapisze, że 𝑃𝐴𝐵𝐶= 21𝑆 i 𝑃𝐸𝐵𝐶= 9𝑆.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:

zapisze związki między polami trójkątów 𝐴𝐷𝐺 i 𝐴𝐸𝐶 oraz 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶, np.:
𝑃𝐴𝐸𝐶
𝑃𝐸𝐵𝐶= 4
3 i 𝑃𝐴𝐸𝐶= 4𝑃𝐴𝐷𝐺
ALBO

zapisze związki między polami trójkątów 𝐵𝐸𝐶 i 𝐵𝐹𝐻 oraz 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶, np.:
𝑃𝐴𝐸𝐶
𝑃𝐸𝐵𝐶= 4
3 i 𝑃𝐵𝐸𝐶= 9𝑃𝐵𝐹𝐻
ALBO

zapisze związki między polami trójkątów 𝐴𝐷𝐺 i 𝐴𝐸𝐶 oraz 𝐵𝐸𝐶 i 𝐵𝐹𝐻, np.:
𝑃𝐴𝐸𝐶= 4𝑃𝐴𝐷𝐺 i 𝑃𝐵𝐸𝐶= 9𝑃𝐵𝐹𝐻
ALBO

zapisze układ równań z polem 𝑝 trapezu 𝐷𝐸𝐶𝐺 oraz polem 𝑞 trójkąta 𝐴𝐷𝐺 jako
niewiadomymi, np.:
{
𝑝+ 𝑞= 12𝑆
𝑝+ 𝑞
𝑞
= 4
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.
Uwaga:
Jeśli zdający wprowadza do rozwiązania dodatkowe założenia, nie wynikające z treści
zadania, to otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Oznaczmy pole trójkąta 𝐹𝐵𝐻 przez 𝑆, a długość odcinka 𝐹𝐵 przez 𝑥. Zgodnie z treścią
zadania |𝐴𝐷| = |𝐷𝐸| = |𝐸𝐹| = 2|𝐹𝐵| = 2𝑥.
Odcinki 𝐸𝐶 i 𝐹𝐻 są równoległe, więc trójkąt 𝐸𝐵𝐶 jest podobny do trójkąta 𝐹𝐵𝐻 na
podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów. Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych
i warunków zadania otrzymujemy
𝑃𝐸𝐵𝐶
𝑃𝐹𝐵𝐻
= (|𝐸𝐵|
|𝐹𝐵|)
2
= (3𝑥
𝑥)
2
= 9
więc
𝑃𝐸𝐵𝐶= 9𝑆
Trójkąty 𝐸𝐵𝐶 i 𝐴𝐸𝐶 mają wspólną wysokość ℎ, poprowadzoną z wierzchołka 𝐶. Zatem
𝑃𝐴𝐸𝐶
𝑃𝐸𝐵𝐶
1
2 ⋅|𝐴𝐸| ⋅ℎ
1
2 ⋅|𝐸𝐵| ⋅ℎ
= 4𝑥
3𝑥= 4
3
więc
𝑃𝐴𝐸𝐶= 4
3 ⋅𝑃𝐸𝐵𝐶= 12𝑆
Odcinki 𝐷𝐺 i 𝐸𝐶 są równoległe, więc trójkąt 𝐴𝐷𝐺 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 na
podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów. Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych
i warunków zadania otrzymujemy
𝑃𝐴𝐷𝐺
𝑃𝐴𝐸𝐶
= (
|𝐴𝐷|
|𝐴𝐸|)
2
= (2𝑥
4𝑥)
2
= 1
4
więc
𝑃𝐴𝐷𝐺= 1
4 ⋅𝑃𝐴𝐸𝐶= 3𝑆
To należało wykazać.
𝐴
𝐷
𝐸
𝐹
𝐵
𝐶
𝐺
𝐻
2𝑥
2𝑥
2𝑥
𝑥
Sposób 2.
Oznaczmy przez ℎ wysokość trójkąta 𝐵𝐹𝐻, natomiast przez 𝑎 długość odcinka |𝐹𝐵|.
Wtedy
pole
trójkąta
𝐴𝐵𝐶
jest
równe
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅7𝑎⋅3ℎ= 21𝑆
oraz
𝑃𝐸𝐵𝐶= 1
2 ⋅3𝑎⋅3ℎ= 9𝑆.
Odcinki 𝐷𝐺 i 𝐸𝐶 są równoległe, więc trójkąt 𝐴𝐷𝐺 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 na
podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów w skali 𝑘= 0,5. Niech pole trapezu 𝐷𝐸𝐶𝐺
będzie równe 𝑝, natomiast pole trójkąta 𝐴𝐷𝐺 będzie równe 𝑞.
Wtedy
{
𝑝+ 𝑞= 12𝑆
𝑝+ 𝑞
𝑞
= 4
Stąd otrzymujemy 𝑝= 9𝑆 oraz 𝑞= 3𝑆, co jest tezą twierdzenia.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg"}]}