{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nRozwiąż równanie 2 cosଶ𝑥-cos 𝑥= sinሺ2𝑥ሻ-sin 𝑥 w przedziale 〈0, 2𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie 2cos²x - cos x = sin(2x) - sin x w przedziale <0,2π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze równanie w postaci, w której występują funkcje trygonometryczne tego samego\nkąta, np.: 2 cos2 𝑥-cos 𝑥= 2 sin 𝑥cos 𝑥-sin 𝑥.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub 2 cos 𝑥-1 = 0.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wyznaczy rozwiązania jednego z równań cos 𝑥= 1\n2 lub cos 𝑥= sin 𝑥 w przedziale\n〈0, 2𝜋〉 lub w 𝑅.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy wyznaczy rozwiązania obu równań cos 𝑥= 1\n2 oraz cos 𝑥= sin 𝑥 w przedziale 〈0, 2𝜋〉:\n𝑥= 1\n3 𝜋 lub 𝑥= 5\n3 𝜋 lub 𝑥= 1\n4 𝜋 lub 𝑥= 5\n4 𝜋.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający podzieli równanie przez (cos 𝑥-sin 𝑥) albo przez (2 cos 𝑥-1) bez\nstosownych założeń i nie rozważy przypadków, gdy to wyrażenie jest równe zero, to\notrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przed uzyskaniem trygonometrycznych równań elementarnych popełni błędy\nrachunkowe i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno ma dwie serie\nrozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie równoważnie i otrzymujemy kolejno:\n2 cos2 𝑥-cos 𝑥= 2 sin 𝑥cos 𝑥-sin 𝑥\n2 cos2 𝑥-cos 𝑥-2 sin 𝑥cos 𝑥+ sin 𝑥= 0\ncos 𝑥⋅(2 cos 𝑥-1) -sin 𝑥⋅(2 cos 𝑥-1) = 0\n(2 cos 𝑥-1)(cos 𝑥-sin 𝑥) = 0\nStąd otrzymujemy:\ncos 𝑥= 1\n2 lub cos 𝑥= sin 𝑥\nRozwiązaniami pierwszego z tych równań w zbiorze 〈0, 2𝜋〉 są: 𝑥= 1\n3 𝜋 lub 𝑥= 5\n3 𝜋.\nRozwiązaniami równania cos 𝑥= sin 𝑥 w zbiorze 〈0, 2𝜋〉 są: 𝑥= 1\n4 𝜋 lub 𝑥= 5\n4 𝜋.\nZatem równanie 2 cos2 𝑥-cos 𝑥= sin(2𝑥) -sin 𝑥 ma w zbiorze 〈0, 2𝜋〉 cztery\nrozwiązania: 𝑥= 1\n3 𝜋 lub 𝑥= 5\n3 𝜋 lub 𝑥= 1\n4 𝜋 lub 𝑥= 5\n4 𝜋.","solution":"$x = \\dfrac{1}{3}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{5}{3}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{1}{4}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{5}{4}\\pi$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-4)
Rozwiąż równanie 2 cosଶ𝑥-cos 𝑥= sinሺ2𝑥ሻ-sin 𝑥 w przedziale 〈0, 2𝜋〉.

\n

EMAP-R0_100
Odpowiedź:

\n

EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie 2cos²x - cos x = sin(2x) - sin x w przedziale <0,2π>.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-4)
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze równanie w postaci, w której występują funkcje trygonometryczne tego samego
kąta, np.: 2 cos2 𝑥-cos 𝑥= 2 sin 𝑥cos 𝑥-sin 𝑥.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub 2 cos 𝑥-1 = 0.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy wyznaczy rozwiązania jednego z równań cos 𝑥= 1
2 lub cos 𝑥= sin 𝑥 w przedziale
〈0, 2𝜋〉 lub w 𝑅.
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy wyznaczy rozwiązania obu równań cos 𝑥= 1
2 oraz cos 𝑥= sin 𝑥 w przedziale 〈0, 2𝜋〉:
𝑥= 1
3 𝜋 lub 𝑥= 5
3 𝜋 lub 𝑥= 1
4 𝜋 lub 𝑥= 5
4 𝜋.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający podzieli równanie przez (cos 𝑥-sin 𝑥) albo przez (2 cos 𝑥-1) bez
\n

stosownych założeń i nie rozważy przypadków, gdy to wyrażenie jest równe zero, to
otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający przed uzyskaniem trygonometrycznych równań elementarnych popełni błędy
\n

rachunkowe i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno ma dwie serie
rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe
rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy równanie równoważnie i otrzymujemy kolejno:
2 cos2 𝑥-cos 𝑥= 2 sin 𝑥cos 𝑥-sin 𝑥
2 cos2 𝑥-cos 𝑥-2 sin 𝑥cos 𝑥+ sin 𝑥= 0
cos 𝑥⋅(2 cos 𝑥-1) -sin 𝑥⋅(2 cos 𝑥-1) = 0
(2 cos 𝑥-1)(cos 𝑥-sin 𝑥) = 0
Stąd otrzymujemy:
cos 𝑥= 1
2 lub cos 𝑥= sin 𝑥
Rozwiązaniami pierwszego z tych równań w zbiorze 〈0, 2𝜋〉 są: 𝑥= 1
3 𝜋 lub 𝑥= 5
3 𝜋.
Rozwiązaniami równania cos 𝑥= sin 𝑥 w zbiorze 〈0, 2𝜋〉 są: 𝑥= 1
4 𝜋 lub 𝑥= 5
4 𝜋.
Zatem równanie 2 cos2 𝑥-cos 𝑥= sin(2𝑥) -sin 𝑥 ma w zbiorze 〈0, 2𝜋〉 cztery
rozwiązania: 𝑥= 1
3 𝜋 lub 𝑥= 5
3 𝜋 lub 𝑥= 1
4 𝜋 lub 𝑥= 5
4 𝜋.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = \\dfrac{1}{3}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{5}{3}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{1}{4}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{5}{4}\\pi$

"}]}