{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nDane są prosta 𝑘 o równaniu 𝑥-2𝑦= 0 i prosta 𝑙 o równaniu 2𝑥+ 𝑦-1 = 0. Punkt 𝑃\nleży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 4. Odległość punktu 𝑃 od prostej 𝑘 jest dwa razy\nwiększa niż odległość punktu 𝑃 od prostej 𝑙. Oblicz współrzędne punktu 𝑃.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dane są prosta k o równaniu x-2y=0 i prosta l o równaniu 2x+y-1=0. Punkt P leży na prostej o równaniu y=x+4. Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy większa niż odległość punktu P od prostej l. Oblicz współrzędne punktu P.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze odległość punktu 𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) od jednej z prostych, np.:\n|𝑥𝑃-2𝑦𝑃|\n√12 + (-2)2 lub\n|2𝑥𝑃+ 𝑦𝑃-1|\n√22 + 12\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy odległość punktu 𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) od jednej z prostych w zależności od jednej\nzmiennej, np.\n|𝑥𝑃-2(𝑥𝑃+ 4)|\n√12 + (-2)2\nlub |2𝑥𝑃+ (𝑥𝑃+ 4) -1|\n√22 + 12\nlub\n|(𝑦𝑃-4) -2𝑦𝑃|\n√12 + (-2)2\nlub\n|2(𝑦𝑃-4) + 𝑦𝑃-1|\n√22 + 12\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, opisujące zależność między odległościami punktu\n𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) od obu prostych, np.:\n|𝑥𝑃-2(𝑥𝑃+ 4)|\n√12 + (-2)2\n= 2 ⋅|2𝑥𝑃+ (𝑥𝑃+ 4) -1|\n√22 + 12\nlub\n|(𝑦𝑃-4) -2𝑦𝑃|\n√12 + (-2)2\n= 2 ⋅|2(𝑦𝑃-4) + 𝑦𝑃-1|\n√22 + 12\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy obliczy i zapisze współrzędne punktu 𝑃: 𝑃= (-2, 2) oraz 𝑃= (2\n5 , 22\n5 ).\nUwagi:\n1. Jeśli zdający zapisuje równanie „odległości” i w tym równaniu pomija zupełnie symbol\nwartości bezwzględnej, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeśli zdający sporządzi rysunek, zapisze współrzędne jednego z szukanych punktów\n(-2, 2), obliczy odległości punktu (-2, 2) od prostych 𝑘 i 𝑙 oraz zapisze, że odległość\ntego punktu od prostej 𝑘 jest dwa razy większa niż odległość tego punktu od prostej 𝑙, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) będzie punktem leżącym na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 4. Wtedy\n𝑦𝑃= 𝑥𝑃+ 4.\nOdległość 𝑑(𝑃, 𝑘) punktu 𝑃 od prostej 𝑘 o równaniu 𝑥-2𝑦= 0 jest równa\n𝑑(𝑃, 𝑘) =\n|𝑥𝑃-2(𝑥𝑃+ 4)|\n√12 + (-2)2\n|-𝑥𝑃-8|\n√5\nOdległość 𝑑(𝑃, 𝑙) punktu 𝑃 od prostej 𝑙 o równaniu 2𝑥+ 𝑦-1 = 0 jest równa\n𝑑(𝑃, 𝑘) = |2𝑥𝑃+ (𝑥𝑃+ 4) -1|\n√22 + 12\n= |3𝑥𝑃+ 3|\n√5\nZ treści zadania 𝑑(𝑃, 𝑘) = 2 ⋅𝑑(𝑃, 𝑙), więc\n|-𝑥𝑃-8|\n√5\n= 2 ⋅|3𝑥𝑃+ 3|\n√5\nStąd otrzymujemy kolejno\n|-𝑥𝑃-8| = 2 ⋅|3𝑥𝑃+ 3|\n|-𝑥𝑃-8| = |6𝑥𝑃+ 6|\n-𝑥𝑃-8 = 6𝑥𝑃+ 6 lub -(-𝑥𝑃-8) = 6𝑥𝑃+ 6\n𝑥𝑃= -2 lub 𝑥𝑃= 2\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDla 𝑥𝑃= -2 otrzymujemy 𝑃= (-2, 2). Dla 𝑥𝑃= 2\n5 otrzymujemy 𝑃= (2\n5 , 22\n5 ).\nIstnieją zatem dwa punkty spełniające warunki zadania: (-2, 2) oraz (2\n5 , 22\n5 ).","solution":"$P = (-2, 2)$ oraz $P = \\left(\\dfrac{2}{5}, \\dfrac{22}{5}\\right)$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-4)<br>Dane są prosta 𝑘 o równaniu 𝑥-2𝑦= 0 i prosta 𝑙 o równaniu 2𝑥+ 𝑦-1 = 0. Punkt 𝑃<br>leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 4. Odległość punktu 𝑃 od prostej 𝑘 jest dwa razy<br>większa niż odległość punktu 𝑃 od prostej 𝑙. Oblicz współrzędne punktu 𝑃.</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Odpowiedź:</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Rozwiązanie zadania. Dane są prosta k o równaniu x-2y=0 i prosta l o równaniu 2x+y-1=0. Punkt P leży na prostej o równaniu y=x+4. Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy większa niż odległość punktu P od prostej l. Oblicz współrzędne punktu P.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-4)<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy zapisze odległość punktu 𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) od jednej z prostych, np.:<br>|𝑥𝑃-2𝑦𝑃|<br>√12 + (-2)2 lub<br>|2𝑥𝑃+ 𝑦𝑃-1|<br>√22 + 12<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy wyznaczy odległość punktu 𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) od jednej z prostych w zależności od jednej<br>zmiennej, np.<br>|𝑥𝑃-2(𝑥𝑃+ 4)|<br>√12 + (-2)2<br>lub |2𝑥𝑃+ (𝑥𝑃+ 4) -1|<br>√22 + 12<br>lub<br>|(𝑦𝑃-4) -2𝑦𝑃|<br>√12 + (-2)2<br>lub<br>|2(𝑦𝑃-4) + 𝑦𝑃-1|<br>√22 + 12<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Zdający otrzymuje 3 p.<br>gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, opisujące zależność między odległościami punktu<br>𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) od obu prostych, np.:<br>|𝑥𝑃-2(𝑥𝑃+ 4)|<br>√12 + (-2)2<br>= 2 ⋅|2𝑥𝑃+ (𝑥𝑃+ 4) -1|<br>√22 + 12<br>lub<br>|(𝑦𝑃-4) -2𝑦𝑃|<br>√12 + (-2)2<br>= 2 ⋅|2(𝑦𝑃-4) + 𝑦𝑃-1|<br>√22 + 12<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Zdający otrzymuje 4 p.<br>gdy obliczy i zapisze współrzędne punktu 𝑃: 𝑃= (-2, 2) oraz 𝑃= (2<br>5 , 22<br>5 ).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeśli zdający zapisuje równanie „odległości” i w tym równaniu pomija zupełnie symbol</li></ol>\n<p>wartości bezwzględnej, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający sporządzi rysunek, zapisze współrzędne jednego z szukanych punktów</li></ol>\n<p>(-2, 2), obliczy odległości punktu (-2, 2) od prostych 𝑘 i 𝑙 oraz zapisze, że odległość<br>tego punktu od prostej 𝑘 jest dwa razy większa niż odległość tego punktu od prostej 𝑙, to<br>otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Niech 𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) będzie punktem leżącym na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 4. Wtedy<br>𝑦𝑃= 𝑥𝑃+ 4.<br>Odległość 𝑑(𝑃, 𝑘) punktu 𝑃 od prostej 𝑘 o równaniu 𝑥-2𝑦= 0 jest równa<br>𝑑(𝑃, 𝑘) =<br>|𝑥𝑃-2(𝑥𝑃+ 4)|<br>√12 + (-2)2<br>|-𝑥𝑃-8|<br>√5<br>Odległość 𝑑(𝑃, 𝑙) punktu 𝑃 od prostej 𝑙 o równaniu 2𝑥+ 𝑦-1 = 0 jest równa<br>𝑑(𝑃, 𝑘) = |2𝑥𝑃+ (𝑥𝑃+ 4) -1|<br>√22 + 12<br>= |3𝑥𝑃+ 3|<br>√5<br>Z treści zadania 𝑑(𝑃, 𝑘) = 2 ⋅𝑑(𝑃, 𝑙), więc<br>|-𝑥𝑃-8|<br>√5<br>= 2 ⋅|3𝑥𝑃+ 3|<br>√5<br>Stąd otrzymujemy kolejno<br>|-𝑥𝑃-8| = 2 ⋅|3𝑥𝑃+ 3|<br>|-𝑥𝑃-8| = |6𝑥𝑃+ 6|<br>-𝑥𝑃-8 = 6𝑥𝑃+ 6 lub -(-𝑥𝑃-8) = 6𝑥𝑃+ 6<br>𝑥𝑃= -2 lub 𝑥𝑃= 2<br>5<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Dla 𝑥𝑃= -2 otrzymujemy 𝑃= (-2, 2). Dla 𝑥𝑃= 2<br>5 otrzymujemy 𝑃= (2<br>5 , 22<br>5 ).<br>Istnieją zatem dwa punkty spełniające warunki zadania: (-2, 2) oraz (2<br>5 , 22<br>5 ).</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$P = (-2, 2)$ oraz $P = \\left(\\dfrac{2}{5}, \\dfrac{22}{5}\\right)$</p>"}]}