{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 100ହ⋅(0,1)ି଺ jest równa\nA. 10ଵଷ\nB. 10ଵ଺\nC. 10ିଵ\nD. 10ିଷ଴\nRozwiązanie zadania. Liczba 100^5 ⋅ (0.1)^{-6} jest równa A. 10^13 B. 10^16 C. 10^{-1} D. 10^{-30}","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20211\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) oblicza potęgi o wykładnikach\nwymiernych i stosuje prawa działań na\npotęgach o wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: B\nWersja B: D","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(10^{16}\\)\n\n## Sposób 1 - zamiana na potęgi dziesiątki\n\nKluczowa obserwacja: zarówno \\(100\\) jak i \\(0{,}1\\) to potęgi liczby \\(10\\):\n\\[100 = 10^2, \\qquad 0{,}1 = \\frac{1}{10} = 10^{-1}\\]\n\nZamieniamy każdy czynnik:\n\\[100^5 = (10^2)^5 = 10^{2 \\cdot 5} = 10^{10}\\]\n\n\\[(0{,}1)^{-6} = (10^{-1})^{-6} = 10^{(-1)\\cdot(-6)} = 10^{6}\\]\n\nMnożymy - dodajemy wykładniki:\n\\[10^{10} \\cdot 10^{6} = 10^{10+6} = \\mathbf{10^{16}}\\]\n\n## Sposób 2 - uproszczenie przez definicję potęgi ujemnej\n\nZamiast zamieniać \\(0{,}1\\) na potęgę dziesiątki od razu, korzystamy z definicji ujemnego wykładnika:\n\\[(0{,}1)^{-6} = \\frac{1}{(0{,}1)^6} = \\frac{1}{0{,}000001} = 1\\,000\\,000 = 10^6\\]\n\nTeraz całe wyrażenie:\n\\[100^5 \\cdot 10^6\\]\n\nPrzeliczamy \\(100^5\\) wprost:\n\\[100^5 = (10^2)^5 = 10^{10}\\]\n\nMnożymy:\n\\[10^{10} \\cdot 10^6 = 10^{16}\\]\n\n**Wynik taki sam - \\(10^{16}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nUżyte własności:\n\n1. Potęga potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy do zamiany \\((10^2)^5 = 10^{10}\\) oraz \\((10^{-1})^{-6} = 10^6\\).\n\n2. Mnożenie potęg o tej samej podstawie:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\nUżyliśmy do połączenia \\(10^{10} \\cdot 10^6 = 10^{16}\\).\n\n3. Wykładnik ujemny:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((0{,}1)^{-6}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(10^{13}\\) | Poprawne \\(10^{10}\\) z \\(100^5\\), ale wykładnik z \\((0{,}1)^{-6}\\) policzony jako \\(+3\\) zamiast \\(+6\\) (np. pomylono \\((0{,}1)^{-6}\\) z \\((0{,}001)^{-1}\\)) |\n| C - \\(10^{-1}\\) | Pominięcie minusa w wykładniku - policzono \\((0{,}1)^6 = 10^{-6}\\) zamiast \\((0{,}1)^{-6} = 10^{+6}\\), co daje \\(10^{10} \\cdot 10^{-6} = 10^{4}\\), albo błędna zamiana \\(100^5 = 10^5\\) zamiast \\(10^{10}\\) |\n| D - \\(10^{-30}\\) | Błędne pomnożenie wykładników zamiast ich dodawania: \\(10 \\cdot (-6) \\cdot 5 = -300\\), albo dodatkowe zgubienie minusa i wzięcie \\(-10 + (-6) \\cdot 5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus w wykładniku \\((0{,}1)^{-6}\\) oznacza **odwrotność** - wynik jest **duży** (\\(10^6\\)), nie mały! Uczniowie często myślą, że ujemny wykładnik \"zmniejsza\" liczbę, ale tu odwraca ułamek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(100^5 \\neq 10^5\\)! Najpierw zamieniamy \\(100 = 10^2\\), potem podnosimy do potęgi 5 - korzystając z reguły \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) dostajemy \\(10^{10}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie **dodajemy** wykładniki, nie mnożymy. Mnożenie wykładników dotyczy tylko potęgowania potęgi: \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zamiana na potęgi 10\n\\(100^5 = (10^2)^5 = 10^{10}\\).\n\\((0{,}1)^{-6} = (10^{-1})^{-6} = 10^{6}\\).\nIloczyn: \\(10^{10}\\cdot 10^{6} = 10^{16}\\).\n\n### Sposób 2 - Przez ułamki\n\\((0{,}1)^{-6} = \\dfrac{1}{(0{,}1)^6} = \\dfrac{1}{10^{-6}} = 10^6\\). Dalej jak wyżej.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10^{13}\\)** - błędne zsumowanie wykładników (10+3 zamiast 10+6).\n- **C. \\(10^{-1}\\)** - błędne traktowanie ujemnego wykładnika.\n- **D. \\(10^{-30}\\)** - pomnożenie wykładników zamiast dodania.\n\n**Trik:** \\(0{,}1 = 10^{-1}\\) zawsze, a \\((a^m)^n = a^{mn}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Uproszczenie wyrażenia i wykorzystanie własności potęg\n1. **Uproszczenie wyrażenia:**\nZaczynamy od uproszczenia wyrażenia \\(100^{} \\cdot (0,1)^{}\\). Możemy zapisać \\(0,1\\) jako \\(10^{-1}\\). Zatem wyrażenie staje się:\n\\[100 \\cdot (10^{-1})^{} = 100 \\cdot 10^{-1} = 10^{2} \\cdot 10^{-1} = 10^{2-1} = 10^{1} = 10\\]\n2. **Wykorzystanie wzoru na potęgi:**\nUżywamy wzoru na potęgi: \\(a^m \\cdot a^n = a^{m+n}\\). W naszym przypadku \\(m = 1\\) i \\(n = -1\\).\n\\[100 \\cdot (0.1)^1 = 100 \\cdot 0.1 = 10\\]\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\), strona 5\n\n### Sposób 2: Zamiana na ułamki i obliczenie\n1. **Zamiana 0,1 na ułamek:**\n\\(0,1 = \\frac{1}{10}\\)\n2. **Podstawienie do wyrażenia:**\n\\[100 \\cdot \\frac{1}{10} = \\frac{100}{10} = 10\\]\n3. **Uproszczenie:**\n\\[10\\]\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b (nie jest bezpośrednio użyte, ale ilustruje podstawę logarytmu), strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(10^{��}\\)**: Wynik jest 10, a nie wartość podniesiona do jakiejś potęgi.\n* **C. \\(10^{��}\\)**: Podobnie jak w odpowiedzi A, nie jest to wartość potęgi.\n* **D. \\(10^{���}\\)**: To również nie jest poprawna potęga liczby 10, która wynosi 10.\n\nPodsumowując, rozwiązanie polega na uproszczeniu wyrażenia, wykorzystując własności potęg i zamieniając 0,1 na ułamek, co prowadzi do wyniku 10.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Liczba 100ହ⋅(0,1)ି଺ jest równa
A. 10ଵଷ
B. 10ଵ଺
C. 10ିଵ
D. 10ିଷ଴
Rozwiązanie zadania. Liczba 100^5 ⋅ (0.1)^{-6} jest równa A. 10^13 B. 10^16 C. 10^{-1} D. 10^{-30}

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 20211
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
1.4) oblicza potęgi o wykładnikach
wymiernych i stosuje prawa działań na
potęgach o wykładnikach wymiernych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A: B
Wersja B: D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(10^{16}\\)

\n

Sposób 1 - zamiana na potęgi dziesiątki

\n

Kluczowa obserwacja: zarówno \\(100\\) jak i \\(0{,}1\\) to potęgi liczby \\(10\\):
\\[100 = 10^2, \\qquad 0{,}1 = \\frac{1}{10} = 10^{-1}\\]

\n

Zamieniamy każdy czynnik:
\\[100^5 = (10^2)^5 = 10^{2 \\cdot 5} = 10^{10}\\]

\n

\\[(0{,}1)^{-6} = (10^{-1})^{-6} = 10^{(-1)\\cdot(-6)} = 10^{6}\\]

\n

Mnożymy - dodajemy wykładniki:
\\[10^{10} \\cdot 10^{6} = 10^{10+6} = \\mathbf{10^{16}}\\]

\n

Sposób 2 - uproszczenie przez definicję potęgi ujemnej

\n

Zamiast zamieniać \\(0{,}1\\) na potęgę dziesiątki od razu, korzystamy z definicji ujemnego wykładnika:
\\[(0{,}1)^{-6} = \\frac{1}{(0{,}1)^6} = \\frac{1}{0{,}000001} = 1\\,000\\,000 = 10^6\\]

\n

Teraz całe wyrażenie:
\\[100^5 \\cdot 10^6\\]

\n

Przeliczamy \\(100^5\\) wprost:
\\[100^5 = (10^2)^5 = 10^{10}\\]

\n

Mnożymy:
\\[10^{10} \\cdot 10^6 = 10^{16}\\]

\n

Wynik taki sam - \\(10^{16}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

Użyte własności:

\n
  1. Potęga potęgi:
\n

\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
Użyliśmy do zamiany \\((10^2)^5 = 10^{10}\\) oraz \\((10^{-1})^{-6} = 10^6\\).

\n
  1. Mnożenie potęg o tej samej podstawie:
\n

\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]
Użyliśmy do połączenia \\(10^{10} \\cdot 10^6 = 10^{16}\\).

\n
  1. Wykładnik ujemny:
\n

\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((0{,}1)^{-6}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \\(10^{13}\\) | Poprawne \\(10^{10}\\) z \\(100^5\\), ale wykładnik z \\((0{,}1)^{-6}\\) policzony jako \\(+3\\) zamiast \\(+6\\) (np. pomylono \\((0{,}1)^{-6}\\) z \\((0{,}001)^{-1}\\)) |
| C - \\(10^{-1}\\) | Pominięcie minusa w wykładniku - policzono \\((0{,}1)^6 = 10^{-6}\\) zamiast \\((0{,}1)^{-6} = 10^{+6}\\), co daje \\(10^{10} \\cdot 10^{-6} = 10^{4}\\), albo błędna zamiana \\(100^5 = 10^5\\) zamiast \\(10^{10}\\) |
| D - \\(10^{-30}\\) | Błędne pomnożenie wykładników zamiast ich dodawania: \\(10 \\cdot (-6) \\cdot 5 = -300\\), albo dodatkowe zgubienie minusa i wzięcie \\(-10 + (-6) \\cdot 5\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Minus w wykładniku \\((0{,}1)^{-6}\\) oznacza odwrotność - wynik jest duży (\\(10^6\\)), nie mały! Uczniowie często myślą, że ujemny wykładnik "zmniejsza" liczbę, ale tu odwraca ułamek.
\n
⚠️ Uwaga: \\(100^5 \\neq 10^5\\)! Najpierw zamieniamy \\(100 = 10^2\\), potem podnosimy do potęgi 5 - korzystając z reguły \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) dostajemy \\(10^{10}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki, nie mnożymy. Mnożenie wykładników dotyczy tylko potęgowania potęgi: \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Zamiana na potęgi 10
\n

\\(100^5 = (10^2)^5 = 10^{10}\\).
\\((0{,}1)^{-6} = (10^{-1})^{-6} = 10^{6}\\).
Iloczyn: \\(10^{10}\\cdot 10^{6} = 10^{16}\\).

\n
Sposób 2 - Przez ułamki
\n

\\((0{,}1)^{-6} = \\dfrac{1}{(0{,}1)^6} = \\dfrac{1}{10^{-6}} = 10^6\\). Dalej jak wyżej.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(0{,}1 = 10^{-1}\\) zawsze, a \\((a^m)^n = a^{mn}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Uproszczenie wyrażenia i wykorzystanie własności potęg
\n
  1. Uproszczenie wyrażenia:
\n

Zaczynamy od uproszczenia wyrażenia \\(100^{} \\cdot (0,1)^{}\\). Możemy zapisać \\(0,1\\) jako \\(10^{-1}\\). Zatem wyrażenie staje się:
\\[100 \\cdot (10^{-1})^{} = 100 \\cdot 10^{-1} = 10^{2} \\cdot 10^{-1} = 10^{2-1} = 10^{1} = 10\\]

\n
  1. Wykorzystanie wzoru na potęgi:
\n

Używamy wzoru na potęgi: \\(a^m \\cdot a^n = a^{m+n}\\). W naszym przypadku \\(m = 1\\) i \\(n = -1\\).
\\[100 \\cdot (0.1)^1 = 100 \\cdot 0.1 = 10\\]

\n

📖 Karta wzorów: Potęgi: \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\), strona 5

\n
Sposób 2: Zamiana na ułamki i obliczenie
\n
  1. Zamiana 0,1 na ułamek:
\n

\\(0,1 = \\frac{1}{10}\\)

\n
  1. Podstawienie do wyrażenia:
\n

\\[100 \\cdot \\frac{1}{10} = \\frac{100}{10} = 10\\]

\n
  1. Uproszczenie:
\n

\\[10\\]

\n

📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b (nie jest bezpośrednio użyte, ale ilustruje podstawę logarytmu), strona 13

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowując, rozwiązanie polega na uproszczeniu wyrażenia, wykorzystując własności potęg i zamieniając 0,1 na ułamek, co prowadzi do wyniku 10.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, obliczamy $100^5 =(10^2)^5= 10^{10}$ oraz $(0,1)^{-6} = 10^{6}$. Zatem $10^{10} \\cdot 10^{6} = 10^{16}$, co jest poprawną odpowiedzią.

"}]}