{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg ቀ15, 3𝑥, 5\n3ቁ jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd\nwynika, że\nA. 𝑥= 3\n5\nB. 𝑥= 4\n5\nC. 𝑥= 1\nD. 𝑥= 5\n3\nRozwiązanie zadania. Trzywyrazowy ciąg (15,3x,5/3) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że A. x=3/5 B. x=4/5 C. x=1 D. x=5/3.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: D\nWersja B: B","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = \\dfrac{5}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiadów:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[(3x)^2 = 15 \\cdot \\frac{5}{3}\\]\n\n\\[9x^2 = \\frac{75}{3} = 25\\]\n\n\\[x^2 = \\frac{25}{9}\\]\n\n\\[x = \\pm\\frac{5}{3}\\]\n\nPonieważ **wszystkie wyrazy muszą być dodatnie**, a \\(3x > 0\\), odrzucamy \\(x = -\\dfrac{5}{3}\\).\n\n\\[\\boxed{x = \\frac{5}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Stały iloraz ciągu\n\nDla ciągu geometrycznego iloraz \\(q\\) jest stały: \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{a_3}{a_2}\\)\n\n\\[\\frac{3x}{15} = \\frac{\\tfrac{5}{3}}{3x}\\]\n\n\\[\\frac{x}{5} = \\frac{5}{9x}\\]\n\nMnożymy krzyżowo:\n\\[9x^2 = 25\\]\n\n\\[x = \\frac{5}{3}\\]\n\n**Weryfikacja:** Przy \\(x = \\dfrac{5}{3}\\) ciąg to \\(\\left(15,\\ 5,\\ \\dfrac{5}{3}\\right)\\).\n\nIloraz: \\(q = \\dfrac{5}{15} = \\dfrac{1}{3}\\), oraz \\(\\dfrac{5/3}{5} = \\dfrac{1}{3}\\). ✓ Ciąg jest geometryczny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do ustawienia równania na \\(x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(\\dfrac{3}{5}\\) | Błąd przy obliczaniu: zamiast \\(9x^2 = 25\\) uczeń liczy \\(9x^2 = 9\\), skąd \\(x = 1\\) albo odwraca ułamek \\(\\dfrac{5}{3}\\) i wychodzi mu \\(x = \\dfrac{3}{5}\\) |\n| B: \\(\\dfrac{4}{5}\\) | Zgadywanie lub błąd arytmetyczny przy upraszczaniu \\(15 \\cdot \\dfrac{5}{3}\\) (np. wynik 24 zamiast 25) |\n| C: \\(1\\) | Uczeń sprawdza na oko: \\(3x = 3\\) „wygląda ładnie\". Ciąg \\((15, 3, \\frac{5}{3})\\) - iloraz \\(\\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\), ale \\(\\frac{5/3}{3} = \\frac{5}{9} \\neq \\frac{1}{5}\\) - to **nie jest** ciąg geometryczny |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „wszystkie wyrazy dodatnie\" eliminuje \\(x = -\\dfrac{5}{3}\\). Nie zapomnij sprawdzić znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\) działa tylko w ciągu geometrycznym - w arytmetycznym to \\(2a_2 = a_1 + a_3\\). Nie mieszaj obu wzorów!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(15 \\cdot \\dfrac{5}{3}\\) pamiętaj upraszczać przed mnożeniem: \\(15 \\cdot \\dfrac{5}{3} = 5 \\cdot 5 = 25\\). Szybciej i mniej błędów.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek ciągu geometrycznego\nW ciągu geometrycznym: \\((3x)^2 = 15 \\cdot \\tfrac{5}{3} = 25\\).\n\\(9x^2 = 25 \\Rightarrow x^2 = \\tfrac{25}{9} \\Rightarrow x = \\tfrac{5}{3}\\) (dodatni, bo \\(3x > 0\\)).\n\n### Sposób 2 - Iloraz\n\\(q = \\dfrac{3x}{15} = \\dfrac{x}{5}\\) i \\(q = \\dfrac{5/3}{3x} = \\dfrac{5}{9x}\\).\n\\(\\dfrac{x}{5} = \\dfrac{5}{9x} \\Rightarrow 9x^2 = 25 \\Rightarrow x = \\tfrac{5}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C.** Podstawienie daje \\((3x)^2 \\ne 25\\).\n\n**Zasada:** \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) (własność środkowego wyrazu).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza ciągu geometrycznego\nTrzywyrazowy ciąg (15, 3x, 3) jest geometryczny, jeśli stosunek między kolejnymi wyrazami jest stały. Zatem:\n\n\\[ \\frac{3x}{15} = \\frac{3}{3x} \\]\n\nUproszczamy:\n\n\\[ \\frac{3x}{15} = \\frac{1}{x} \\]\n\n\\[ 3x² = 15 \\]\n\n\\[ x² = 5 \\]\n\n\\[ x = \\sqrt{5} \\] (ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie)\n\nZatem, ciąg to (15, 3√5, 3) i odpowiedź D jest poprawna.\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi geometryczne, strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie własności ciągu geometrycznego\nW ciągu geometrycznym, każdy wyraz jest iloczynem dwóch poprzednich. Zatem:\n\n\\[ 3x = \\sqrt{15 \\cdot 3} \\]\n\n\\[ 3x = \\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = 3\\sqrt{5} \\]\n\n\\[ x = \\sqrt{5} \\]\n\nZatem, ciąg to (15, 3√5, 3) i odpowiedź D jest poprawna.\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi geometryczne, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** (15, 3, 3x) - Ten ciąg nie spełnia warunku geometrycznego, ponieważ stosunek między 15 i 3 nie jest równy stosunkowi między 3 i 3x.\n* **B:** (15, 3x, x) - Ten ciąg nie jest geometryczny, ponieważ \\( \\frac{3x}{15} \\neq \\frac{x}{3x} \\).\n* **C:** (15, x, 3x) - Ten ciąg nie jest geometryczny, ponieważ \\( \\frac{x}{15} \\neq \\frac{3x}{x} \\).\n\nWszystkie odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają warunków zadania, a prawidłowa odpowiedź to D.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Trzywyrazowy ciąg ቀ15, 3𝑥, 5
3ቁ jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd
wynika, że
A. 𝑥= 3
5
B. 𝑥= 4
5
C. 𝑥= 1
D. 𝑥= 5
3
Rozwiązanie zadania. Trzywyrazowy ciąg (15,3x,5/3) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że A. x=3/5 B. x=4/5 C. x=1 D. x=5/3.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu
geometrycznego.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A: D
Wersja B: B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(x = \\dfrac{5}{3}\\)

\n

Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

\n

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiadów:
\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]

\n

Podstawiamy:
\\[(3x)^2 = 15 \\cdot \\frac{5}{3}\\]

\n

\\[9x^2 = \\frac{75}{3} = 25\\]

\n

\\[x^2 = \\frac{25}{9}\\]

\n

\\[x = \\pm\\frac{5}{3}\\]

\n

Ponieważ wszystkie wyrazy muszą być dodatnie, a \\(3x > 0\\), odrzucamy \\(x = -\\dfrac{5}{3}\\).

\n

\\[\\boxed{x = \\frac{5}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Stały iloraz ciągu

\n

Dla ciągu geometrycznego iloraz \\(q\\) jest stały: \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{a_3}{a_2}\\)

\n

\\[\\frac{3x}{15} = \\frac{\\tfrac{5}{3}}{3x}\\]

\n

\\[\\frac{x}{5} = \\frac{5}{9x}\\]

\n

Mnożymy krzyżowo:
\\[9x^2 = 25\\]

\n

\\[x = \\frac{5}{3}\\]

\n

Weryfikacja: Przy \\(x = \\dfrac{5}{3}\\) ciąg to \\(\\left(15,\\ 5,\\ \\dfrac{5}{3}\\right)\\).

\n

Iloraz: \\(q = \\dfrac{5}{15} = \\dfrac{1}{3}\\), oraz \\(\\dfrac{5/3}{5} = \\dfrac{1}{3}\\). ✓ Ciąg jest geometryczny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do ustawienia równania na \\(x\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A: \\(\\dfrac{3}{5}\\) | Błąd przy obliczaniu: zamiast \\(9x^2 = 25\\) uczeń liczy \\(9x^2 = 9\\), skąd \\(x = 1\\) albo odwraca ułamek \\(\\dfrac{5}{3}\\) i wychodzi mu \\(x = \\dfrac{3}{5}\\) |
| B: \\(\\dfrac{4}{5}\\) | Zgadywanie lub błąd arytmetyczny przy upraszczaniu \\(15 \\cdot \\dfrac{5}{3}\\) (np. wynik 24 zamiast 25) |
| C: \\(1\\) | Uczeń sprawdza na oko: \\(3x = 3\\) „wygląda ładnie". Ciąg \\((15, 3, \\frac{5}{3})\\) - iloraz \\(\\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\), ale \\(\\frac{5/3}{3} = \\frac{5}{9} \\neq \\frac{1}{5}\\) - to nie jest ciąg geometryczny |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Warunek „wszystkie wyrazy dodatnie" eliminuje \\(x = -\\dfrac{5}{3}\\). Nie zapomnij sprawdzić znaku!
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\) działa tylko w ciągu geometrycznym - w arytmetycznym to \\(2a_2 = a_1 + a_3\\). Nie mieszaj obu wzorów!
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu \\(15 \\cdot \\dfrac{5}{3}\\) pamiętaj upraszczać przed mnożeniem: \\(15 \\cdot \\dfrac{5}{3} = 5 \\cdot 5 = 25\\). Szybciej i mniej błędów.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Warunek ciągu geometrycznego
\n

W ciągu geometrycznym: \\((3x)^2 = 15 \\cdot \\tfrac{5}{3} = 25\\).
\\(9x^2 = 25 \\Rightarrow x^2 = \\tfrac{25}{9} \\Rightarrow x = \\tfrac{5}{3}\\) (dodatni, bo \\(3x > 0\\)).

\n
Sposób 2 - Iloraz
\n

\\(q = \\dfrac{3x}{15} = \\dfrac{x}{5}\\) i \\(q = \\dfrac{5/3}{3x} = \\dfrac{5}{9x}\\).
\\(\\dfrac{x}{5} = \\dfrac{5}{9x} \\Rightarrow 9x^2 = 25 \\Rightarrow x = \\tfrac{5}{3}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) (własność środkowego wyrazu).

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Analiza ciągu geometrycznego
\n

Trzywyrazowy ciąg (15, 3x, 3) jest geometryczny, jeśli stosunek między kolejnymi wyrazami jest stały. Zatem:

\n

\\[ \\frac{3x}{15} = \\frac{3}{3x} \\]

\n

Uproszczamy:

\n

\\[ \\frac{3x}{15} = \\frac{1}{x} \\]

\n

\\[ 3x² = 15 \\]

\n

\\[ x² = 5 \\]

\n

\\[ x = \\sqrt{5} \\] (ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie)

\n

Zatem, ciąg to (15, 3√5, 3) i odpowiedź D jest poprawna.

\n

📖 Karta wzorów: Ciągi geometryczne, strona 9

\n
Sposób 2: Użycie własności ciągu geometrycznego
\n

W ciągu geometrycznym, każdy wyraz jest iloczynem dwóch poprzednich. Zatem:

\n

\\[ 3x = \\sqrt{15 \\cdot 3} \\]

\n

\\[ 3x = \\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = 3\\sqrt{5} \\]

\n

\\[ x = \\sqrt{5} \\]

\n

Zatem, ciąg to (15, 3√5, 3) i odpowiedź D jest poprawna.

\n

📖 Karta wzorów: Ciągi geometryczne, strona 9

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wszystkie odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają warunków zadania, a prawidłowa odpowiedź to D.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, gdy $x = \\small \\displaystyle\\frac{5}{3}$, mamy ciąg $\\left(15, 5, {\\displaystyle\\small\\frac{5}{3}}\\right)$, wtedy $q = \\frac{5}{15}=\\frac{\\frac{5}{3}}{5} = \\frac{1}{3}$, co potwierdza, że jest to ciąg geometryczny.

"}]}