{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1) (N)\nCiąg (𝑏௡) jest określony wzorem 𝑏௡= 3𝑛ଶ-25𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Liczba\nniedodatnich wyrazów ciągu (𝑏௡) jest równa\nA. 14\nB. 13\nC. 9\nD. 8\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Ciąg (b_n) jest określony wzorem b_n=3n^2-25n dla każdej liczby naturalnej n≥1. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu (b_n) jest równa A. 14 B.13 C. 9 D. 8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązanie\nWersja A: D\nWersja B: A","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - **8 wyrazów**\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności kwadratowej (faktoryzacja)\n\nSzukamy, dla ilu naturalnych \\(n \\geq 1\\) wyraz ciągu jest **niedodatni**, czyli:\n\\[b_n \\leq 0\\]\n\\[3n^2 - 25n \\leq 0\\]\n\n**Wyłączamy wspólny czynnik** \\(n\\):\n\\[n(3n - 25) \\leq 0\\]\n\nMamy iloczyn dwóch czynników. Patrząc na znaki:\n\n| Przedział | \\(n\\) | \\(3n - 25\\) | Iloczyn |\n| \\(n < 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(n = 0\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |\n| \\(0 < n < \\frac{25}{3}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(n = \\frac{25}{3}\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(n > \\frac{25}{3}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nNierówność \\(n(3n-25) \\leq 0\\) jest spełniona dla \\(0 \\leq n \\leq \\frac{25}{3}\\).\n\nPonieważ \\(\\frac{25}{3} = 8{,}33 \\), a \\(n\\) jest **liczbą naturalną \\(n \\geq 1\\)**, szukane wartości to:\n\\[n \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\]\n\n**Mamy dokładnie 8 niedodatnich wyrazów.**\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie bezpośrednie (tabelka) i weryfikacja\n\nLiczymy wartości \\(b_n = 3n^2 - 25n = n(3n-25)\\) dla kolejnych \\(n\\):\n\n| \\(n\\) | \\(3n - 25\\) | \\(b_n = n(3n-25)\\) | Niedodatni? |\n| 1 | \\(-22\\) | \\(-22\\) | ✓ |\n| 2 | \\(-19\\) | \\(-38\\) | ✓ |\n| 3 | \\(-16\\) | \\(-48\\) | ✓ |\n| 4 | \\(-13\\) | \\(-52\\) | ✓ |\n| 5 | \\(-10\\) | \\(-50\\) | ✓ |\n| 6 | \\(-7\\) | \\(-42\\) | ✓ |\n| 7 | \\(-4\\) | \\(-28\\) | ✓ |\n| 8 | \\(-1\\) | **\\(-8\\)** | ✓ |\n| **9** | \\(+2\\) | **\\(+18\\)** | ✗ |\n\n**Wyraz \\(b_8 = -8 \\leq 0\\), a \\(b_9 = 18 > 0\\).** Od \\(n = 9\\) wszystkie wyrazy są dodatnie (parabola otwarta ku górze). Liczba niedodatnich wyrazów: **8**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)**\n\nKluczowy fakt: trójmian \\(ax^2 + bx + c\\) z \\(a > 0\\) jest ujemny **między** swoimi pierwiastkami. Tu pierwiastkami są:\n\\[n = 0 \\qquad \\text{i} \\qquad n = \\frac{25}{3}\\]\n(bo \\(3n^2 - 25n = 3n(n - \\tfrac{25}{3})\\))\n\nZatem \\(b_n \\leq 0\\) dla \\(n \\in [0,\\, \\tfrac{25}{3}]\\), co przy \\(n \\geq 1\\) naturalnym daje \\(n \\in \\{1,\\ldots,8\\}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| C - \\(9\\) | Policzono \\(n = 0\\) do wyrazów ciągu, mimo że dziedzina to \\(n \\geq 1\\). Dla \\(n = 0\\): \\(b_0 = 0\\), ale ten wyraz nie należy do ciągu. |\n| B - \\(13\\) | Błąd arytmetyczny przy dzieleniu: np. zamiast \\(\\frac{25}{3} \\approx 8{,}33\\) obliczono błędnie \\(\\frac{25}{2} = 12{,}5\\), po czym wzięto \\(n \\leq 12\\) dając 12 lub 13 wyrazów. |\n| A - \\(14\\) | Podobny błąd jak wyżej, lub mylnie uznano, że liczba niedodatnich wyrazów to \\(\\left\\lfloor \\frac{25}{3} \\right\\rfloor + 6 = 14\\) wskutek zagubienia skąd liczymy. |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina ciągu to \\(n \\geq 1\\), a nie \\(n \\geq 0\\). Chociaż \\(b_0 = 0\\) jest niedodatnie, wyraz \\(b_0\\) nie istnieje w tym ciągu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyłączeniu \\(n\\) z nawiasu: \\(n(3n-25) \\leq 0\\). Ponieważ \\(n \\geq 1 > 0\\), możemy podzielić przez \\(n\\) i dostajemy \\(3n - 25 \\leq 0\\), czyli \\(n \\leq \\frac{25}{3} = 8{,}33 \\) Zatem **największe naturalne \\(n\\) spełniające warunek to \\(n = 8\\)**, a nie \\(9\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola \\(b_n = 3n^2 - 25n\\) jest otwarta ku górze (\\(a = 3 > 0\\)), więc wyrazy **zaczynają się ujemne** (dla małych \\(n\\)) i **od pewnego miejsca stają się na stałe dodatnie**. Nie wracają już do wartości ujemnych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Nierówność \\(b_n \\le 0\\)\n\\(3n^2 - 25n \\le 0 \\iff n(3n - 25) \\le 0\\).\nDla \\(n \\ge 1\\) mamy \\(n > 0\\), więc warunek: \\(3n - 25 \\le 0 \\iff n \\le \\tfrac{25}{3} \\approx 8{,}33\\).\nNaturalne \\(n \\in \\{1, 2, \\ldots, 8\\}\\) - to \\(8\\) wyrazów.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie granicy\n\\(b_8 = 3\\cdot 64 - 200 = 192 - 200 = -8 \\le 0\\) ✓.\n\\(b_9 = 3\\cdot 81 - 225 = 243 - 225 = 18 > 0\\) ✗.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C** - błędne rozwiązanie nierówności lub uwzględnienie \\(n = 0\\).\n\n**Uwaga:** \\(\\tfrac{25}{3} = 8\\tfrac{1}{3}\\), a \\(n\\) musi być naturalne.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pierwszych kilku wyrazów ciągu i znalezienie wzoru na n-ty wyraz.\n```math\na_n = 3n^2 - 25n\nKrok 1: Obliczamy kilka pierwszych wyrazów ciągu dla n = 1, 2, 3,\n* n = 1: a₁ = 3(1)² - 25(1) = 3 - 25 = -22\n* n = 2: a₂ = 3(2)² - 25(2) = 12 - 50 = -38\n* n = 3: a₃ = 3(3)² - 25(3) = 27 - 75 = -48\n* n = 4: a₄ = 3(4)² - 25(4) = 48 - 100 = -52\n* n = 5: a₅ = 3(5)² - 25(5) = 75 - 125 = -50\n\nZauważamy, że wyraz ciągu jest zawsze liczbą całkowitą i jest ujemny. Wzór wydaje się być poprawny.\n\n📖 Karta wzorów: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r - s.4\n### Sposób 2: Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.\nWzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)\nW naszym przypadku, \\(a_n = 3n^2 - 25n\\)\nRozwijamy to wyrażenie:\n\\(a_n = 3n^2 - 25n = n(3n - 25)\\)\nZauważamy, że \\(a_1 = 3(1) - 25 = -22\\)\n\\(a_2 = 3(2) - 25 = -19\\)\nWidać, że to nie jest ciąg arytmetyczny, ponieważ różnice między kolejnymi wyrazami nie są stałe. Zatem, nie możemy zastosować wzoru na ciąg arytmetyczny.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| - s.5","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1) (N)<br>Ciąg (𝑏௡) jest określony wzorem 𝑏௡= 3𝑛ଶ-25𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Liczba<br>niedodatnich wyrazów ciągu (𝑏௡) jest równa<br>A. 14<br>B. 13<br>C. 9<br>D. 8</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Ciąg (b_n) jest określony wzorem b_n=3n^2-25n dla każdej liczby naturalnej n≥1. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu (b_n) jest równa A. 14 B.13 C. 9 D. 8</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego<br>wzorem ogólnym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Rozwiązanie<br>Wersja A: D<br>Wersja B: A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - <strong>8 wyrazów</strong></h4>\n<h4>Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności kwadratowej (faktoryzacja)</h4>\n<p>Szukamy, dla ilu naturalnych \\(n \\geq 1\\) wyraz ciągu jest <strong>niedodatni</strong>, czyli:<br>\\[b_n \\leq 0\\]<br>\\[3n^2 - 25n \\leq 0\\]</p>\n<p><strong>Wyłączamy wspólny czynnik</strong> \\(n\\):<br>\\[n(3n - 25) \\leq 0\\]</p>\n<p>Mamy iloczyn dwóch czynników. Patrząc na znaki:</p>\n<p>| Przedział | \\(n\\) | \\(3n - 25\\) | Iloczyn |<br>| \\(n &lt; 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |<br>| \\(n = 0\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |<br>| \\(0 &lt; n &lt; \\frac{25}{3}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |<br>| \\(n = \\frac{25}{3}\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |<br>| \\(n &gt; \\frac{25}{3}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |</p>\n<p>Nierówność \\(n(3n-25) \\leq 0\\) jest spełniona dla \\(0 \\leq n \\leq \\frac{25}{3}\\).</p>\n<p>Ponieważ \\(\\frac{25}{3} = 8{,}33 \\), a \\(n\\) jest <strong>liczbą naturalną \\(n \\geq 1\\)</strong>, szukane wartości to:<br>\\[n \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\]</p>\n<p><strong>Mamy dokładnie 8 niedodatnich wyrazów.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Sprawdzenie bezpośrednie (tabelka) i weryfikacja</h4>\n<p>Liczymy wartości \\(b_n = 3n^2 - 25n = n(3n-25)\\) dla kolejnych \\(n\\):</p>\n<p>| \\(n\\) | \\(3n - 25\\) | \\(b_n = n(3n-25)\\) | Niedodatni? |<br>| 1 | \\(-22\\) | \\(-22\\) | ✓ |<br>| 2 | \\(-19\\) | \\(-38\\) | ✓ |<br>| 3 | \\(-16\\) | \\(-48\\) | ✓ |<br>| 4 | \\(-13\\) | \\(-52\\) | ✓ |<br>| 5 | \\(-10\\) | \\(-50\\) | ✓ |<br>| 6 | \\(-7\\) | \\(-42\\) | ✓ |<br>| 7 | \\(-4\\) | \\(-28\\) | ✓ |<br>| 8 | \\(-1\\) | <strong>\\(-8\\)</strong> | ✓ |<br>| <strong>9</strong> | \\(+2\\) | <strong>\\(+18\\)</strong> | ✗ |</p>\n<p><strong>Wyraz \\(b_8 = -8 \\leq 0\\), a \\(b_9 = 18 &gt; 0\\).</strong> Od \\(n = 9\\) wszystkie wyrazy są dodatnie (parabola otwarta ku górze). Liczba niedodatnich wyrazów: <strong>8</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)</strong></p>\n<p>Kluczowy fakt: trójmian \\(ax^2 + bx + c\\) z \\(a &gt; 0\\) jest ujemny <strong>między</strong> swoimi pierwiastkami. Tu pierwiastkami są:<br>\\[n = 0 \\qquad \\text{i} \\qquad n = \\frac{25}{3}\\]<br>(bo \\(3n^2 - 25n = 3n(n - \\tfrac{25}{3})\\))</p>\n<p>Zatem \\(b_n \\leq 0\\) dla \\(n \\in [0,\\, \\tfrac{25}{3}]\\), co przy \\(n \\geq 1\\) naturalnym daje \\(n \\in \\{1,\\ldots,8\\}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| C - \\(9\\) | Policzono \\(n = 0\\) do wyrazów ciągu, mimo że dziedzina to \\(n \\geq 1\\). Dla \\(n = 0\\): \\(b_0 = 0\\), ale ten wyraz nie należy do ciągu. |<br>| B - \\(13\\) | Błąd arytmetyczny przy dzieleniu: np. zamiast \\(\\frac{25}{3} \\approx 8{,}33\\) obliczono błędnie \\(\\frac{25}{2} = 12{,}5\\), po czym wzięto \\(n \\leq 12\\) dając 12 lub 13 wyrazów. |<br>| A - \\(14\\) | Podobny błąd jak wyżej, lub mylnie uznano, że liczba niedodatnich wyrazów to \\(\\left\\lfloor \\frac{25}{3} \\right\\rfloor + 6 = 14\\) wskutek zagubienia skąd liczymy. |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dziedzina ciągu to \\(n \\geq 1\\), a nie \\(n \\geq 0\\). Chociaż \\(b_0 = 0\\) jest niedodatnie, wyraz \\(b_0\\) nie istnieje w tym ciągu!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po wyłączeniu \\(n\\) z nawiasu: \\(n(3n-25) \\leq 0\\). Ponieważ \\(n \\geq 1 &gt; 0\\), możemy podzielić przez \\(n\\) i dostajemy \\(3n - 25 \\leq 0\\), czyli \\(n \\leq \\frac{25}{3} = 8{,}33 \\) Zatem <strong>największe naturalne \\(n\\) spełniające warunek to \\(n = 8\\)</strong>, a nie \\(9\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Parabola \\(b_n = 3n^2 - 25n\\) jest otwarta ku górze (\\(a = 3 &gt; 0\\)), więc wyrazy <strong>zaczynają się ujemne</strong> (dla małych \\(n\\)) i <strong>od pewnego miejsca stają się na stałe dodatnie</strong>. Nie wracają już do wartości ujemnych.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Nierówność \\(b_n \\le 0\\)</h5>\n<p>\\(3n^2 - 25n \\le 0 \\iff n(3n - 25) \\le 0\\).<br>Dla \\(n \\ge 1\\) mamy \\(n &gt; 0\\), więc warunek: \\(3n - 25 \\le 0 \\iff n \\le \\tfrac{25}{3} \\approx 8{,}33\\).<br>Naturalne \\(n \\in \\{1, 2, \\ldots, 8\\}\\) - to \\(8\\) wyrazów.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie granicy</h5>\n<p>\\(b_8 = 3\\cdot 64 - 200 = 192 - 200 = -8 \\le 0\\) ✓.<br>\\(b_9 = 3\\cdot 81 - 225 = 243 - 225 = 18 &gt; 0\\) ✗.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B, C</strong> - błędne rozwiązanie nierówności lub uwzględnienie \\(n = 0\\).</li></ul>\n<p><strong>Uwaga:</strong> \\(\\tfrac{25}{3} = 8\\tfrac{1}{3}\\), a \\(n\\) musi być naturalne.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie pierwszych kilku wyrazów ciągu i znalezienie wzoru na n-ty wyraz.</h5>\n<p>```math<br>a_n = 3n^2 - 25n<br>Krok 1: Obliczamy kilka pierwszych wyrazów ciągu dla n = 1, 2, 3,</p>\n<ul><li>n = 1: a₁ = 3(1)² - 25(1) = 3 - 25 = -22</li><li>n = 2: a₂ = 3(2)² - 25(2) = 12 - 50 = -38</li><li>n = 3: a₃ = 3(3)² - 25(3) = 27 - 75 = -48</li><li>n = 4: a₄ = 3(4)² - 25(4) = 48 - 100 = -52</li><li>n = 5: a₅ = 3(5)² - 25(5) = 75 - 125 = -50</li></ul>\n<p>Zauważamy, że wyraz ciągu jest zawsze liczbą całkowitą i jest ujemny. Wzór wydaje się być poprawny.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r - s.4</p>\n<h5>Sposób 2: Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.</h5>\n<p>Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)<br>W naszym przypadku, \\(a_n = 3n^2 - 25n\\)<br>Rozwijamy to wyrażenie:<br>\\(a_n = 3n^2 - 25n = n(3n - 25)\\)<br>Zauważamy, że \\(a_1 = 3(1) - 25 = -22\\)<br>\\(a_2 = 3(2) - 25 = -19\\)<br>Widać, że to nie jest ciąg arytmetyczny, ponieważ różnice między kolejnymi wyrazami nie są stałe. Zatem, nie możemy zastosować wzoru na ciąg arytmetyczny.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| - s.5</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, aby znaleźć liczby niedodatnie wyrazy ciągu $b_n = 3n^2 - 25n$, musimy rozwiązać nierówność $3n^2 - 25n \\leq 0$. Otrzymujemy $n(3n - 25) \\leq 0$, mamy $n = 0$ oraz $n = \\frac{25}{3}$. Liczby naturalne to $n = 1, 2, ..., 8$, więc wyrazów niedodatnich jest $8$.</p>"}]}