{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1) (N)\nCiąg arytmetyczny (𝑎௡) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Trzeci i piąty wyraz\nciągu spełniają warunek 𝑎ଷ+ 𝑎ହ= 58. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy\nA. 28\nB. 29\nC. 33\nD. 40\nRozwiązanie zadania. Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek a_3 + a_5 = 58. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy A. 28 B. 29 C. 33 D. 40","answer":"B","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: B\nWersja B: D","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(a_4 = 29\\)\n\n## Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego (wyraz środkowy)\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest **średnią arytmetyczną** sąsiadów. Dokładniej: wyraz \\(a_k\\) jest średnią arytmetyczną \\(a_{k-m}\\) i \\(a_{k+m}\\) dla każdego \\(m\\).\n\nW szczególności \\(a_4\\) jest średnią \\(a_3\\) i \\(a_5\\):\n\\[a_4 = \\frac{a_3 + a_5}{2}\\]\n\nPodstawiamy dany warunek \\(a_3 + a_5 = 58\\):\n\\[a_4 = \\frac{58}{2} = \\mathbf{29}\\]\n\n## Sposób 2 - Algebraicznie przez wzór ogólny\n\nKorzystamy z wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nZapisujemy \\(a_3\\) i \\(a_5\\):\n\\[a_3 = a_1 + 2r, \\qquad a_5 = a_1 + 4r\\]\n\nSumujemy zgodnie z warunkiem:\n\\[a_3 + a_5 = (a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) = 2a_1 + 6r = 58\\]\n\nUpraszczamy:\n\\[a_1 + 3r = 29\\]\n\nAle \\(a_4 = a_1 + 3r\\), więc:\n\\[\\mathbf{a_4 = 29}\\]\n\nNie musieliśmy wyznaczać \\(a_1\\) i \\(r\\) osobno - wystarczyło zauważyć, że \\(a_1 + 3r\\) to dokładnie \\(a_4\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wypisania \\(a_3\\), \\(a_4\\), \\(a_5\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nTo serce Sposobu 1 - \\(a_4\\) leży dokładnie pośrodku między \\(a_3\\) a \\(a_5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((28)\\) | Uczeń oblicza \\(\\frac{58}{2} - 1 = 28\\), błędnie odejmując 1 (mylenie indeksu z różnicą) |\n| C \\((33)\\) | Uczeń zakłada \\(a_3 + a_5 = 58\\) i przyjmuje \\(a_3 = 25, a_5 = 33\\), po czym podaje \\(a_5\\) zamiast \\(a_4\\) |\n| D \\((40)\\) | Uczeń interpretuje warunek jako \\(a_5 = 58 - a_3\\) i bez dodatkowych danych \"zgaduje\" \\(a_3 = 18\\), otrzymując \\(a_4 = a_3 + r\\) z przypadkowym \\(r\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba znać \\(a_1\\) ani \\(r\\) - zadanie jest rozwiązywalne nawet bez nich, bo suma \\(a_3 + a_5\\) jednoznacznie wyznacza \\(a_4\\). Nie szukaj więcej niż potrzebujesz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\(a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\) działa też dla dowolnych wyrazów oddalonych o tę samą liczbę kroków: \\(a_4 = \\frac{a_{4-k} + a_{4+k}}{2}\\). Tu \\(k = 1\\) (wyrazy \\(a_3\\) i \\(a_5\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"wyraz czwarty\" z \"czwarta różnica\" - upewnij się, że szukasz \\(a_4 = a_1 + 3r\\), a nie \\(a_1 + 4r\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego\nW ciągu arytmetycznym \\(a_4\\) jest średnią arytmetyczną \\(a_3\\) i \\(a_5\\):\n\\(a_4 = \\dfrac{a_3 + a_5}{2} = \\dfrac{58}{2} = 29\\).\n\n### Sposób 2 - Przez pierwszy wyraz i różnicę\n\\(a_3 = a_1 + 2r\\), \\(a_5 = a_1 + 4r\\). Suma: \\(2a_1 + 6r = 58\\).\n\\(a_4 = a_1 + 3r\\). Z wcześniejszego: \\(a_1 + 3r = 29\\). Więc \\(a_4 = 29\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - błędna interpretacja średniej lub przeoczenie własności.\n\n**Zasada:** w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz z nieparzystej liczby kolejnych wyrazów to ich średnia arytmetyczna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na rzędną ciągu arytmetycznego\n\nKrok 1: Zauważmy, że ciąg arytmetyczny ma postać \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica.\n\nKrok 2: Z treści zadania wiemy, że \\(a_3 + a_5 = 58\\). Zatem:\n\\[(a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) = 58\\]\n\\[2a_1 + 6r = 58\\]\n\\[a_1 + 3r = 29\\] (Dzielimy obie strony przez 2)\n\nKrok 3: Chcemy znaleźć \\(a_4\\), który wynosi \\(a_1 + 3r\\). Zatem \\(a_4 = 29\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.9 - Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego\n\nKrok 1: Znamy \\(a_3 + a_5 = 58\\). Możemy to zapisać jako:\n\\[ \\frac{a_3 + a_5}{2} \\cdot 2 = 58 \\]\n\\[ a_4 = 29 \\]\n(Ponieważ \\(a_3 + a_5\\) to średnia arytmetyczna między \\(a_3\\) i \\(a_5\\), a suma tych wyrazów daje 58, to środkowy wyraz, czyli \\(a_4\\), wynosi 29).\n\n📖 Karta wzorów: s.9 - Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 28:** Wynika to z błędnego obliczenia \\(a_1\\) i \\(r\\). Jeśli \\(a_1 + 3r = 29\\), to \\(a_1 = 29 - 3r\\). Wtedy \\(a_4 = a_1 + 3r = 29\\), co jest nieprawidłowe.\n* **C. 33:** Podobnie jak w przypadku A, to wynik jest błędny.\n* **D. 40:** Podobnie jak w przypadku A i C, to wynik jest błędny.\n\nPodsumowując, rozwiązanie polega na wykorzystaniu informacji o trzecim i piątym wyrazie ciągu arytmetycznego, aby znaleźć czwarty wyraz. Wzór na rzędną ciągu arytmetycznego pozwala na efektywne rozwiązanie tego problemu.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-1) (N)
Ciąg arytmetyczny (𝑎௡) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Trzeci i piąty wyraz
ciągu spełniają warunek 𝑎ଷ+ 𝑎ହ= 58. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy
A. 28
B. 29
C. 33
D. 40
Rozwiązanie zadania. Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek a_3 + a_5 = 58. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy A. 28 B. 29 C. 33 D. 40

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę
𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A: B
Wersja B: D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(a_4 = 29\\)

\n

Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego (wyraz środkowy)

\n

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów. Dokładniej: wyraz \\(a_k\\) jest średnią arytmetyczną \\(a_{k-m}\\) i \\(a_{k+m}\\) dla każdego \\(m\\).

\n

W szczególności \\(a_4\\) jest średnią \\(a_3\\) i \\(a_5\\):
\\[a_4 = \\frac{a_3 + a_5}{2}\\]

\n

Podstawiamy dany warunek \\(a_3 + a_5 = 58\\):
\\[a_4 = \\frac{58}{2} = \\mathbf{29}\\]

\n

Sposób 2 - Algebraicznie przez wzór ogólny

\n

Korzystamy z wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]

\n

Zapisujemy \\(a_3\\) i \\(a_5\\):
\\[a_3 = a_1 + 2r, \\qquad a_5 = a_1 + 4r\\]

\n

Sumujemy zgodnie z warunkiem:
\\[a_3 + a_5 = (a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) = 2a_1 + 6r = 58\\]

\n

Upraszczamy:
\\[a_1 + 3r = 29\\]

\n

Ale \\(a_4 = a_1 + 3r\\), więc:
\\[\\mathbf{a_4 = 29}\\]

\n

Nie musieliśmy wyznaczać \\(a_1\\) i \\(r\\) osobno - wystarczyło zauważyć, że \\(a_1 + 3r\\) to dokładnie \\(a_4\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do wypisania \\(a_3\\), \\(a_4\\), \\(a_5\\).

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność wyrazu środkowego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]
To serce Sposobu 1 - \\(a_4\\) leży dokładnie pośrodku między \\(a_3\\) a \\(a_5\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\((28)\\) | Uczeń oblicza \\(\\frac{58}{2} - 1 = 28\\), błędnie odejmując 1 (mylenie indeksu z różnicą) |
| C \\((33)\\) | Uczeń zakłada \\(a_3 + a_5 = 58\\) i przyjmuje \\(a_3 = 25, a_5 = 33\\), po czym podaje \\(a_5\\) zamiast \\(a_4\\) |
| D \\((40)\\) | Uczeń interpretuje warunek jako \\(a_5 = 58 - a_3\\) i bez dodatkowych danych "zgaduje" \\(a_3 = 18\\), otrzymując \\(a_4 = a_3 + r\\) z przypadkowym \\(r\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie trzeba znać \\(a_1\\) ani \\(r\\) - zadanie jest rozwiązywalne nawet bez nich, bo suma \\(a_3 + a_5\\) jednoznacznie wyznacza \\(a_4\\). Nie szukaj więcej niż potrzebujesz!
\n
⚠️ Uwaga: Własność \\(a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\) działa też dla dowolnych wyrazów oddalonych o tę samą liczbę kroków: \\(a_4 = \\frac{a_{4-k} + a_{4+k}}{2}\\). Tu \\(k = 1\\) (wyrazy \\(a_3\\) i \\(a_5\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić "wyraz czwarty" z "czwarta różnica" - upewnij się, że szukasz \\(a_4 = a_1 + 3r\\), a nie \\(a_1 + 4r\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego
\n

W ciągu arytmetycznym \\(a_4\\) jest średnią arytmetyczną \\(a_3\\) i \\(a_5\\):
\\(a_4 = \\dfrac{a_3 + a_5}{2} = \\dfrac{58}{2} = 29\\).

\n
Sposób 2 - Przez pierwszy wyraz i różnicę
\n

\\(a_3 = a_1 + 2r\\), \\(a_5 = a_1 + 4r\\). Suma: \\(2a_1 + 6r = 58\\).
\\(a_4 = a_1 + 3r\\). Z wcześniejszego: \\(a_1 + 3r = 29\\). Więc \\(a_4 = 29\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz z nieparzystej liczby kolejnych wyrazów to ich średnia arytmetyczna.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na rzędną ciągu arytmetycznego
\n

Krok 1: Zauważmy, że ciąg arytmetyczny ma postać \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica.

\n

Krok 2: Z treści zadania wiemy, że \\(a_3 + a_5 = 58\\). Zatem:
\\[(a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) = 58\\]
\\[2a_1 + 6r = 58\\]
\\[a_1 + 3r = 29\\] (Dzielimy obie strony przez 2)

\n

Krok 3: Chcemy znaleźć \\(a_4\\), który wynosi \\(a_1 + 3r\\). Zatem \\(a_4 = 29\\).

\n

📖 Karta wzorów: s.9 - Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego
\n

Krok 1: Znamy \\(a_3 + a_5 = 58\\). Możemy to zapisać jako:
\\[ \\frac{a_3 + a_5}{2} \\cdot 2 = 58 \\]
\\[ a_4 = 29 \\]
(Ponieważ \\(a_3 + a_5\\) to średnia arytmetyczna między \\(a_3\\) i \\(a_5\\), a suma tych wyrazów daje 58, to środkowy wyraz, czyli \\(a_4\\), wynosi 29).

\n

📖 Karta wzorów: s.9 - Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowując, rozwiązanie polega na wykorzystaniu informacji o trzecim i piątym wyrazie ciągu arytmetycznego, aby znaleźć czwarty wyraz. Wzór na rzędną ciągu arytmetycznego pozwala na efektywne rozwiązanie tego problemu.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, mamy $ \\displaystyle {a}{{4}}={\\small\\frac{{{a}{{{3}}}+{a}_{{{5}}}}}{{2}}}={\\small\\frac{{58}}{{2}}}={29} $, ponieważ środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich.

"}]}