{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1) (15)\nProsta 𝑘 jest styczna w punkcie 𝐴 do okręgu o środku 𝑂. Punkt 𝐵 leży na tym okręgu\ni miara kąta 𝐴𝑂𝐵 jest równa 80° . Przez punkty 𝑂 i 𝐵 poprowadzono prostą, która przecina\nprostą 𝑘 w punkcie 𝐶 (zobacz rysunek).\nMiara kąta 𝐵𝐴𝐶 jest równa\nA. 10°\nB. 30°\nC. 40°\nD. 50°\nRozwiązanie zadania. Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu i miara kąta AOB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek). Miara kąta BAC jest równa A. 10° B. 30° C. 40° D. 50°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.2) korzysta z własności stycznej do\nokręgu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: C\nWersja B: B","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(40°\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt równoramienny + kąt prosty przy stycznej\n\n**Krok 1: Kąt przy punkcie styku.**\n\nPromień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc:\n\\[\\angle OAC = 90°\\]\n\n**Krok 2: Trójkąt OAB jest równoramienny.**\n\n\\(OA\\) i \\(OB\\) to promienie tego samego okręgu, zatem \\(OA = OB\\). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle OAB = \\angle OBA\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie kątów przy podstawie.**\n\nSuma kątów w trójkącie OAB:\n\\[\\angle OAB + \\angle OBA + \\angle AOB = 180°\\]\n\\[2 \\cdot \\angle OAB + 80° = 180°\\]\n\\[2 \\cdot \\angle OAB = 100°\\]\n\\[\\angle OAB = 50°\\]\n\n**Krok 4: Obliczenie kąta BAC.**\n\nPunkt C leży na prostej \\(k\\) po tej samej stronie co B (patrz rysunek - C jest ponad A), więc kąt \\(BAC\\) mieści się w kącie \\(OAC\\):\n\\[\\angle BAC = \\angle OAC - \\angle OAB = 90° - 50° = \\mathbf{40°}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt między styczną a cięciwą (twierdzenie o kącie styczno-sieczącym)\n\n**Twierdzenie**: Kąt między styczną do okręgu a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności jest równy połowie łuku odciętego przez tę cięciwę.\n\nCięciwa \\(AB\\) odcina łuk \\(AB\\), który jest podparty przez kąt środkowy \\(\\angle AOB = 80°\\). Zatem:\n\\[\\angle BAC = \\frac{\\text{łuk } AB}{2} = \\frac{80°}{2} = \\mathbf{40°}\\]\n\n**Skąd pochodzi to twierdzenie?** Można je wyprowadzić z kąta wpisanego: kąt styczno-sieczący zachowuje się jak kąt wpisany w okrąg - oba są równe połowie odpowiedniego łuku.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18-19)**\n\n> **Kąt wpisany = połowa kąta środkowego** (na tym samym łuku):\n> \\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\angle \\text{środkowy}\\]\n> Kąt styczno-sieczący (Sposób 2) jest szczególnym przypadkiem tej zasady - punkt A \"przesuwa się\" na okrąg, a styczna zastępuje drugą cięciwę kąta wpisanego.\n\n**Sposób 1** opiera się wyłącznie na podstawowych własnościach (suma kątów trójkąta = 180°, OA = OB to promienie) - bez dodatkowych wzorów z karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(10°\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{80°}{2} - 30°\\) lub miesza różne kąty; nie ma uzasadnienia geometrycznego |\n| B - \\(30°\\) | Mylenie kąta \\(\\angle BAC\\) z kątem \\(\\angle ABC\\) lub z kątem przy C w trójkącie OAC |\n| D - \\(50°\\) | Uczeń zatrzymuje się na \\(\\angle OAB = 50°\\) i podaje ten kąt jako odpowiedź - zapomina odjąć od 90° |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na \\(50°\\) - to jest kąt \\(\\angle OAB\\), nie \\(\\angle BAC\\). Trzeba jeszcze uwzględnić, że \\(\\angle OAC = 90°\\), więc szukany kąt to \\(90° - 50° = 40°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień do punktu styczności **zawsze** jest prostopadły do stycznej - to kluczowy fakt, bez którego zadanie jest nierozwiązywalne. Warto zapamiętać go jako odruch.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 - kąt styczno-sieczący to **połowa łuku** odciętego po tej samej stronie co C. Łatwo pomylić, który łuk (mniejszy czy większy) bierzemy - zawsze bierzemy ten bezpośrednio odcięty przez cięciwę AB, czyli odpowiadający kątowi środkowemu \\(80°\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt AOC\nProsta \\(k\\) jest styczna w \\(A\\), więc \\(OA \\perp k\\), czyli \\(\\angle OAC = 90°\\).\nW trójkącie \\(AOC\\): \\(\\angle AOC + \\angle OAC + \\angle OCA = 180°\\).\n\\(\\angle AOC = 80°\\) (dany), \\(\\angle OAC = 90°\\), więc \\(\\angle OCA = 10°\\).\nKąt \\(BAC\\) to część kąta prostego \\(OAC\\): \\(\\angle BAC = \\angle OAC - \\angle OAB = 90° - \\angle OAB\\).\nTrójkąt \\(AOB\\) równoramienny (\\(OA = OB\\) - promienie), \\(\\angle AOB = 80°\\), więc \\(\\angle OAB = \\angle OBA = \\tfrac{180° - 80°}{2} = 50°\\).\nStąd \\(\\angle BAC = 90° - 50° = 40°\\).\n\n### Sposób 2 - Suma kątów w ΔABC\n\\(\\angle BCA = 10°\\) (z trójkąta AOC), \\(\\angle ABC = 180° - 50° = 130°\\) (kąt przyległy do \\(\\angle OBA\\)).\nW ΔABC: \\(\\angle BAC = 180° - 10° - 130° = 40°\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D** - błędne zastosowanie własności stycznej lub trójkąta równoramiennego.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie kątów wpisanych i środkowych\n\n1. **Zrozumienie kątów:** Kąt AOB to 80 stopni. Jest to kąt środkowy, który opiera się na łuku AB. Kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku, to połowa kąta środkowego. Zatem, kąt ABC (kąt wpisany) = 80/2 = 40 stopni.\n2. **Kąt BAC:** Kąt BAC jest kątem utworzonym przez cięcie dwóch prostych (prostą k i linię AB) i jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku BC.\n3. **Związek między kątem wpisanym a środkowym:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku.\n\n\\[Karta wzorów: s.15, strona 15\\]\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie własności okręgu i kątów\n\n1. **Kąt środkowy i kąt wpisany:** Kąt środkowy AOB (80 stopni) opiera się na łuku AB. Kąt wpisany ABC jest równy połowie kąta środkowego, czyli 40 stopni.\n2. **Kąt przy tangencie:** Kąt przy tangencie (w tym przypadku kąt BAC) jest równy połowie kąta wpisanego opisanego na tym samym okręgu.\n3. **Wniosek:** Zatem, kąt BAC = 40 stopni.\n\n\\[Karta wzorów: s.19, strona 19\\]\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 10°:** To wartość kąta, który utworzyłby się w okręgu, jeśli AB byłby średnicą. Nie ma związku z podanymi danymi.\n* **B. 30°:** To wartość kąta, która nie ma żadnego logicznego związku z danymi zadania.\n* **D. 50°:** Podobnie jak B, nie ma żadnego związku z danymi zadania.\n\n**Wyjaśnienie krok po kroku:**\n\nZadanie opiera się na własnościach kątów opartych na okręgu. Kluczowe jest zrozumienie związku między kątem środkowym i kątem wpisanym, który opiera się na tym samym łuku. W tym przypadku, kąt środkowy AOB (80 stopni) dzieli się na dwa kąty wpisane, a kąt BAC jest jednym z nich. Zatem, kąt BAC musi być równy połowie kąta środkowego, czyli 40 stopni.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1) (15)<br>Prosta 𝑘 jest styczna w punkcie 𝐴 do okręgu o środku 𝑂. Punkt 𝐵 leży na tym okręgu<br>i miara kąta 𝐴𝑂𝐵 jest równa 80° . Przez punkty 𝑂 i 𝐵 poprowadzono prostą, która przecina<br>prostą 𝑘 w punkcie 𝐶 (zobacz rysunek).<br>Miara kąta 𝐵𝐴𝐶 jest równa<br>A. 10°<br>B. 30°<br>C. 40°<br>D. 50°<br>Rozwiązanie zadania. Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu i miara kąta AOB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek). Miara kąta BAC jest równa A. 10° B. 30° C. 40° D. 50°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>7.2) korzysta z własności stycznej do<br>okręgu.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A: C<br>Wersja B: B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(40°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Trójkąt równoramienny + kąt prosty przy stycznej</h4>\n<p><strong>Krok 1: Kąt przy punkcie styku.</strong></p>\n<p>Promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc:<br>\\[\\angle OAC = 90°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Trójkąt OAB jest równoramienny.</strong></p>\n<p>\\(OA\\) i \\(OB\\) to promienie tego samego okręgu, zatem \\(OA = OB\\). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe:<br>\\[\\angle OAB = \\angle OBA\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczenie kątów przy podstawie.</strong></p>\n<p>Suma kątów w trójkącie OAB:<br>\\[\\angle OAB + \\angle OBA + \\angle AOB = 180°\\]<br>\\[2 \\cdot \\angle OAB + 80° = 180°\\]<br>\\[2 \\cdot \\angle OAB = 100°\\]<br>\\[\\angle OAB = 50°\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Obliczenie kąta BAC.</strong></p>\n<p>Punkt C leży na prostej \\(k\\) po tej samej stronie co B (patrz rysunek - C jest ponad A), więc kąt \\(BAC\\) mieści się w kącie \\(OAC\\):<br>\\[\\angle BAC = \\angle OAC - \\angle OAB = 90° - 50° = \\mathbf{40°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Kąt między styczną a cięciwą (twierdzenie o kącie styczno-sieczącym)</h4>\n<p><strong>Twierdzenie</strong>: Kąt między styczną do okręgu a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności jest równy połowie łuku odciętego przez tę cięciwę.</p>\n<p>Cięciwa \\(AB\\) odcina łuk \\(AB\\), który jest podparty przez kąt środkowy \\(\\angle AOB = 80°\\). Zatem:<br>\\[\\angle BAC = \\frac{\\text{łuk } AB}{2} = \\frac{80°}{2} = \\mathbf{40°}\\]</p>\n<p><strong>Skąd pochodzi to twierdzenie?</strong> Można je wyprowadzić z kąta wpisanego: kąt styczno-sieczący zachowuje się jak kąt wpisany w okrąg - oba są równe połowie odpowiedniego łuku.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 18-19)</strong></p>\n<blockquote><strong>Kąt wpisany = połowa kąta środkowego</strong> (na tym samym łuku):<br>\\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\angle \\text{środkowy}\\]<br>Kąt styczno-sieczący (Sposób 2) jest szczególnym przypadkiem tej zasady - punkt A &quot;przesuwa się&quot; na okrąg, a styczna zastępuje drugą cięciwę kąta wpisanego.</blockquote>\n<p><strong>Sposób 1</strong> opiera się wyłącznie na podstawowych własnościach (suma kątów trójkąta = 180°, OA = OB to promienie) - bez dodatkowych wzorów z karty.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(10°\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{80°}{2} - 30°\\) lub miesza różne kąty; nie ma uzasadnienia geometrycznego |<br>| B - \\(30°\\) | Mylenie kąta \\(\\angle BAC\\) z kątem \\(\\angle ABC\\) lub z kątem przy C w trójkącie OAC |<br>| D - \\(50°\\) | Uczeń zatrzymuje się na \\(\\angle OAB = 50°\\) i podaje ten kąt jako odpowiedź - zapomina odjąć od 90° |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na \\(50°\\) - to jest kąt \\(\\angle OAB\\), nie \\(\\angle BAC\\). Trzeba jeszcze uwzględnić, że \\(\\angle OAC = 90°\\), więc szukany kąt to \\(90° - 50° = 40°\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Promień do punktu styczności <strong>zawsze</strong> jest prostopadły do stycznej - to kluczowy fakt, bez którego zadanie jest nierozwiązywalne. Warto zapamiętać go jako odruch.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 - kąt styczno-sieczący to <strong>połowa łuku</strong> odciętego po tej samej stronie co C. Łatwo pomylić, który łuk (mniejszy czy większy) bierzemy - zawsze bierzemy ten bezpośrednio odcięty przez cięciwę AB, czyli odpowiadający kątowi środkowemu \\(80°\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąt AOC</h5>\n<p>Prosta \\(k\\) jest styczna w \\(A\\), więc \\(OA \\perp k\\), czyli \\(\\angle OAC = 90°\\).<br>W trójkącie \\(AOC\\): \\(\\angle AOC + \\angle OAC + \\angle OCA = 180°\\).<br>\\(\\angle AOC = 80°\\) (dany), \\(\\angle OAC = 90°\\), więc \\(\\angle OCA = 10°\\).<br>Kąt \\(BAC\\) to część kąta prostego \\(OAC\\): \\(\\angle BAC = \\angle OAC - \\angle OAB = 90° - \\angle OAB\\).<br>Trójkąt \\(AOB\\) równoramienny (\\(OA = OB\\) - promienie), \\(\\angle AOB = 80°\\), więc \\(\\angle OAB = \\angle OBA = \\tfrac{180° - 80°}{2} = 50°\\).<br>Stąd \\(\\angle BAC = 90° - 50° = 40°\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Suma kątów w ΔABC</h5>\n<p>\\(\\angle BCA = 10°\\) (z trójkąta AOC), \\(\\angle ABC = 180° - 50° = 130°\\) (kąt przyległy do \\(\\angle OBA\\)).<br>W ΔABC: \\(\\angle BAC = 180° - 10° - 130° = 40°\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B, D</strong> - błędne zastosowanie własności stycznej lub trójkąta równoramiennego.</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie kątów wpisanych i środkowych</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie kątów:</strong> Kąt AOB to 80 stopni. Jest to kąt środkowy, który opiera się na łuku AB. Kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku, to połowa kąta środkowego. Zatem, kąt ABC (kąt wpisany) = 80/2 = 40 stopni.</li><li><strong>Kąt BAC:</strong> Kąt BAC jest kątem utworzonym przez cięcie dwóch prostych (prostą k i linię AB) i jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku BC.</li><li><strong>Związek między kątem wpisanym a środkowym:</strong> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku.</li></ol>\n<p>\\[Karta wzorów: s.15, strona 15\\]</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie własności okręgu i kątów</h5>\n<ol><li><strong>Kąt środkowy i kąt wpisany:</strong> Kąt środkowy AOB (80 stopni) opiera się na łuku AB. Kąt wpisany ABC jest równy połowie kąta środkowego, czyli 40 stopni.</li><li><strong>Kąt przy tangencie:</strong> Kąt przy tangencie (w tym przypadku kąt BAC) jest równy połowie kąta wpisanego opisanego na tym samym okręgu.</li><li><strong>Wniosek:</strong> Zatem, kąt BAC = 40 stopni.</li></ol>\n<p>\\[Karta wzorów: s.19, strona 19\\]</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 10°:</strong> To wartość kąta, który utworzyłby się w okręgu, jeśli AB byłby średnicą. Nie ma związku z podanymi danymi.</li><li><strong>B. 30°:</strong> To wartość kąta, która nie ma żadnego logicznego związku z danymi zadania.</li><li><strong>D. 50°:</strong> Podobnie jak B, nie ma żadnego związku z danymi zadania.</li></ul>\n<p><strong>Wyjaśnienie krok po kroku:</strong></p>\n<p>Zadanie opiera się na własnościach kątów opartych na okręgu. Kluczowe jest zrozumienie związku między kątem środkowym i kątem wpisanym, który opiera się na tym samym łuku. W tym przypadku, kąt środkowy AOB (80 stopni) dzieli się na dwa kąty wpisane, a kąt BAC jest jednym z nich. Zatem, kąt BAC musi być równy połowie kąta środkowego, czyli 40 stopni.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, trójkąt $BAO$ jest równoramienny, stąd $|\\sphericalangle OAB|=50^{\\circ}$. Zatem $|\\sphericalangle BAC|=90^\\circ-50^\\circ=40^\\circ$.</p>"}]}