{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1) (16)\nPrzyprostokątna 𝐴𝐶 trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶 ma długość 8 oraz tg 𝛼= 2\n5 (zobacz\nrysunek).\nPole tego trójkąta jest równe\nA. 12\nB. 37\n3\nC. 62\n5\nD. 64\n5\n8\n𝐵\n𝐴\n𝐶\n𝛼\n80°\n𝑘\n𝑂\n𝐵\n𝐴\n𝐶\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz tgα = 2/5 (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe A. 12 B. 37/3 C. 62/5 D. 64/5.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: D\nWersja B: D","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{64}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - tangens kąta do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej\n\n**Ustalamy układ trójkąta.** Kąt prosty jest przy wierzchołku \\(A\\), kąt \\(\\alpha\\) - przy wierzchołku \\(C\\). Dana przyprostokątna \\(AC = 8\\) jest **przyległa** do kąta \\(\\alpha\\).\n\n**Wyznaczamy drugą przyprostokątną \\(AB\\)** (naprzeciwległą do \\(\\alpha\\)):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{AB}{AC}\\]\n\n\\[\\frac{2}{5} = \\frac{AB}{8}\\]\n\n\\[AB = 8 \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{16}{5}\\]\n\n**Obliczamy pole trójkąta** (dwie przyprostokątne to podstawa i wysokość):\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot AC \\cdot AB = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot \\frac{16}{5} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{128}{5} = \\boxed{\\dfrac{64}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - stosunek boków z definicji tangensa\n\nSkoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{2}{5}\\), to naprzeciwległa do \\(\\alpha\\) przyprostokątna i przyległa są w stosunku \\(2 : 5\\).\n\nZapisujemy:\n\\[AB = 2k, \\quad AC = 5k\\]\n\nZ warunku \\(AC = 8\\):\n\\[5k = 8 \\implies k = \\frac{8}{5}\\]\n\nZatem \\(AB = 2k = \\dfrac{16}{5}\\).\n\nPole trójkąta prostokątnego:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot AC \\cdot AB = \\frac{1}{2} \\cdot 5k \\cdot 2k = 5k^2 = 5 \\cdot \\left(\\frac{8}{5}\\right)^2 = 5 \\cdot \\frac{64}{25} = \\frac{64}{5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwległy}}{\\text{bok przyległy}}\\]\nUżyliśmy tego wzoru, żeby wyznaczyć \\(AB\\) z danego \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{2}{5}\\) i \\(AC = 8\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nW trójkącie prostokątnym dwie przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** (\\(12\\)) | Pomylenie stron: wzięcie \\(AC = 8\\) jako **naprzeciwległej** do \\(\\alpha\\) zamiast przyległej → \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{8}{BC} = \\frac{2}{5}\\), \\(BC = 20\\), pole \\(= \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot \\text{?}\\) lub błąd z innym ustawieniem kątów |\n| **B** (\\(\\frac{37}{3}\\)) | Błąd arytmetyczny przy mnożeniu ułamków lub pomylenie działań na ułamkach |\n| **C** (\\(\\frac{62}{5}\\)) | Użycie **przeciwprostokątnej** \\(BC\\) zamiast obydwu przyprostokątnych w formule pola, np. \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot BC \\cdot h\\) gdzie \\(h\\) obliczono błędnie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) jest przy wierzchołku \\(C\\), więc to \\(AC\\) jest **przyległa**, a \\(AB\\) - **naprzeciwległa**. Zamiana stron odwraca tangensa i daje zupełnie inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest przy \\(A\\) - zatem \\(AC\\) i \\(AB\\) to przyprostokątne (podstawa i wysokość), a \\(BC\\) to przeciwprostokątna. Pole liczymy **wyłącznie** z przyprostokątnych, nie z \\(BC\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o dzieleniu przez \\(2\\) w polu trójkąta! Błąd \\(P = AC \\cdot AB = \\frac{128}{5}\\) (bez jedynki nad dwójką) jest tu bardzo typowy.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Definicja tangensa\nW trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) kąt \\(\\alpha\\) jest przy \\(A\\), kąt prosty przy \\(C\\), \\(AC = 8\\), \\(BC\\) - druga przyprostokątna.\n\\(\\tg\\alpha = \\dfrac{BC}{AC} = \\dfrac{BC}{8} = \\dfrac{2}{5}\\).\nStąd \\(BC = \\dfrac{16}{5}\\).\n\nPole: \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot AC \\cdot BC = \\dfrac{1}{2}\\cdot 8 \\cdot \\dfrac{16}{5} = \\dfrac{64}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(12\\)** - błędne \\(BC = 3\\) (złe użycie \\(\\tg\\)).\n- **B. \\(\\tfrac{37}{3}\\), C. \\(\\tfrac{62}{5}\\)** - błędy arytmetyczne.\n\n**Zasada:** \\(\\tg\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna (do kąta)}}{\\text{przyprostokątna (do kąta)}}\\). Uwaga: tu pole nie wymaga przeciwprostokątnej.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie tangensa i trójkąta prostokątnego\nW trójkącie prostokątnym ABC, gdzie kąt α jest przyprostokątnej AC, mamy tg α = przeciwległa/przyprostokątna. Zatem tg α = BC/AC. Wiemy, że tg α = 2/5 i AC = 8. Zatem:\n\nBC = (2/5) * 8 = 16/5 = 3.2\n\nTeraz możemy obliczyć pole trójkąta ABC, korzystając ze wzoru:\nPole = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 8 * 3.2 = 4 * 3.2 = 12.8\n\nPonieważ pole trójkąta jest równe, to wynik powinien być liczbą całkowitą, a 12.8 jest blisko 12, więc odpowiedź D jest najbardziej prawdopodobna. Można też zaokrąglić 3.2 do 3, wtedy pole wyniesie (1/2)*8*3=12.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójkąta, strona 15\n\n### Sposób 2: Obliczenie przeciwprostokątnej\nKorzystamy z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym:\ntg α = (przeciwległa przyprostokątna) / (przyprostokątna)\ntg α = BC / AC\nZatem BC = AC * tg α = 8 * (2/5) = 16/5 = 3.2\n\nTeraz możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej AB, korzystając z twierdzenia Pitagorowego:\nAB² = AC² + BC² = 8² + (16/5)² = 64 + 256/25 = (64 * 25 + 256) / 25 = (1600 + 256) / 25 = 1856 / 25 = 74.24\nAB = √1856/5 = 27.28\n\nPole trójkąta ABC = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 8 * 3.2 = 12.8\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójkąta, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 12:** Wynik jest nieprecyzyjny, a obliczenia są niekompletne.\n* **B. [37]:** To jest nieprawidłowe, ponieważ nie ma tu zastosowania żadnych wzorów z karty wzorów, które prowadziłyby do tego wyniku.\n* **C. [62]:** To jest nieprawidłowe, ponieważ nie ma tu zastosowania żadnych wzorów z karty wzorów, które prowadziłyby do tego wyniku.\n\nWyjaśnienie: W zadaniu podano długość przyprostokątnej AC i wartość tangensa kąta α. Musimy obliczyć pole trójkąta ABC, które jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych AC i BC. Użyliśmy definicji tangensa, aby znaleźć długość przeciwprostokątnej BC, a następnie obliczyliśmy pole trójkąta. Ponieważ pole trójkąta jest równe 12.8, a odpowiedź D jest najbliżej tego wyniku, to jest to prawidłowa odpowiedź.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1) (16)<br>Przyprostokątna 𝐴𝐶 trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶 ma długość 8 oraz tg 𝛼= 2<br>5 (zobacz<br>rysunek).<br>Pole tego trójkąta jest równe<br>A. 12<br>B. 37<br>3<br>C. 62<br>5<br>D. 64<br>5<br>8<br>𝐵<br>𝐴<br>𝐶<br>𝛼<br>80°<br>𝑘<br>𝑂<br>𝐵<br>𝐴<br>𝐶</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz tgα = 2/5 (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe A. 12 B. 37/3 C. 62/5 D. 64/5.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>7.4) korzysta z własności funkcji<br>trygonometrycznych w łatwych<br>obliczeniach geometrycznych […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A: D<br>Wersja B: D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{64}{5}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - tangens kąta do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej</h4>\n<p><strong>Ustalamy układ trójkąta.</strong> Kąt prosty jest przy wierzchołku \\(A\\), kąt \\(\\alpha\\) - przy wierzchołku \\(C\\). Dana przyprostokątna \\(AC = 8\\) jest <strong>przyległa</strong> do kąta \\(\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Wyznaczamy drugą przyprostokątną \\(AB\\)</strong> (naprzeciwległą do \\(\\alpha\\)):</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{AB}{AC}\\]</p>\n<p>\\[\\frac{2}{5} = \\frac{AB}{8}\\]</p>\n<p>\\[AB = 8 \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{16}{5}\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy pole trójkąta</strong> (dwie przyprostokątne to podstawa i wysokość):</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot AC \\cdot AB = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot \\frac{16}{5} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{128}{5} = \\boxed{\\dfrac{64}{5}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - stosunek boków z definicji tangensa</h4>\n<p>Skoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{2}{5}\\), to naprzeciwległa do \\(\\alpha\\) przyprostokątna i przyległa są w stosunku \\(2 : 5\\).</p>\n<p>Zapisujemy:<br>\\[AB = 2k, \\quad AC = 5k\\]</p>\n<p>Z warunku \\(AC = 8\\):<br>\\[5k = 8 \\implies k = \\frac{8}{5}\\]</p>\n<p>Zatem \\(AB = 2k = \\dfrac{16}{5}\\).</p>\n<p>Pole trójkąta prostokątnego:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot AC \\cdot AB = \\frac{1}{2} \\cdot 5k \\cdot 2k = 5k^2 = 5 \\cdot \\left(\\frac{8}{5}\\right)^2 = 5 \\cdot \\frac{64}{25} = \\frac{64}{5}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwległy}}{\\text{bok przyległy}}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru, żeby wyznaczyć \\(AB\\) z danego \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{2}{5}\\) i \\(AC = 8\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - pole trójkąta:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]<br>W trójkącie prostokątnym dwie przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> (\\(12\\)) | Pomylenie stron: wzięcie \\(AC = 8\\) jako <strong>naprzeciwległej</strong> do \\(\\alpha\\) zamiast przyległej → \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{8}{BC} = \\frac{2}{5}\\), \\(BC = 20\\), pole \\(= \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot \\text{?}\\) lub błąd z innym ustawieniem kątów |<br>| <strong>B</strong> (\\(\\frac{37}{3}\\)) | Błąd arytmetyczny przy mnożeniu ułamków lub pomylenie działań na ułamkach |<br>| <strong>C</strong> (\\(\\frac{62}{5}\\)) | Użycie <strong>przeciwprostokątnej</strong> \\(BC\\) zamiast obydwu przyprostokątnych w formule pola, np. \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot BC \\cdot h\\) gdzie \\(h\\) obliczono błędnie |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(\\alpha\\) jest przy wierzchołku \\(C\\), więc to \\(AC\\) jest <strong>przyległa</strong>, a \\(AB\\) - <strong>naprzeciwległa</strong>. Zamiana stron odwraca tangensa i daje zupełnie inny wynik.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt prosty jest przy \\(A\\) - zatem \\(AC\\) i \\(AB\\) to przyprostokątne (podstawa i wysokość), a \\(BC\\) to przeciwprostokątna. Pole liczymy <strong>wyłącznie</strong> z przyprostokątnych, nie z \\(BC\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zapomnij o dzieleniu przez \\(2\\) w polu trójkąta! Błąd \\(P = AC \\cdot AB = \\frac{128}{5}\\) (bez jedynki nad dwójką) jest tu bardzo typowy.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Definicja tangensa</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) kąt \\(\\alpha\\) jest przy \\(A\\), kąt prosty przy \\(C\\), \\(AC = 8\\), \\(BC\\) - druga przyprostokątna.<br>\\(\\tg\\alpha = \\dfrac{BC}{AC} = \\dfrac{BC}{8} = \\dfrac{2}{5}\\).<br>Stąd \\(BC = \\dfrac{16}{5}\\).</p>\n<p>Pole: \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot AC \\cdot BC = \\dfrac{1}{2}\\cdot 8 \\cdot \\dfrac{16}{5} = \\dfrac{64}{5}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(12\\)</strong> - błędne \\(BC = 3\\) (złe użycie \\(\\tg\\)).</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{37}{3}\\), C. \\(\\tfrac{62}{5}\\)</strong> - błędy arytmetyczne.</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> \\(\\tg\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna (do kąta)}}{\\text{przyprostokątna (do kąta)}}\\). Uwaga: tu pole nie wymaga przeciwprostokątnej.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie tangensa i trójkąta prostokątnego</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym ABC, gdzie kąt α jest przyprostokątnej AC, mamy tg α = przeciwległa/przyprostokątna. Zatem tg α = BC/AC. Wiemy, że tg α = 2/5 i AC = 8. Zatem:</p>\n<p>BC = (2/5) * 8 = 16/5 = 3.2</p>\n<p>Teraz możemy obliczyć pole trójkąta ABC, korzystając ze wzoru:<br>Pole = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 8 * 3.2 = 4 * 3.2 = 12.8</p>\n<p>Ponieważ pole trójkąta jest równe, to wynik powinien być liczbą całkowitą, a 12.8 jest blisko 12, więc odpowiedź D jest najbardziej prawdopodobna. Można też zaokrąglić 3.2 do 3, wtedy pole wyniesie (1/2)<em>8</em>3=12.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójkąta, strona 15</p>\n<h5>Sposób 2: Obliczenie przeciwprostokątnej</h5>\n<p>Korzystamy z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym:<br>tg α = (przeciwległa przyprostokątna) / (przyprostokątna)<br>tg α = BC / AC<br>Zatem BC = AC * tg α = 8 * (2/5) = 16/5 = 3.2</p>\n<p>Teraz możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej AB, korzystając z twierdzenia Pitagorowego:<br>AB² = AC² + BC² = 8² + (16/5)² = 64 + 256/25 = (64 * 25 + 256) / 25 = (1600 + 256) / 25 = 1856 / 25 = 74.24<br>AB = √1856/5 = 27.28</p>\n<p>Pole trójkąta ABC = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 8 * 3.2 = 12.8</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójkąta, strona 15</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 12:</strong> Wynik jest nieprecyzyjny, a obliczenia są niekompletne.</li><li><strong>B. [37]:</strong> To jest nieprawidłowe, ponieważ nie ma tu zastosowania żadnych wzorów z karty wzorów, które prowadziłyby do tego wyniku.</li><li><strong>C. [62]:</strong> To jest nieprawidłowe, ponieważ nie ma tu zastosowania żadnych wzorów z karty wzorów, które prowadziłyby do tego wyniku.</li></ul>\n<p>Wyjaśnienie: W zadaniu podano długość przyprostokątnej AC i wartość tangensa kąta α. Musimy obliczyć pole trójkąta ABC, które jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych AC i BC. Użyliśmy definicji tangensa, aby znaleźć długość przeciwprostokątnej BC, a następnie obliczyliśmy pole trójkąta. Ponieważ pole trójkąta jest równe 12.8, a odpowiedź D jest najbliżej tego wyniku, to jest to prawidłowa odpowiedź.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, skoro $\\displaystyle\\tg\\alpha={\\small\\frac{2}{5}}$ to wtedy $\\displaystyle|BC|={\\small\\frac{16}{5}}$. Zatem $\\displaystyle P={\\small\\frac{1}{2}}\\cdot8\\cdot{\\small\\frac{16}{5}}={\\small\\frac{64}{5}}$.</p>"}]}