Zadanie 19. (0-1) (17)
Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe 4ඥ3
9 . Obwód tego trójkąta jest równy
A. 4
B. 2
C. 4
3
D. 2
3
Rozwiązanie zadania. Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz tgα = 2/5 (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe A. 12 B. 37/3 C. 62/5 D. 64/5.
Zadanie 19. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
G10.9) oblicza pola i obwody trójkątów
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A: A
Wersja B: C
Znamy pole, szukamy boku, potem liczymy obwód.
\nNiech bok trójkąta równobocznego ma długość \\(a\\). Z karty wzorów CKE:
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Wstawiamy dane:
\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{4\\sqrt{3}}{9}\\]
Mnożymy obie strony przez \\(4\\):
\\[a^2\\sqrt{3} = \\frac{16\\sqrt{3}}{9}\\]
Dzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\):
\\[a^2 = \\frac{16}{9}\\]
Pierwiastkujemy (szukamy długości, więc \\(a > 0\\)):
\\[a = \\frac{4}{3}\\]
Obwód trójkąta równobocznego to suma trzech równych boków:
\\[Ob = 3a = 3 \\cdot \\frac{4}{3} = \\mathbf{4}\\]
Inaczej: wyrażamy pole przez wysokość i sprawdzamy wynik.
\nW trójkącie równobocznym o boku \\(a\\) wysokość wynosi \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\), więc:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
To ten sam wzór, więc dochodzimy do tego samego równania. Zamiast tego zróbmy weryfikację:
\nMamy \\(a = \\frac{4}{3}\\). Sprawdźmy, czy pole rzeczywiście wynosi \\(\\frac{4\\sqrt{3}}{9}\\):
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{\\left(\\frac{4}{3}\\right)^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{\\frac{16}{9} \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{16\\sqrt{3}}{9 \\cdot 4} = \\frac{16\\sqrt{3}}{36} = \\frac{4\\sqrt{3}}{9} \\checkmark\\]
Wynik się zgadza, zatem obwód \\(= 3 \\cdot \\frac{4}{3} = \\mathbf{4}\\). Odpowiedź A poprawna.
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio, by wyznaczyć bok \\(a\\) z danego pola.
| Odp. | Typowy błąd |
| B. \\(2\\) | Policzono sam bok \\(a\\), zamiast zapomnieć o mnożeniu przez 3: \\(a = \\frac{4}{3}\\), ale uczeń liczy \\(\\frac{4}{3} \\cdot \\frac{3}{2} = 2\\) - pomyłka przy wyciąganiu pierwiastka lub dzieleniu |
| C. \\(\\frac{4}{3}\\) | Zatrzymano się na wyznaczeniu boku \\(a = \\frac{4}{3}\\) i uznano, że to już obwód - zapomniano pomnożyć przez 3 |
| D. \\(\\frac{2}{3}\\) | Błąd przy pierwiastkowaniu: \\(\\sqrt{\\frac{16}{9}} = \\frac{4}{3}\\), ale uczeń oblicza \\(\\frac{4}{9}\\) lub \\(\\frac{2}{3}\\), nie pamiętając, że \\(\\sqrt{\\frac{16}{9}} = \\frac{\\sqrt{16}}{\\sqrt{9}} = \\frac{4}{3}\\) |
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zapomnienie, że obwód = \\(3a\\). Po wyznaczeniu boku wielu uczniów kończy obliczenia - pamiętaj, że zadanie pyta o obwód, nie o bok!\n
⚠️ Uwaga: Przy pierwiastkowaniu ułamka stosuj zasadę \\(\\sqrt{\\frac{p}{q}} = \\frac{\\sqrt{p}}{\\sqrt{q}}\\). Nie próbuj "uprościć" przed pierwiastkowaniem na skróty - łatwo o błąd z \\(\\frac{16}{9}\\).\n
⚠️ Uwaga: Wzór na pole trójkąta równobocznego \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) jest na karcie wzorów CKE - nie musisz go wyprowadzać, po prostu go znajdź i zastosuj!\n
Poprawna odpowiedź: A
\nPole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(P = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).
\\(\\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{9} \\Rightarrow a^2 = \\dfrac{16}{9} \\Rightarrow a = \\dfrac{4}{3}\\).
Obwód: \\(3a = 3\\cdot \\dfrac{4}{3} = 4\\).
Zasada: \\(P = \\dfrac{a^2\\sqrt 3}{4}\\), \\(L = 3a\\) dla trójkąta równobocznego.
\nPoprawna odpowiedź: A
\n\\(a^2 = \\frac{36}{\\sqrt{3}} = \\frac{36\\sqrt{3}}{3} = 12\\sqrt{3}\\)
\\(a = \\sqrt{12\\sqrt{3}} = \\sqrt{4 \\cdot 3\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{3\\sqrt{3}}\\)
Zatem, \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\)
\\(a^2\\sqrt{3} = 36\\)
\\(a^2 = \\frac{36}{\\sqrt{3}} = \\frac{36\\sqrt{3}}{3} = 12\\sqrt{3}\\)
\\(a = \\sqrt{12\\sqrt{3}}\\)
Obwód \\(O = 3a = 3\\sqrt{12\\sqrt{3}} \\approx 10.39\\)
To nie jest 4, 2, ani 9. W zadaniu jest błąd. Zatem, jeżeli pole trójkąta równobocznego jest równe \\(r^4 = 9\\), to obwód tego trójkąta jest równy 9. Wtedy \\(a = \\sqrt{12\\sqrt{3}}\\) i \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{12\\sqrt{3}\\sqrt{3}}{4} = \\frac{36}{4} = 9\\). Obwód \\(O = 3a = 3\\sqrt{12\\sqrt{3}} \\approx 10.39 \\neq 9\\).
\nBłąd w zadaniu! Zadanie jest źle sformułowane. Jeśli pole trójkąta równobocznego jest równe 9, to obwód nie jest równy 9.
\n📖 Karta wzorów: Pole trójkąta, strona 15
\n\\(a^2 = \\frac{36}{\\sqrt{3}} = 12\\sqrt{3}\\)
\\(a = \\sqrt{12\\sqrt{3}}\\)
To nie jest 4, 2, ani 9. Zatem, jeżeli pole trójkąta równobocznego jest równe \\(r^4 = 9\\), to obwód tego trójkąta jest równy \\(3\\sqrt{12\\sqrt{3}}\\).
\n📖 Karta wzorów: Pole trójkąta, strona 15
\nZadanie jest źle sformułowane, ponieważ podane pole trójkąta równobocznego (9) nie daje obwodu równego 9.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"$$ P = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4} $$
\n$$ \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{4\\sqrt{3}}{9} $$
\n$$ a^2 \\sqrt{3} = \\frac{16\\sqrt{3}}{9} $$
\n$$ a^2 = \\frac{16}{9} $$
\n$$ a = \\sqrt{\\frac{16}{9}} = \\frac{4}{3} $$
\n$$ O = 3a $$
\n$$ O = 3 \\cdot \\frac{4}{3} $$
\n$$ O = 4 $$
\nOdpowiedź: Obwód trójkąta wynosi 4.
"}]}