{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba 78 stanowi 150% liczby 𝑐. Wtedy liczba 𝑐 jest równa\nA. 60\nB. 52\nC. 48\nD. 39\nRozwiązanie zadania. Liczba 78 stanowi 150% liczby c. Wtedy liczba c jest równa A. 60 B. 52 C. 48 D. 39","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.8) wykonuje obliczenia procentowe […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: B\nWersja B: C\n1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych\nrozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku\nz zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(c = 52\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie procentowe\n\n**Co wiemy:** \\(78\\) to \\(150\\%\\) liczby \\(c\\). Szukamy \\(c\\).\n\nZapisujemy to jako równanie:\n\n\\[150\\% \\cdot c = 78\\]\n\n\\[\\frac{150}{100} \\cdot c = 78\\]\n\n\\[\\frac{3}{2} \\cdot c = 78\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\frac{3}{2}\\) (czyli mnożymy przez \\(\\frac{2}{3}\\)):\n\n\\[c = 78 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{156}{3} = \\mathbf{52}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda proporcji / przez 1%\n\nSkoro \\(150\\% = 78\\), to obliczamy ile wynosi \\(1\\%\\):\n\n\\[1\\% = \\frac{78}{150} = \\frac{78}{150} = 0{,}52\\]\n\nTeraz \\(100\\%\\) (czyli cała liczba \\(c\\)):\n\n\\[c = 100\\% = 100 \\cdot 0{,}52 = \\mathbf{52}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania na ułamkach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(60\\) | Uczeń liczy \\(78 \\cdot \\frac{100}{130}\\) lub odejmuje \"z grubsza\" \\(78 - 18\\); nie trzyma się definicji 150% |\n| C - \\(48\\) | Uczeń liczy \\(78 \\cdot \\frac{3}{5}\\) lub myli \\(150\\%\\) z \\(\\frac{3}{2}\\) i dzieli przez \\(\\frac{2}{3}\\) niepoprawnie |\n| D - \\(39\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{78}{2} = 39\\), jakby \\(78\\) stanowiło \\(200\\%\\) zamiast \\(150\\%\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek: \"78 stanowi 150% liczby \\(c\\)\" znaczy, że \\(c < 78\\). Jeśli wychodzi Ci wynik większy niż 78 - popełniłeś błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mnóż 78 przez \\(\\frac{150}{100}\\) - to dałoby 117. Musisz PODZIELIĆ przez \\(1{,}5\\), bo szukasz liczby bazowej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(150\\% = \\frac{3}{2}\\), więc \\(\\frac{c}{\\frac{3}{2}} = \\frac{2c}{3}\\) - pamiętaj o poprawnym dzieleniu przez ułamek (mnożysz przez odwrotność).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Równanie\n\\(150\\% \\cdot c = 78\\)\n\\(1{,}5 c = 78\\)\n\\(c = \\dfrac{78}{1{,}5} = 52\\).\n\n### Sposób 2 - Przez ułamek\n\\(150\\% = \\dfrac{3}{2}\\), więc \\(\\dfrac{3}{2}c = 78 \\Rightarrow c = \\dfrac{2\\cdot 78}{3} = \\dfrac{156}{3} = 52\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(60\\)** - ktoś odjął \\(30\\%\\) od 78: \\(78\\cdot 0{,}7 \\approx 54\\) (nie pasuje, przeszacowanie).\n- **C. \\(48\\)** - błędne dzielenie.\n- **D. \\(39\\)** - połowa 78, jakby \\(200\\%\\) zamiast \\(150\\%\\).\n\n**Zasada:** \\(p\\%\\cdot c = x \\Rightarrow c = \\dfrac{x}{p\\%}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie proporcji\n1. **Zrozumienie zadania:** Liczba 78 stanowi 150% liczby *c*. Oznacza to, że 78 to 1,5 razy wartość *c*.\n2. **Przekształcenie proporcji:** Możemy to zapisać jako równanie: 78 = 1.5 * *c*\n3. **Obliczenie *c*:** Aby wyznaczyć *c*, dzielimy obie strony równania przez 1.5:\n*c* = 78 / 1.5 = 52\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 1\n(Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji procentu\n1. **Definicja procentu:** Procent to ułamek zapisany jako ułamek dziesiętny. 150% to 1.5.\n2. **Ułożenie równania:** Zatem 78 to 150% z *c*. Możemy to zapisać jako: 78 = 1.5 * *c*\n3. **Obliczenie *c*:** Podobnie jak w poprzednim sposobie, dzielimy obie strony przez 1.5:\n*c* = 78 / 1.5 = 52\n\n📖 Karta wzorów: s.10, strona 10\n(Procent składany: Kₙ=K₀·(1+p/100)ⁿ) - choć tutaj używamy go w nieco innej formie, podstawowym konceptem jest obliczanie wartości po dodaniu procentu.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 60:** 1.5 * 60 = 90, co nie jest równe 78.\n* **C. 48:** 1.5 * 48 = 72, co również nie jest równe 78.\n* **D. 39:** 1.5 * 39 = 58.5, co nie jest równe 78.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Liczba 78 stanowi 150% liczby 𝑐. Wtedy liczba 𝑐 jest równa<br>A. 60<br>B. 52<br>C. 48<br>D. 39<br>Rozwiązanie zadania. Liczba 78 stanowi 150% liczby c. Wtedy liczba c jest równa A. 60 B. 52 C. 48 D. 39</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>1.8) wykonuje obliczenia procentowe […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A: B<br>Wersja B: C<br>1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych<br>rozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku<br>z zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(c = 52\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Równanie procentowe</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong> \\(78\\) to \\(150\\%\\) liczby \\(c\\). Szukamy \\(c\\).</p>\n<p>Zapisujemy to jako równanie:</p>\n<p>\\[150\\% \\cdot c = 78\\]</p>\n<p>\\[\\frac{150}{100} \\cdot c = 78\\]</p>\n<p>\\[\\frac{3}{2} \\cdot c = 78\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(\\frac{3}{2}\\) (czyli mnożymy przez \\(\\frac{2}{3}\\)):</p>\n<p>\\[c = 78 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{156}{3} = \\mathbf{52}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Metoda proporcji / przez 1%</h4>\n<p>Skoro \\(150\\% = 78\\), to obliczamy ile wynosi \\(1\\%\\):</p>\n<p>\\[1\\% = \\frac{78}{150} = \\frac{78}{150} = 0{,}52\\]</p>\n<p>Teraz \\(100\\%\\) (czyli cała liczba \\(c\\)):</p>\n<p>\\[c = 100\\% = 100 \\cdot 0{,}52 = \\mathbf{52}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania na ułamkach.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(60\\) | Uczeń liczy \\(78 \\cdot \\frac{100}{130}\\) lub odejmuje &quot;z grubsza&quot; \\(78 - 18\\); nie trzyma się definicji 150% |<br>| C - \\(48\\) | Uczeń liczy \\(78 \\cdot \\frac{3}{5}\\) lub myli \\(150\\%\\) z \\(\\frac{3}{2}\\) i dzieli przez \\(\\frac{2}{3}\\) niepoprawnie |<br>| D - \\(39\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{78}{2} = 39\\), jakby \\(78\\) stanowiło \\(200\\%\\) zamiast \\(150\\%\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić kierunek: &quot;78 stanowi 150% liczby \\(c\\)&quot; znaczy, że \\(c &lt; 78\\). Jeśli wychodzi Ci wynik większy niż 78 - popełniłeś błąd!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mnóż 78 przez \\(\\frac{150}{100}\\) - to dałoby 117. Musisz PODZIELIĆ przez \\(1{,}5\\), bo szukasz liczby bazowej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(150\\% = \\frac{3}{2}\\), więc \\(\\frac{c}{\\frac{3}{2}} = \\frac{2c}{3}\\) - pamiętaj o poprawnym dzieleniu przez ułamek (mnożysz przez odwrotność).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Równanie</h5>\n<p>\\(150\\% \\cdot c = 78\\)<br>\\(1{,}5 c = 78\\)<br>\\(c = \\dfrac{78}{1{,}5} = 52\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez ułamek</h5>\n<p>\\(150\\% = \\dfrac{3}{2}\\), więc \\(\\dfrac{3}{2}c = 78 \\Rightarrow c = \\dfrac{2\\cdot 78}{3} = \\dfrac{156}{3} = 52\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(60\\)</strong> - ktoś odjął \\(30\\%\\) od 78: \\(78\\cdot 0{,}7 \\approx 54\\) (nie pasuje, przeszacowanie).</li><li><strong>C. \\(48\\)</strong> - błędne dzielenie.</li><li><strong>D. \\(39\\)</strong> - połowa 78, jakby \\(200\\%\\) zamiast \\(150\\%\\).</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> \\(p\\%\\cdot c = x \\Rightarrow c = \\dfrac{x}{p\\%}\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie proporcji</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie zadania:</strong> Liczba 78 stanowi 150% liczby <em>c</em>. Oznacza to, że 78 to 1,5 razy wartość <em>c</em>.</li><li><strong>Przekształcenie proporcji:</strong> Możemy to zapisać jako równanie: 78 = 1.5 * <em>c</em></li><li><strong>Obliczenie <em>c</em>:</strong> Aby wyznaczyć <em>c</em>, dzielimy obie strony równania przez 1.5:</li></ol>\n<p><em>c</em> = 78 / 1.5 = 52</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, strona 1<br>(Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie definicji procentu</h5>\n<ol><li><strong>Definicja procentu:</strong> Procent to ułamek zapisany jako ułamek dziesiętny. 150% to 1.5.</li><li><strong>Ułożenie równania:</strong> Zatem 78 to 150% z <em>c</em>. Możemy to zapisać jako: 78 = 1.5 * <em>c</em></li><li><strong>Obliczenie <em>c</em>:</strong> Podobnie jak w poprzednim sposobie, dzielimy obie strony przez 1.5:</li></ol>\n<p><em>c</em> = 78 / 1.5 = 52</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.10, strona 10<br>(Procent składany: Kₙ=K₀·(1+p/100)ⁿ) - choć tutaj używamy go w nieco innej formie, podstawowym konceptem jest obliczanie wartości po dodaniu procentu.</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 60:</strong> 1.5 * 60 = 90, co nie jest równe 78.</li><li><strong>C. 48:</strong> 1.5 * 48 = 72, co również nie jest równe 78.</li><li><strong>D. 39:</strong> 1.5 * 39 = 58.5, co nie jest równe 78.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisu, że liczba 78 stanowi 150\\% liczby $c$. Możemy to zapisać matematycznie jako: $$78 = 150\\% \\cdot c$$</li></ol>\n<ol><li>Przekształcamy 150\\% na postać ułamkową. Skoro 100\\% to 1, to 150\\% można zapisać jako: $$150\\% = \\frac{150}{100} = 1.5$$</li></ol>\n<ol><li>Podstawiamy to wyrażenie do równania: $$78 = 1.5 \\cdot c$$</li></ol>\n<ol><li>Teraz, aby znaleźć $c$, musimy podzielić obie strony równania przez 1.5. Zapisujemy to: $$c = \\frac{78}{1.5}$$</li></ol>\n<ol><li>Obliczamy wartość $c$. Zaczynamy od przekształcenia liczby 78 do bardziej dogodnej formy: $$c = \\frac{78}{1.5} = \\frac{78 \\cdot 10}{15}$$</li></ol>\n<ol><li>Uprościmy podzielną liczbę: $$c = \\frac{780}{15}$$</li></ol>\n<ol><li>Teraz wykonujemy dzielenie: $$780 \\div 15 = 52$$</li></ol>\n<ol><li>Ostatecznie wartość liczby $c$ wynosi 52.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> $52$</p>"}]}