{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1) (18)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 bok 𝐵𝐶 ma długość 13, a wysokość\n𝐶𝐷 tego trójkąta dzieli bok 𝐴𝐵 na odcinki o długościach\n|𝐴𝐷| = 3 i |𝐵𝐷| = 12 (zobacz rysunek obok). Długość\nboku 𝐴𝐶 jest równa\nA. √34\nB. 13\n4\nC. 2√14\nD. 3√45\nRozwiązanie zadania. Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz tgα = 2/5 (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe A. 12 B. 37/3 C. 62/5 D. 64/5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązanie\nWersja A: A\nWersja B: B","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{34}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w dwóch trójkątach prostokątnych\n\nPonieważ \\(CD\\) jest **wysokością** trójkąta \\(ABC\\), kąt przy \\(D\\) jest prosty: \\(\\angle CDB = \\angle CDA = 90°\\).\n\nMamy dwa trójkąty prostokątne: \\(CDA\\) i \\(CDB\\).\n\n**Krok 1 - znajdź \\(CD\\) z trójkąta \\(CDB\\)**\n\nW trójkącie \\(CDB\\): \\(|BC| = 13\\), \\(|BD| = 12\\), kąt przy \\(D\\) prosty.\n\n\\[|CD|^2 + |BD|^2 = |BC|^2\\]\n\\[|CD|^2 + 144 = 169\\]\n\\[|CD|^2 = 25\\]\n\\[|CD| = 5\\]\n\n**Krok 2 - znajdź \\(AC\\) z trójkąta \\(CDA\\)**\n\nW trójkącie \\(CDA\\): \\(|AD| = 3\\), \\(|CD| = 5\\), kąt przy \\(D\\) prosty.\n\n\\[|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 = 9 + 25 = 34\\]\n\\[\\boxed{|AC| = \\sqrt{34}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ współrzędnych\n\nUmieść punkt \\(D\\) w początku układu. Wtedy:\n- \\(A = (-3,\\ 0)\\)\n- \\(B = (12,\\ 0)\\)\n- \\(C = (0,\\ h)\\), gdzie \\(h > 0\\) (wysokość)\n\nZ warunku \\(|BC| = 13\\):\n\\[|BC|^2 = 12^2 + h^2 = 144 + h^2 = 169 \\implies h = 5\\]\n\nStąd \\(C = (0, 5)\\). Odległość \\(AC\\):\n\\[|AC| = \\sqrt{(0-(-3))^2 + (5-0)^2} = \\sqrt{9 + 25} = \\sqrt{34}\\]\n\nWynik ten sam - \\(\\boxed{|AC| = \\sqrt{34}}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt przy } C = 90°\\text{)}\\]\n\nUżyliśmy go **dwukrotnie**: raz w trójkącie \\(CDB\\) do wyznaczenia \\(|CD| = 5\\), drugi raz w trójkącie \\(CDA\\) do wyznaczenia \\(|AC|\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd który do niej prowadzi |\n| **B** \\(\\frac{13}{4}\\) | Zastosowanie błędnego proporcji \\(\\frac{AC}{BC} = \\frac{AD}{BD}\\), czyli \\(AC = 13 \\cdot \\frac{3}{12} = \\frac{13}{4}\\). To twierdzenie Talesa, ale tu nie ma równoległych prostych - ta proporcja tu nie obowiązuje. |\n| **C** \\(2\\sqrt{14}\\) | Pomylenie trójkątów - np. wzięcie \\(|AC|^2 = |BC|^2 - |AB|^2 = 169 - 225 < 0\\) (niemożliwe) lub inne błędne przypisanie boków w Pitagorasie. |\n| **D** \\(3\\sqrt{45}\\) | Użycie błędnego wzoru \\(|CD|^2 = |AD| \\cdot |BD| = 36\\), czyli \\(|CD| = 6\\) (wzór na środkową geometryczną, który działa **tylko** gdy \\(\\angle ACB = 90°\\) - tu tego nie wiemy!), a następnie \\(|AC|^2 = 9 + 36 = 45\\), \\(|AC| = \\sqrt{45}\\). Wynik jest prawie dobry, ale wynika z niezweryfikowanego założenia. |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość \\(CD\\) tworzy dwa trójkąty prostokątne. Kąt prosty jest **przy \\(D\\)**, nie przy \\(C\\)! Nie mylić boku, przy którym leży kąt prosty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(|CD|^2 = |AD| \\cdot |BD|\\) (środkowa geometryczna) obowiązuje **tylko gdy \\(\\angle ACB = 90°\\)**. Tutaj nie wiadomo, czy kąt przy \\(C\\) jest prosty - tego nie zakładamy. Zamiast tego obliczamy \\(CD\\) wprost z Pitagorasa w trójkącie \\(BCD\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij, że potrzebujesz **dwóch etapów**: najpierw \\(CD\\) z jednego trójkąta prostokątnego, potem \\(AC\\) z drugiego. Skakanie od razu do \\(AC\\) bez wyznaczenia \\(CD\\) prowadzi do błędów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Dwukrotne twierdzenie Pitagorasa\nW ΔBDC prostokątnym: \\(BD^2 + CD^2 = BC^2\\).\n\\(144 + CD^2 = 169 \\Rightarrow CD = 5\\).\n\nW ΔADC prostokątnym: \\(AD^2 + CD^2 = AC^2\\).\n\\(9 + 25 = AC^2 \\Rightarrow AC = \\sqrt{34}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{13}{4}\\)** - bezsensowne.\n- **C. \\(2\\sqrt{14} = \\sqrt{56}\\)** - błąd w obliczeniach.\n- **D. \\(3\\sqrt{45}\\)** - zbyt duże.\n\n**Zasada:** wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, z którymi stosujemy Pitagorasa.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia Pitagorowego w trójkątach prostokątne\n\n1. **Zauważenie trójkątów prostokątne:** W trójkącie ABC, CD jest wysokością, więc kąt CDA jest prosty. Możemy rozpatrzeć dwa trójkąty prostokątne: △ADC i △BDC.\n\n2. **Obliczenie długości AD i BD:**\n* W △ADC: AD = 3, AC = 13, CD = h (wysokość). Z twierdzenia Pitagorowego: AD² + CD² = AC² => 3² + CD² = 13² => 9 + CD² = 169 => CD² = 160 => CD = √160 = 4√10. To jest błąd w zadaniu, ponieważ podano, że CD dzieli bok AB na odcinki 3 i 12, a w rzeczywistości to CD musi być wysokością opuszczoną z wierzchołka C na bok AB.\n\n3. **Zastosowanie twierdzenia Pitagorowego w trójkącie ABC:**\n* W trójkącie ABC: AB = AD + BD = 3 + 12 = 15, BC = 13, AC = 13. Z twierdzenia Pitagorowego: AB² = AC² + BC² => 15² = 13² + 13² => 225 = 169 + 169 => 225 = 338. To jest błąd w zadaniu, ponieważ podano, że AC jest równe 13.\n\n4. **Poprawne rozwiązanie (z założeniem, że AC=13):**\n* W trójkącie ABC: AB = 15, BC = 13, AC = 13. Z twierdzenia Pitagorowego: AB² = AC² + BC² => 15² = AC² + 13² => 225 = AC² + 169 => AC² = 225 - 169 = 56 => AC = √56 = 2√14. To nie jest żadna z podanych odpowiedzi.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15-16\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na pole trójkąta i twierdzenia o wysokości\n\n1. **Obliczenie pola trójkąta ABC:** Możemy obliczyć pole trójkąta ABC na dwa sposoby:\n* P = (1/2) * AB * CD = (1/2) * 15 * CD\n* P = (1/2) * AC * BC * sin(C)\n\n2. **Równoważność obu wzorów na pole:** Ponieważ oba wzory obliczają to samo pole, możemy je przyrównać:\n(1/2) * 15 * CD = (1/2) * 13 * 13 * sin(C) => 15 * CD = 169 * sin(C)\n\n3. **Wykorzystanie trójkąta ADC:** W trójkącie ADC mamy AD = 3, AC = 13 i CD = h. Możemy użyć wzoru na pole trójkąta: P = (1/2) * AD * CD = (1/2) * 3 * h = (3/2)h.\n\n4. **Wykorzystanie trójkąta ABC:** P = (1/2) * AC * BC * sin(C) = (1/2) * 13 * 13 * sin(C) = (169/2) * sin(C).\n\n5. **Równoważność obu wzorów na pole (ponownie):** (3/2)h = (169/2) * sin(C) => 3h = 169 * sin(C) => h = (169/3) * sin(C)\n\n6. **Rozwiązanie układu równań:** Mamy dwa wyrażenia na CD (h):\n* h = 4√10 (z twierdzenia Pitagorowego w △ADC)\n* h = (169/3) * sin(C)\n\nRównanie 3h = 169 * sin(C) z wcześniejszego kroku pozwala nam na obliczenie sin(C). Zatem, 3 * 4√10 = 169 * sin(C) => 12√10 = 169 * sin(C) => sin(C) = (12√10)/169. To również prowadzi do niepoprawnych wyników.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15-16, oraz s.15: Pole trójkąta: P=ah/2, strona 15-16\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(\\sqrt{34}\\):** To jest wynik obliczeń w trójkącie ADC, ale nie prowadzi do rozwiązania całego zadania.\n* **B. [13]:** To jest długość boku BC, ale nie jest to rozwiązanie.\n* **C. \\(2\\sqrt{14}\\):** To jest długość boku AC, ale nie prowadzi do rozwiązania całego zadania.\n* **D. \\(3\\sqrt{45}\\):** To jest również wynik obliczeń w trójkącie ADC, ale nie prowadzi do rozwiązania całego zadania.\n\nZadanie jest źle sformułowane, ponieważ podane dane prowadzą do sprzeczności. W zadaniu jest błąd w podanej długości boku AC. Prawidłowa odpowiedź, zakładając, że AC = 2√14, nie znajduje się w podanych opcjach.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (0-1) (18)
W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 bok 𝐵𝐶 ma długość 13, a wysokość
𝐶𝐷 tego trójkąta dzieli bok 𝐴𝐵 na odcinki o długościach
|𝐴𝐷| = 3 i |𝐵𝐷| = 12 (zobacz rysunek obok). Długość
boku 𝐴𝐶 jest równa
A. √34
B. 13
4
C. 2√14
D. 3√45
Rozwiązanie zadania. Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz tgα = 2/5 (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe A. 12 B. 37/3 C. 62/5 D. 64/5.

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
G10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Rozwiązanie
Wersja A: A
Wersja B: B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{34}\\)

\n

Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w dwóch trójkątach prostokątnych

\n

Ponieważ \\(CD\\) jest wysokością trójkąta \\(ABC\\), kąt przy \\(D\\) jest prosty: \\(\\angle CDB = \\angle CDA = 90°\\).

\n

Mamy dwa trójkąty prostokątne: \\(CDA\\) i \\(CDB\\).

\n

Krok 1 - znajdź \\(CD\\) z trójkąta \\(CDB\\)

\n

W trójkącie \\(CDB\\): \\(|BC| = 13\\), \\(|BD| = 12\\), kąt przy \\(D\\) prosty.

\n

\\[|CD|^2 + |BD|^2 = |BC|^2\\]
\\[|CD|^2 + 144 = 169\\]
\\[|CD|^2 = 25\\]
\\[|CD| = 5\\]

\n

Krok 2 - znajdź \\(AC\\) z trójkąta \\(CDA\\)

\n

W trójkącie \\(CDA\\): \\(|AD| = 3\\), \\(|CD| = 5\\), kąt przy \\(D\\) prosty.

\n

\\[|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 = 9 + 25 = 34\\]
\\[\\boxed{|AC| = \\sqrt{34}}\\]

\n

Sposób 2 - Układ współrzędnych

\n

Umieść punkt \\(D\\) w początku układu. Wtedy:

\n\n

Z warunku \\(|BC| = 13\\):
\\[|BC|^2 = 12^2 + h^2 = 144 + h^2 = 169 \\implies h = 5\\]

\n

Stąd \\(C = (0, 5)\\). Odległość \\(AC\\):
\\[|AC| = \\sqrt{(0-(-3))^2 + (5-0)^2} = \\sqrt{9 + 25} = \\sqrt{34}\\]

\n

Wynik ten sam - \\(\\boxed{|AC| = \\sqrt{34}}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt przy } C = 90°\\text{)}\\]

\n

Użyliśmy go dwukrotnie: raz w trójkącie \\(CDB\\) do wyznaczenia \\(|CD| = 5\\), drugi raz w trójkącie \\(CDA\\) do wyznaczenia \\(|AC|\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd który do niej prowadzi |
| B \\(\\frac{13}{4}\\) | Zastosowanie błędnego proporcji \\(\\frac{AC}{BC} = \\frac{AD}{BD}\\), czyli \\(AC = 13 \\cdot \\frac{3}{12} = \\frac{13}{4}\\). To twierdzenie Talesa, ale tu nie ma równoległych prostych - ta proporcja tu nie obowiązuje. |
| C \\(2\\sqrt{14}\\) | Pomylenie trójkątów - np. wzięcie \\(|AC|^2 = |BC|^2 - |AB|^2 = 169 - 225 < 0\\) (niemożliwe) lub inne błędne przypisanie boków w Pitagorasie. |
| D \\(3\\sqrt{45}\\) | Użycie błędnego wzoru \\(|CD|^2 = |AD| \\cdot |BD| = 36\\), czyli \\(|CD| = 6\\) (wzór na środkową geometryczną, który działa tylko gdy \\(\\angle ACB = 90°\\) - tu tego nie wiemy!), a następnie \\(|AC|^2 = 9 + 36 = 45\\), \\(|AC| = \\sqrt{45}\\). Wynik jest prawie dobry, ale wynika z niezweryfikowanego założenia. |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Wysokość \\(CD\\) tworzy dwa trójkąty prostokątne. Kąt prosty jest przy \\(D\\), nie przy \\(C\\)! Nie mylić boku, przy którym leży kąt prosty.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(|CD|^2 = |AD| \\cdot |BD|\\) (środkowa geometryczna) obowiązuje tylko gdy \\(\\angle ACB = 90°\\). Tutaj nie wiadomo, czy kąt przy \\(C\\) jest prosty - tego nie zakładamy. Zamiast tego obliczamy \\(CD\\) wprost z Pitagorasa w trójkącie \\(BCD\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij, że potrzebujesz dwóch etapów: najpierw \\(CD\\) z jednego trójkąta prostokątnego, potem \\(AC\\) z drugiego. Skakanie od razu do \\(AC\\) bez wyznaczenia \\(CD\\) prowadzi do błędów.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Dwukrotne twierdzenie Pitagorasa
\n

W ΔBDC prostokątnym: \\(BD^2 + CD^2 = BC^2\\).
\\(144 + CD^2 = 169 \\Rightarrow CD = 5\\).

\n

W ΔADC prostokątnym: \\(AD^2 + CD^2 = AC^2\\).
\\(9 + 25 = AC^2 \\Rightarrow AC = \\sqrt{34}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, z którymi stosujemy Pitagorasa.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie twierdzenia Pitagorowego w trójkątach prostokątne
\n
  1. Zauważenie trójkątów prostokątne: W trójkącie ABC, CD jest wysokością, więc kąt CDA jest prosty. Możemy rozpatrzeć dwa trójkąty prostokątne: △ADC i △BDC.
\n
  1. Obliczenie długości AD i BD:
\n\n
  1. Zastosowanie twierdzenia Pitagorowego w trójkącie ABC:
\n\n
  1. Poprawne rozwiązanie (z założeniem, że AC=13):
\n\n

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15-16

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na pole trójkąta i twierdzenia o wysokości
\n
  1. Obliczenie pola trójkąta ABC: Możemy obliczyć pole trójkąta ABC na dwa sposoby:
\n\n
  1. Równoważność obu wzorów na pole: Ponieważ oba wzory obliczają to samo pole, możemy je przyrównać:
\n

(1/2) * 15 * CD = (1/2) * 13 * 13 * sin(C) => 15 * CD = 169 * sin(C)

\n
  1. Wykorzystanie trójkąta ADC: W trójkącie ADC mamy AD = 3, AC = 13 i CD = h. Możemy użyć wzoru na pole trójkąta: P = (1/2) * AD * CD = (1/2) * 3 * h = (3/2)h.
\n
  1. Wykorzystanie trójkąta ABC: P = (1/2) * AC * BC * sin(C) = (1/2) * 13 * 13 * sin(C) = (169/2) * sin(C).
\n
  1. Równoważność obu wzorów na pole (ponownie): (3/2)h = (169/2) * sin(C) => 3h = 169 * sin(C) => h = (169/3) * sin(C)
\n
  1. Rozwiązanie układu równań: Mamy dwa wyrażenia na CD (h):
\n\n

Równanie 3h = 169 * sin(C) z wcześniejszego kroku pozwala nam na obliczenie sin(C). Zatem, 3 * 4√10 = 169 * sin(C) => 12√10 = 169 * sin(C) => sin(C) = (12√10)/169. To również prowadzi do niepoprawnych wyników.

\n

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15-16, oraz s.15: Pole trójkąta: P=ah/2, strona 15-16

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Zadanie jest źle sformułowane, ponieważ podane dane prowadzą do sprzeczności. W zadaniu jest błąd w podanej długości boku AC. Prawidłowa odpowiedź, zakładając, że AC = 2√14, nie znajduje się w podanych opcjach.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, zauważmy że z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BCD$ mamy $|CD|=\\sqrt{13^2-12^2}=\\sqrt{169-144}=5$. Stąd w trójkącie $ACD$ mamy $|AC|=\\sqrt{3^2+5^2}=\\sqrt{9+25}=\\sqrt{34}$.

"}]}