{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1) (19)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 leżą na okręgu o środku 𝑆. Miary kątów 𝑆𝐵𝐶, 𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐷𝐴 są równe\nodpowiednio: |∡𝑆𝐵𝐶| = 60°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 110°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 90° (zobacz rysunek).\nWynika stąd, że miara 𝛼 kąta 𝐷𝐴𝑆 jest równa\nA. 25°\nB. 30°\nC. 35°\nD. 40°\n60°\n110°\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝐷\n12\n3\n13\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Miary kątów SBC, BCD, CDA są równe odpowiednio: |∠ SBC|=60°, |∠ BCD| = 110°, |∠ CDA| = 90° (zobacz rysunek). Wynika stąd, że miara α kąta DAS jest równa A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: D\nWersja B: B","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\alpha = 40°\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąty równoramienne krok po kroku\n\nKluczowa obserwacja: **S jest środkiem okręgu**, więc \\(|SA| = |SB| = |SC| = |SD| = r\\). Każdy trójkąt z wierzchołkiem w S i dwoma punktami na okręgu jest **równoramienny**.\n\n**Krok 1: Trójkąt \\(SBC\\)**\n\n\\(SB = SC = r\\), więc trójkąt \\(SBC\\) jest równoramienny. Skoro \\(|\\sphericalangle SBC| = 60°\\), to:\n\\[|\\sphericalangle SCB| = 60°\\]\n\\[|\\sphericalangle BSC| = 180° - 60° - 60° = 60°\\]\n\nTrójkąt \\(SBC\\) jest **równoboczny**!\n\n**Krok 2: Kąt \\(\\sphericalangle SCD\\)**\n\nZ rysunku \\(S\\) leży wewnątrz kąta \\(BCD\\), zatem:\n\\[|\\sphericalangle SCD| = |\\sphericalangle BCD| - |\\sphericalangle SCB| = 110° - 60° = 50°\\]\n\n**Krok 3: Trójkąt \\(SCD\\)**\n\n\\(SC = SD = r\\), więc trójkąt \\(SCD\\) jest równoramienny. Skoro \\(|\\sphericalangle SCD| = 50°\\):\n\\[|\\sphericalangle SDC| = 50°\\]\n\\[|\\sphericalangle CSD| = 180° - 50° - 50° = 80°\\]\n\n**Krok 4: Kąt \\(\\sphericalangle SDA\\)**\n\n\\[|\\sphericalangle SDA| = |\\sphericalangle CDA| - |\\sphericalangle SDC| = 90° - 50° = 40°\\]\n\n**Krok 5: Trójkąt \\(SDA\\)**\n\n\\(SD = SA = r\\), więc trójkąt \\(SDA\\) jest równoramienny. Skoro \\(|\\sphericalangle SDA| = 40°\\):\n\\[\\boxed{\\alpha = |\\sphericalangle DAS| = 40°}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt wpisany + okrąg opisany na czworokącie\n\n**Krok 1: Własność czworokąta wpisanego w okrąg**\n\nW czworokącie \\(ABCD\\) wpisanym w okrąg **przeciwległe kąty sumują się do \\(180°\\)**:\n\\[|\\sphericalangle BCD| + |\\sphericalangle BAD| = 180°\\]\n\\[110° + |\\sphericalangle BAD| = 180°\\]\n\\[|\\sphericalangle BAD| = 70°\\]\n\n**Krok 2: Łuk \\(BC\\) i łuk \\(AB\\)**\n\nZ kroku 1 w Sposobie 1: trójkąt \\(SBC\\) jest równoboczny, więc kąt środkowy \\(|\\sphericalangle BSC| = 60°\\), czyli \\(\\text{arc } BC = 60°\\).\n\nKąt \\(\\sphericalangle CDA = 90°\\) jest kątem wpisanym - na podstawie twierdzenia o kącie wpisanym:\n\\[\\text{arc } ABC = 2 \\cdot 90° = 180°\\]\n\\[\\text{arc } AB = 180° - \\text{arc } BC = 180° - 60° = 120°\\]\n\n**Krok 3: Kąt \\(\\sphericalangle SAB\\)**\n\nKąt środkowy \\(|\\sphericalangle ASB| = \\text{arc } AB = 120°\\). Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny \\((SA = SB)\\):\n\\[|\\sphericalangle SAB| = \\frac{180° - 120°}{2} = 30°\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczenie \\(\\alpha\\)**\n\n\\[\\alpha = |\\sphericalangle DAS| = |\\sphericalangle BAD| - |\\sphericalangle BAS| = 70° - 30° = \\boxed{40°}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i środkowy:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2: \\(|\\sphericalangle CDA| = 90°\\) → \\(\\text{arc } ABC = 180°\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - własność czworokąta wpisanego w okrąg:\n\n\\[\\alpha + \\gamma = \\beta + \\delta = 180°\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2: \\(|\\sphericalangle BCD| + |\\sphericalangle BAD| = 180°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(25°\\) | Uczeń odejmuje od \\(\\sphericalangle SDA\\) zamiast utożsamiać \\(\\alpha = \\sphericalangle SDA\\); lub pomija jeden z kroków i liczy \\(\\frac{50°}{2}\\) |\n| B - \\(30°\\) | Uczeń liczy \\(\\sphericalangle SAB = 30°\\) i myli go z \\(\\alpha\\), nie dostrzegając, że \\(\\alpha = \\sphericalangle DAS\\), nie \\(\\sphericalangle BAS\\) |\n| C - \\(35°\\) | Błąd przy odejmowaniu kątów; np. \\(|\\sphericalangle SDA| = 90° - 55° = 35°\\) przez błędne wyznaczenie \\(\\sphericalangle SDC\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** S jest **środkiem okręgu**, nie punktem na okręgu - nie stosuj do niego twierdzenia o kącie wpisanym. Kąty przy S to **kąty środkowe**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu \\(|\\sphericalangle SDA| = |\\sphericalangle CDA| - |\\sphericalangle SDC|\\) upewnij się, że S leży **wewnątrz** kąta \\(CDA\\) - tak wynika z rysunku. Gdyby leżało na zewnątrz, musielibyśmy dodawać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoramienność trójkątów \\(SXY\\) (bo \\(SX = SY = r\\)) to **klucz do całego zadania** - bez tego spostrzeżenia zadanie jest nierozwiązywalne. Zawsze gdy widzisz środek okręgu połączony z punktami na okręgu, myśl: promienie, trójkąty równoramienne.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Suma kątów czworokąta\nSuma kątów w czworokącie \\(ABCD\\) to \\(360°\\).\n\\(|\\sphericalangle ABC| + |\\sphericalangle BCD| + |\\sphericalangle CDA| + |\\sphericalangle DAB| = 360°\\).\n\nW trójkącie \\(SBC\\) równoramiennym (\\(SB = SC\\) - promienie): \\(\\sphericalangle SBC = \\sphericalangle SCB = 60°\\).\nWięc \\(\\sphericalangle ABS\\) = \\(\\sphericalangle ABC - 60°\\).\n\nAnalogicznie w ΔSCD: \\(\\sphericalangle SCD = \\sphericalangle SDC\\), w ΔSDA: \\(\\sphericalangle SDA = \\sphericalangle SAD = \\alpha\\).\n\n\\(\\sphericalangle BCD = \\sphericalangle SCB + \\sphericalangle SCD = 60 + \\sphericalangle SCD = 110°\\), więc \\(\\sphericalangle SCD = 50° = \\sphericalangle SDC\\).\n\\(\\sphericalangle CDA = \\sphericalangle SDC + \\sphericalangle SDA = 50° + \\alpha = 90°\\), więc \\(\\alpha = 40°\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C** - błędne obliczenie \\(\\sphericalangle SDC\\) lub inne uchybienie w ΔSCD.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie własności kątów wpisanych i kątów środkowych\n\n1. **Kąt środkowy i kąt wpisany:** Kąt środkowy, który opiera się na łuku mierzącym 360 stopni, jest równy 360 stopni. Kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku, jest równy połowie kąta środkowego.\n2. **Kąt SBC:** Kąt SBC (60 stopni) jest kątem środkowym opartym na łuku AB. Kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku, to kąt CAD. Zatem \\[∠CAD = \\frac{1}{2} ∠SBC = \\frac{1}{2} * 60^\\circ = 30^\\circ\\]\n3. **Kąt BCD:** Kąt BCD (110 stopni) jest kątem środkowym opartym na łuku BD. Kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku, to kąt BAD. Zatem \\[∠BAD = \\frac{1}{2} ∠BCD = \\frac{1}{2} * 110^\\circ = 55^\\circ\\]\n4. **Kąt CDA:** Kąt CDA (90 stopni) jest kątem środkowym opartym na łuku CA. Kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku, to kąt ABC. Zatem \\[∠ABC = \\frac{1}{2} ∠CDA = \\frac{1}{2} * 90^\\circ = 45^\\circ\\]\n5. **Kąt DAS:** Teraz mamy kąt ABC = 45 stopni i kąt BAD = 55 stopni. Kąt DAS to kąt, który powstaje wewnątrz czworoboku ABCD. Możemy obliczyć kąt DAS, korzystając z faktu, że suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni. \\[∠DAS = 360^\\circ - (∠ABC + ∠BCD + ∠CDA) = 360^\\circ - (45^\\circ + 110^\\circ + 90^\\circ) = 360^\\circ - 245^\\circ = 115^\\circ\\]\nJednakże, to jest błąd. Musimy obliczyć kąt DAS, korzystając z kątów CAD i BAD. \\[∠DAS = ∠BAD + ∠CAD = 55^\\circ + 30^\\circ = 85^\\circ\\]\nTo jest błąd. Musimy obliczyć kąt DAS, korzystając z kątów CAD i BAD. \\[∠DAS = ∠BAD - ∠CAD = 55^\\circ - 30^\\circ = 25^\\circ\\]\n\n📖 Karta wzorów: [s.15] Pitagoras: a²+b²=c², strona 15\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia sinusów i własności kątów w okręgu\n\n1. **Zauważmy, że kąt CDA = 90 stopni.** To oznacza, że łuk AC wynosi 90 stopni.\n2. **Obliczamy kąt ABC:** Ponieważ kąt środkowy ACB wynosi 90 stopni, a kąt wpisany ABC jest połową kąta środkowego, to \\[∠ABC = \\frac{1}{2} * 90^\\circ = 45^\\circ\\]\n3. **Obliczamy kąt BAD:** Ponieważ kąt środkowy BCD wynosi 110 stopni, a kąt wpisany BAD jest połową kąta środkowego, to \\[∠BAD = \\frac{1}{2} * 110^\\circ = 55^\\circ\\]\n4. **Obliczamy kąt CAD:** Ponieważ kąt środkowy SBC wynosi 60 stopni, a kąt wpisany CAD jest połową kąta środkowego, to \\[∠CAD = \\frac{1}{2} * 60^\\circ = 30^\\circ\\]\n5. **Obliczamy kąt DAS:** Kąt DAS to kąt, który powstaje wewnątrz czworoboku ABCD. Możemy obliczyć kąt DAS, korzystając z faktu, że suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni. \\[∠DAS = 360^\\circ - (∠ABC + ∠BCD + ∠CDA) = 360^\\circ - (45^\\circ + 110^\\circ + 90^\\circ) = 360^\\circ - 245^\\circ = 115^\\circ\\]\nTo jest błąd. Musimy obliczyć kąt DAS, korzystając z kątów CAD i BAD. \\[∠DAS = ∠BAD - ∠CAD = 55^\\circ - 30^\\circ = 25^\\circ\\]\n\n📖 Karta wzorów: [s.15] Pitagoras: a²+b²=c², strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 25°:** Jak pokazano powyżej, obliczenia prowadzą do kąta DAS równującego się 25 stopni.\n* **B. 30°:** Obliczenia prowadzą do kąta DAS równującego się 25 stopni.\n* **C. 35°:** Obliczenia prowadzą do kąta DAS równującego się 25 stopni.\n* **D. 40°:** Obliczenia prowadzą do kąta DAS równującego się 25 stopni.\n\nW obu sposobach obliczamy, że kąt DAS wynosi 25 stopni.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (0-1) (19)
Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 leżą na okręgu o środku 𝑆. Miary kątów 𝑆𝐵𝐶, 𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐷𝐴 są równe
odpowiednio: |∡𝑆𝐵𝐶| = 60°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 110°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 90° (zobacz rysunek).
Wynika stąd, że miara 𝛼 kąta 𝐷𝐴𝑆 jest równa
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
60°
110°
𝛼
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑆
𝐶
𝐵
𝐴
𝐷
12
3
13

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Miary kątów SBC, BCD, CDA są równe odpowiednio: |∠ SBC|=60°, |∠ BCD| = 110°, |∠ CDA| = 90° (zobacz rysunek). Wynika stąd, że miara α kąta DAS jest równa A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°.

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
7.1) stosuje zależności między kątem
środkowym i kątem wpisanym.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A: D
Wersja B: B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\alpha = 40°\\)

\n

Sposób 1 - Trójkąty równoramienne krok po kroku

\n

Kluczowa obserwacja: S jest środkiem okręgu, więc \\(|SA| = |SB| = |SC| = |SD| = r\\). Każdy trójkąt z wierzchołkiem w S i dwoma punktami na okręgu jest równoramienny.

\n

Krok 1: Trójkąt \\(SBC\\)

\n

\\(SB = SC = r\\), więc trójkąt \\(SBC\\) jest równoramienny. Skoro \\(|\\sphericalangle SBC| = 60°\\), to:
\\[|\\sphericalangle SCB| = 60°\\]
\\[|\\sphericalangle BSC| = 180° - 60° - 60° = 60°\\]

\n

Trójkąt \\(SBC\\) jest równoboczny!

\n

Krok 2: Kąt \\(\\sphericalangle SCD\\)

\n

Z rysunku \\(S\\) leży wewnątrz kąta \\(BCD\\), zatem:
\\[|\\sphericalangle SCD| = |\\sphericalangle BCD| - |\\sphericalangle SCB| = 110° - 60° = 50°\\]

\n

Krok 3: Trójkąt \\(SCD\\)

\n

\\(SC = SD = r\\), więc trójkąt \\(SCD\\) jest równoramienny. Skoro \\(|\\sphericalangle SCD| = 50°\\):
\\[|\\sphericalangle SDC| = 50°\\]
\\[|\\sphericalangle CSD| = 180° - 50° - 50° = 80°\\]

\n

Krok 4: Kąt \\(\\sphericalangle SDA\\)

\n

\\[|\\sphericalangle SDA| = |\\sphericalangle CDA| - |\\sphericalangle SDC| = 90° - 50° = 40°\\]

\n

Krok 5: Trójkąt \\(SDA\\)

\n

\\(SD = SA = r\\), więc trójkąt \\(SDA\\) jest równoramienny. Skoro \\(|\\sphericalangle SDA| = 40°\\):
\\[\\boxed{\\alpha = |\\sphericalangle DAS| = 40°}\\]

\n

Sposób 2 - Kąt wpisany + okrąg opisany na czworokącie

\n

Krok 1: Własność czworokąta wpisanego w okrąg

\n

W czworokącie \\(ABCD\\) wpisanym w okrąg przeciwległe kąty sumują się do \\(180°\\):
\\[|\\sphericalangle BCD| + |\\sphericalangle BAD| = 180°\\]
\\[110° + |\\sphericalangle BAD| = 180°\\]
\\[|\\sphericalangle BAD| = 70°\\]

\n

Krok 2: Łuk \\(BC\\) i łuk \\(AB\\)

\n

Z kroku 1 w Sposobie 1: trójkąt \\(SBC\\) jest równoboczny, więc kąt środkowy \\(|\\sphericalangle BSC| = 60°\\), czyli \\(\\text{arc } BC = 60°\\).

\n

Kąt \\(\\sphericalangle CDA = 90°\\) jest kątem wpisanym - na podstawie twierdzenia o kącie wpisanym:
\\[\\text{arc } ABC = 2 \\cdot 90° = 180°\\]
\\[\\text{arc } AB = 180° - \\text{arc } BC = 180° - 60° = 120°\\]

\n

Krok 3: Kąt \\(\\sphericalangle SAB\\)

\n

Kąt środkowy \\(|\\sphericalangle ASB| = \\text{arc } AB = 120°\\). Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny \\((SA = SB)\\):
\\[|\\sphericalangle SAB| = \\frac{180° - 120°}{2} = 30°\\]

\n

Krok 4: Wyznaczenie \\(\\alpha\\)

\n

\\[\\alpha = |\\sphericalangle DAS| = |\\sphericalangle BAD| - |\\sphericalangle BAS| = 70° - 30° = \\boxed{40°}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - kąt wpisany i środkowy:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
\n

Użyliśmy tego w Sposobie 2: \\(|\\sphericalangle CDA| = 90°\\) → \\(\\text{arc } ABC = 180°\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - własność czworokąta wpisanego w okrąg:

\n

\\[\\alpha + \\gamma = \\beta + \\delta = 180°\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 2: \\(|\\sphericalangle BCD| + |\\sphericalangle BAD| = 180°\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(25°\\) | Uczeń odejmuje od \\(\\sphericalangle SDA\\) zamiast utożsamiać \\(\\alpha = \\sphericalangle SDA\\); lub pomija jeden z kroków i liczy \\(\\frac{50°}{2}\\) |
| B - \\(30°\\) | Uczeń liczy \\(\\sphericalangle SAB = 30°\\) i myli go z \\(\\alpha\\), nie dostrzegając, że \\(\\alpha = \\sphericalangle DAS\\), nie \\(\\sphericalangle BAS\\) |
| C - \\(35°\\) | Błąd przy odejmowaniu kątów; np. \\(|\\sphericalangle SDA| = 90° - 55° = 35°\\) przez błędne wyznaczenie \\(\\sphericalangle SDC\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: S jest środkiem okręgu, nie punktem na okręgu - nie stosuj do niego twierdzenia o kącie wpisanym. Kąty przy S to kąty środkowe.
\n
⚠️ Uwaga: Przy odejmowaniu \\(|\\sphericalangle SDA| = |\\sphericalangle CDA| - |\\sphericalangle SDC|\\) upewnij się, że S leży wewnątrz kąta \\(CDA\\) - tak wynika z rysunku. Gdyby leżało na zewnątrz, musielibyśmy dodawać.
\n
⚠️ Uwaga: Równoramienność trójkątów \\(SXY\\) (bo \\(SX = SY = r\\)) to klucz do całego zadania - bez tego spostrzeżenia zadanie jest nierozwiązywalne. Zawsze gdy widzisz środek okręgu połączony z punktami na okręgu, myśl: promienie, trójkąty równoramienne.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Suma kątów czworokąta
\n

Suma kątów w czworokącie \\(ABCD\\) to \\(360°\\).
\\(|\\sphericalangle ABC| + |\\sphericalangle BCD| + |\\sphericalangle CDA| + |\\sphericalangle DAB| = 360°\\).

\n

W trójkącie \\(SBC\\) równoramiennym (\\(SB = SC\\) - promienie): \\(\\sphericalangle SBC = \\sphericalangle SCB = 60°\\).
Więc \\(\\sphericalangle ABS\\) = \\(\\sphericalangle ABC - 60°\\).

\n

Analogicznie w ΔSCD: \\(\\sphericalangle SCD = \\sphericalangle SDC\\), w ΔSDA: \\(\\sphericalangle SDA = \\sphericalangle SAD = \\alpha\\).

\n

\\(\\sphericalangle BCD = \\sphericalangle SCB + \\sphericalangle SCD = 60 + \\sphericalangle SCD = 110°\\), więc \\(\\sphericalangle SCD = 50° = \\sphericalangle SDC\\).
\\(\\sphericalangle CDA = \\sphericalangle SDC + \\sphericalangle SDA = 50° + \\alpha = 90°\\), więc \\(\\alpha = 40°\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Wykorzystanie własności kątów wpisanych i kątów środkowych
\n
  1. Kąt środkowy i kąt wpisany: Kąt środkowy, który opiera się na łuku mierzącym 360 stopni, jest równy 360 stopni. Kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku, jest równy połowie kąta środkowego.
  2. Kąt SBC: Kąt SBC (60 stopni) jest kątem środkowym opartym na łuku AB. Kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku, to kąt CAD. Zatem \\[∠CAD = \\frac{1}{2} ∠SBC = \\frac{1}{2} * 60^\\circ = 30^\\circ\\]
  3. Kąt BCD: Kąt BCD (110 stopni) jest kątem środkowym opartym na łuku BD. Kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku, to kąt BAD. Zatem \\[∠BAD = \\frac{1}{2} ∠BCD = \\frac{1}{2} * 110^\\circ = 55^\\circ\\]
  4. Kąt CDA: Kąt CDA (90 stopni) jest kątem środkowym opartym na łuku CA. Kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku, to kąt ABC. Zatem \\[∠ABC = \\frac{1}{2} ∠CDA = \\frac{1}{2} * 90^\\circ = 45^\\circ\\]
  5. Kąt DAS: Teraz mamy kąt ABC = 45 stopni i kąt BAD = 55 stopni. Kąt DAS to kąt, który powstaje wewnątrz czworoboku ABCD. Możemy obliczyć kąt DAS, korzystając z faktu, że suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni. \\[∠DAS = 360^\\circ - (∠ABC + ∠BCD + ∠CDA) = 360^\\circ - (45^\\circ + 110^\\circ + 90^\\circ) = 360^\\circ - 245^\\circ = 115^\\circ\\]
\n

Jednakże, to jest błąd. Musimy obliczyć kąt DAS, korzystając z kątów CAD i BAD. \\[∠DAS = ∠BAD + ∠CAD = 55^\\circ + 30^\\circ = 85^\\circ\\]
To jest błąd. Musimy obliczyć kąt DAS, korzystając z kątów CAD i BAD. \\[∠DAS = ∠BAD - ∠CAD = 55^\\circ - 30^\\circ = 25^\\circ\\]

\n

📖 Karta wzorów: [s.15] Pitagoras: a²+b²=c², strona 15

\n
Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia sinusów i własności kątów w okręgu
\n
  1. Zauważmy, że kąt CDA = 90 stopni. To oznacza, że łuk AC wynosi 90 stopni.
  2. Obliczamy kąt ABC: Ponieważ kąt środkowy ACB wynosi 90 stopni, a kąt wpisany ABC jest połową kąta środkowego, to \\[∠ABC = \\frac{1}{2} * 90^\\circ = 45^\\circ\\]
  3. Obliczamy kąt BAD: Ponieważ kąt środkowy BCD wynosi 110 stopni, a kąt wpisany BAD jest połową kąta środkowego, to \\[∠BAD = \\frac{1}{2} * 110^\\circ = 55^\\circ\\]
  4. Obliczamy kąt CAD: Ponieważ kąt środkowy SBC wynosi 60 stopni, a kąt wpisany CAD jest połową kąta środkowego, to \\[∠CAD = \\frac{1}{2} * 60^\\circ = 30^\\circ\\]
  5. Obliczamy kąt DAS: Kąt DAS to kąt, który powstaje wewnątrz czworoboku ABCD. Możemy obliczyć kąt DAS, korzystając z faktu, że suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni. \\[∠DAS = 360^\\circ - (∠ABC + ∠BCD + ∠CDA) = 360^\\circ - (45^\\circ + 110^\\circ + 90^\\circ) = 360^\\circ - 245^\\circ = 115^\\circ\\]
\n

To jest błąd. Musimy obliczyć kąt DAS, korzystając z kątów CAD i BAD. \\[∠DAS = ∠BAD - ∠CAD = 55^\\circ - 30^\\circ = 25^\\circ\\]

\n

📖 Karta wzorów: [s.15] Pitagoras: a²+b²=c², strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach obliczamy, że kąt DAS wynosi 25 stopni.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, trójkąt $BCS$ jest równoboczny ze względu na zaznaczony kąt i równoramienność, stąd $|\\sphericalangle SCD|=60^\\circ$, zatem $|\\sphericalangle DCS|=50^\\circ$. Wiemy, że $AC$ przechodzi przez $S$ i trójkąt $ACD$ jest prostokątny, czyli $\\alpha=90^\\circ-50^\\circ=40^\\circ$.

"}]}