{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1) (N)\nW każdym 𝑛-kącie wypukłym (𝑛≥3) liczba przekątnych jest równa 𝑛(𝑛-3)\n2\n. Wielokątem\nwypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest\nA. siedmiokąt.\nB. dziesięciokąt.\nC. dwunastokąt.\nD. piętnastokąt.\nRozwiązanie zadania. W każdym n-kącie wypukłym (n≥3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest A. siedmiokąt. B. dziesięciokąt. C. dwunastokąt. D. piętnastokąt.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.4) rozwiązuje równania kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: B\nWersja B: B","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - dziesięciokąt\n\n## Sposób 1 - Równanie kwadratowe\n\n**Zapisujemy warunek zadania jako równanie.**\n\nLiczba przekątnych \\(n\\)-kąta: \\(\\dfrac{n(n-3)}{2}\\)\n\nLiczba boków: \\(n\\)\n\nWarunek \"liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków\":\n\\[\\frac{n(n-3)}{2} = n + 25\\]\n\nMnożymy obie strony przez 2:\n\\[n(n-3) = 2n + 50\\]\n\\[n^2 - 3n = 2n + 50\\]\n\\[n^2 - 5n - 50 = 0\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-50) = 25 + 200 = 225\\)\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 15\\]\n\n\\[n = \\frac{5 \\pm 15}{2}\\]\n\nDwa rozwiązania:\n\\[n_1 = \\frac{5 + 15}{2} = 10, \\qquad n_2 = \\frac{5 - 15}{2} = -5\\]\n\nOdrzucamy \\(n_2 = -5\\), bo liczba boków musi być naturalną liczbą \\(\\geq 3\\).\n\n**Zatem szukany wielokąt to dziesięciokąt (\\(n = 10\\)).**\n\nSprawdzenie: przekątne = \\(\\dfrac{10 \\cdot 7}{2} = 35\\), boki = \\(10\\), różnica = \\(35 - 10 = 25\\). ✓\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi (metoda podstawienia)\n\nObliczamy dla każdego kandydata liczbę przekątnych i sprawdzamy, czy różnica z bokami wynosi 25:\n\n| Wielokąt | \\(n\\) | Przekątne \\(\\frac{n(n-3)}{2}\\) | Boki \\(n\\) | Różnica |\n| Siedmiokąt | 7 | \\(\\frac{7 \\cdot 4}{2} = 14\\) | 7 | 7 ≠ 25 |\n| **Dziesięciokąt** | **10** | \\(\\mathbf{\\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35}\\) | **10** | **25 ✓** |\n| Dwunastokąt | 12 | \\(\\frac{12 \\cdot 9}{2} = 54\\) | 12 | 42 ≠ 25 |\n| Piętnastokąt | 15 | \\(\\frac{15 \\cdot 12}{2} = 90\\) | 15 | 75 ≠ 25 |\n\nTylko dziesięciokąt spełnia warunek zadania.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wzór na liczbę przekątnych \\(\\dfrac{n(n-3)}{2}\\) jest podany bezpośrednio w treści zadania. Do rozwiązania równania kwadratowego korzystamy ze wzorów z **Działu 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)**:\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nTutaj: \\(a = 1\\), \\(b = -5\\), \\(c = -50\\), skąd \\(\\Delta = 25 + 200 = 225\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | \\(n\\) | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | 7 | Uczeń mógł podstawić \\(n = 7\\) i pomylić się w obliczeniach: \\(14 - 7 = 7\\), ale warunek to 25, nie 7 |\n| C | 12 | Błąd przy rozwiązaniu równania: np. wyznaczono \\(\\Delta = 225\\), ale wzięto \\(\\sqrt{\\Delta} = 13\\) zamiast \\(15\\) |\n| D | 15 | Uczeń mógł przestawić warunek - szukał wielokąta, gdzie to boki są o 25 większe od przekątnych (odwrotnie) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"A jest o 25 większe od B\" to \\(A = B + 25\\), nie \\(B = A + 25\\). Odwrócenie tego warunku daje \\(n = 15\\) - typowa pułapka w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwiązaniu równania kwadratowego zawsze odrzucaj rozwiązania ujemne lub nienaturalne - \\(n\\) musi być liczbą całkowitą \\(\\geq 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wzór - przekątna to odcinek łączący dwa *niesąsiednie* wierzchołki. Dla \\(n\\)-kąta każdy wierzchołek jest połączony z \\(n - 3\\) innymi wierzchołkami przekątnymi (odejmujemy 2 sąsiednie i siebie), stąd \\(\\frac{n(n-3)}{2}\\) (dzielimy przez 2 bo każdą przekątną liczymy podwójnie).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Równanie\n\\(\\dfrac{n(n-3)}{2} = n + 25 \\; | \\cdot 2\\)\n\\(n(n-3) = 2n + 50\\)\n\\(n^2 - 3n - 2n - 50 = 0\\)\n\\(n^2 - 5n - 50 = 0\\)\n\\(\\Delta = 25 + 200 = 225, \\sqrt{\\Delta} = 15\\).\n\\(n = \\dfrac{5 + 15}{2} = 10\\) (odrzucamy \\(n = -5\\)).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie dziesięciokąta\n\\(n = 10\\): liczba przekątnych \\(= \\dfrac{10\\cdot 7}{2} = 35\\), \\(35 - 10 = 25\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(n=7\\):** \\(\\tfrac{7\\cdot 4}{2} = 14\\), \\(14-7 = 7 \\ne 25\\).\n- **C. \\(n=12\\):** \\(\\tfrac{12\\cdot 9}{2} = 54\\), \\(54-12 = 42 \\ne 25\\).\n- **D. \\(n=15\\):** \\(\\tfrac{15\\cdot 12}{2} = 90\\), \\(90-15 = 75 \\ne 25\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na liczbę przekątnych wielokąta i rozwiązywanie równania\nTen sposób opiera się na bezpośrednim zastosowaniu wzoru na liczbę przekątnych wielokąta i rozwiązaniu powstałego równania.\n\n1. **Wzór na liczbę przekątnych:** Liczba przekątnych wielokąta o *n* bokach wynosi:\n\\[P = \\frac{n(n-3)}{2}\\]\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4\n\n2. **Zadanie mówi, że liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków:** Oznacza to, że:\n\\[\\frac{n(n-3)}{2} = n + 25\\]\n\n3. **Rozwiązanie równania:**\n* Pomnóż obie strony przez 2: \\(n(n-3) = 2n + 50\\)\n* Rozwiń lewą stronę: \\(n^2 - 3n = 2n + 50\\)\n* Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę: \\(n^2 - 5n - 50 = 0\\)\n* Rozwiąż równanie kwadratowe. Można użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:\n\\[n = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]\nW naszym przypadku: \\(a = 1\\), \\(b = -5\\), \\(c = -50\\)\n\\[n = \\frac{5 \\pm \\sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-50)}}{2(1)} = \\frac{5 \\pm \\sqrt{25 + 200}}{2} = \\frac{5 \\pm \\sqrt{225}}{2} = \\frac{5 \\pm 15}{2}\\]\nDzielimy przez 2, otrzymujemy dwa rozwiązania:\n* \\(n_1 = \\frac{5 + 15}{2} = \\frac{20}{2} = 10\\)\n* \\(n_2 = \\frac{5 - 15}{2} = \\frac{-10}{2} = -5\\)\nPonieważ liczba boków wielokąta musi być liczbą naturalną większą niż lub równą 3, wybieramy rozwiązanie \\(n = 10\\).\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na liczbę przekątnych i manipulacja równaniem\nTen sposób polega na bezpośrednim zastosowaniu wzoru na przekątne i manipulacji równaniem, aby wyznaczyć *n*.\n\n1. **Wzór na przekątne:** Jak w sposobie 1, \\(P = \\frac{n(n-3)}{2}\\)\n2. **Zadanie:** \\(P = n + 25\\)\n3. **Podstawienie:** Podstawiamy wzór na przekątne do zadania: \\(\\frac{n(n-3)}{2} = n + 25\\)\n4. **Rozwiązanie:** \\(n(n-3) = 2n + 50\\) (jak w sposobie 1)\n5. **Rozwinięcie i rozwiązanie:** \\(n^2 - 3n = 2n + 50\\) => \\(n^2 - 5n - 50 = 0\\) => \\(n = 10\\) (jak w sposobie 1)\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. siedmiokąt:** Jeśli \\(n = 7\\), to liczba przekątnych wynosi \\(\\frac{7(7-3)}{2} = \\frac{7 \\cdot 4}{2} = 14\\). A \\(n + 25 = 7 + 25 = 32\\). To nie pasuje.\n* **C. dwunastokąt:** Jeśli \\(n = 12\\), to liczba przekątnych wynosi \\(\\frac{12(12-3)}{2} = \\frac{12 \\cdot 9}{2} = 54\\). A \\(n + 25 = 12 + 25 = 37\\). To nie pasuje.\n* **D. piętnastokąt:** Jeśli \\(n = 15\\), to liczba przekątnych wynosi \\(\\frac{15(15-3)}{2} = \\frac{15 \\cdot 12}{2} = 90\\). A \\(n + 25 = 15 + 25 = 40\\). To nie pasuje.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1) (N)<br>W każdym 𝑛-kącie wypukłym (𝑛≥3) liczba przekątnych jest równa 𝑛(𝑛-3)<br>2<br>. Wielokątem<br>wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest<br>A. siedmiokąt.<br>B. dziesięciokąt.<br>C. dwunastokąt.<br>D. piętnastokąt.<br>Rozwiązanie zadania. W każdym n-kącie wypukłym (n≥3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest A. siedmiokąt. B. dziesięciokąt. C. dwunastokąt. D. piętnastokąt.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>3.4) rozwiązuje równania kwadratowe<br>z jedną niewiadomą.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A: B<br>Wersja B: B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - dziesięciokąt</h4>\n<h4>Sposób 1 - Równanie kwadratowe</h4>\n<p><strong>Zapisujemy warunek zadania jako równanie.</strong></p>\n<p>Liczba przekątnych \\(n\\)-kąta: \\(\\dfrac{n(n-3)}{2}\\)</p>\n<p>Liczba boków: \\(n\\)</p>\n<p>Warunek &quot;liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków&quot;:<br>\\[\\frac{n(n-3)}{2} = n + 25\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez 2:<br>\\[n(n-3) = 2n + 50\\]<br>\\[n^2 - 3n = 2n + 50\\]<br>\\[n^2 - 5n - 50 = 0\\]</p>\n<p>Wyróżnik: \\(\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-50) = 25 + 200 = 225\\)</p>\n<p>\\[\\sqrt{\\Delta} = 15\\]</p>\n<p>\\[n = \\frac{5 \\pm 15}{2}\\]</p>\n<p>Dwa rozwiązania:<br>\\[n_1 = \\frac{5 + 15}{2} = 10, \\qquad n_2 = \\frac{5 - 15}{2} = -5\\]</p>\n<p>Odrzucamy \\(n_2 = -5\\), bo liczba boków musi być naturalną liczbą \\(\\geq 3\\).</p>\n<p><strong>Zatem szukany wielokąt to dziesięciokąt (\\(n = 10\\)).</strong></p>\n<p>Sprawdzenie: przekątne = \\(\\dfrac{10 \\cdot 7}{2} = 35\\), boki = \\(10\\), różnica = \\(35 - 10 = 25\\). ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi (metoda podstawienia)</h4>\n<p>Obliczamy dla każdego kandydata liczbę przekątnych i sprawdzamy, czy różnica z bokami wynosi 25:</p>\n<p>| Wielokąt | \\(n\\) | Przekątne \\(\\frac{n(n-3)}{2}\\) | Boki \\(n\\) | Różnica |<br>| Siedmiokąt | 7 | \\(\\frac{7 \\cdot 4}{2} = 14\\) | 7 | 7 ≠ 25 |<br>| <strong>Dziesięciokąt</strong> | <strong>10</strong> | \\(\\mathbf{\\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35}\\) | <strong>10</strong> | <strong>25 ✓</strong> |<br>| Dwunastokąt | 12 | \\(\\frac{12 \\cdot 9}{2} = 54\\) | 12 | 42 ≠ 25 |<br>| Piętnastokąt | 15 | \\(\\frac{15 \\cdot 12}{2} = 90\\) | 15 | 75 ≠ 25 |</p>\n<p>Tylko dziesięciokąt spełnia warunek zadania.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wzór na liczbę przekątnych \\(\\dfrac{n(n-3)}{2}\\) jest podany bezpośrednio w treści zadania. Do rozwiązania równania kwadratowego korzystamy ze wzorów z <strong>Działu 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)</strong>:</p>\n<p>\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]</p>\n<p>Tutaj: \\(a = 1\\), \\(b = -5\\), \\(c = -50\\), skąd \\(\\Delta = 25 + 200 = 225\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | \\(n\\) | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | 7 | Uczeń mógł podstawić \\(n = 7\\) i pomylić się w obliczeniach: \\(14 - 7 = 7\\), ale warunek to 25, nie 7 |<br>| C | 12 | Błąd przy rozwiązaniu równania: np. wyznaczono \\(\\Delta = 225\\), ale wzięto \\(\\sqrt{\\Delta} = 13\\) zamiast \\(15\\) |<br>| D | 15 | Uczeń mógł przestawić warunek - szukał wielokąta, gdzie to boki są o 25 większe od przekątnych (odwrotnie) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek &quot;A jest o 25 większe od B&quot; to \\(A = B + 25\\), nie \\(B = A + 25\\). Odwrócenie tego warunku daje \\(n = 15\\) - typowa pułapka w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po rozwiązaniu równania kwadratowego zawsze odrzucaj rozwiązania ujemne lub nienaturalne - \\(n\\) musi być liczbą całkowitą \\(\\geq 3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić wzór - przekątna to odcinek łączący dwa <em>niesąsiednie</em> wierzchołki. Dla \\(n\\)-kąta każdy wierzchołek jest połączony z \\(n - 3\\) innymi wierzchołkami przekątnymi (odejmujemy 2 sąsiednie i siebie), stąd \\(\\frac{n(n-3)}{2}\\) (dzielimy przez 2 bo każdą przekątną liczymy podwójnie).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Równanie</h5>\n<p>\\(\\dfrac{n(n-3)}{2} = n + 25 \\; | \\cdot 2\\)<br>\\(n(n-3) = 2n + 50\\)<br>\\(n^2 - 3n - 2n - 50 = 0\\)<br>\\(n^2 - 5n - 50 = 0\\)<br>\\(\\Delta = 25 + 200 = 225, \\sqrt{\\Delta} = 15\\).<br>\\(n = \\dfrac{5 + 15}{2} = 10\\) (odrzucamy \\(n = -5\\)).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie dziesięciokąta</h5>\n<p>\\(n = 10\\): liczba przekątnych \\(= \\dfrac{10\\cdot 7}{2} = 35\\), \\(35 - 10 = 25\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(n=7\\):</strong> \\(\\tfrac{7\\cdot 4}{2} = 14\\), \\(14-7 = 7 \\ne 25\\).</li><li><strong>C. \\(n=12\\):</strong> \\(\\tfrac{12\\cdot 9}{2} = 54\\), \\(54-12 = 42 \\ne 25\\).</li><li><strong>D. \\(n=15\\):</strong> \\(\\tfrac{15\\cdot 12}{2} = 90\\), \\(90-15 = 75 \\ne 25\\).</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie wzoru na liczbę przekątnych wielokąta i rozwiązywanie równania</h5>\n<p>Ten sposób opiera się na bezpośrednim zastosowaniu wzoru na liczbę przekątnych wielokąta i rozwiązaniu powstałego równania.</p>\n<ol><li><strong>Wzór na liczbę przekątnych:</strong> Liczba przekątnych wielokąta o <em>n</em> bokach wynosi:</li></ol>\n<p>\\[P = \\frac{n(n-3)}{2}\\]<br>📖 Karta wzorów: s.4, strona 4</p>\n<ol><li><strong>Zadanie mówi, że liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków:</strong> Oznacza to, że:</li></ol>\n<p>\\[\\frac{n(n-3)}{2} = n + 25\\]</p>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie równania:</strong></li></ol>\n<ul><li>Pomnóż obie strony przez 2: \\(n(n-3) = 2n + 50\\)</li><li>Rozwiń lewą stronę: \\(n^2 - 3n = 2n + 50\\)</li><li>Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę: \\(n^2 - 5n - 50 = 0\\)</li><li>Rozwiąż równanie kwadratowe. Można użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:</li></ul>\n<p>\\[n = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]<br>W naszym przypadku: \\(a = 1\\), \\(b = -5\\), \\(c = -50\\)<br>\\[n = \\frac{5 \\pm \\sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-50)}}{2(1)} = \\frac{5 \\pm \\sqrt{25 + 200}}{2} = \\frac{5 \\pm \\sqrt{225}}{2} = \\frac{5 \\pm 15}{2}\\]<br>Dzielimy przez 2, otrzymujemy dwa rozwiązania:</p>\n<ul><li>\\(n_1 = \\frac{5 + 15}{2} = \\frac{20}{2} = 10\\)</li><li>\\(n_2 = \\frac{5 - 15}{2} = \\frac{-10}{2} = -5\\)</li></ul>\n<p>Ponieważ liczba boków wielokąta musi być liczbą naturalną większą niż lub równą 3, wybieramy rozwiązanie \\(n = 10\\).</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na liczbę przekątnych i manipulacja równaniem</h5>\n<p>Ten sposób polega na bezpośrednim zastosowaniu wzoru na przekątne i manipulacji równaniem, aby wyznaczyć <em>n</em>.</p>\n<ol><li><strong>Wzór na przekątne:</strong> Jak w sposobie 1, \\(P = \\frac{n(n-3)}{2}\\)</li><li><strong>Zadanie:</strong> \\(P = n + 25\\)</li><li><strong>Podstawienie:</strong> Podstawiamy wzór na przekątne do zadania: \\(\\frac{n(n-3)}{2} = n + 25\\)</li><li><strong>Rozwiązanie:</strong> \\(n(n-3) = 2n + 50\\) (jak w sposobie 1)</li><li><strong>Rozwinięcie i rozwiązanie:</strong> \\(n^2 - 3n = 2n + 50\\) =&gt; \\(n^2 - 5n - 50 = 0\\) =&gt; \\(n = 10\\) (jak w sposobie 1)</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.4, strona 4</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. siedmiokąt:</strong> Jeśli \\(n = 7\\), to liczba przekątnych wynosi \\(\\frac{7(7-3)}{2} = \\frac{7 \\cdot 4}{2} = 14\\). A \\(n + 25 = 7 + 25 = 32\\). To nie pasuje.</li><li><strong>C. dwunastokąt:</strong> Jeśli \\(n = 12\\), to liczba przekątnych wynosi \\(\\frac{12(12-3)}{2} = \\frac{12 \\cdot 9}{2} = 54\\). A \\(n + 25 = 12 + 25 = 37\\). To nie pasuje.</li><li><strong>D. piętnastokąt:</strong> Jeśli \\(n = 15\\), to liczba przekątnych wynosi \\(\\frac{15(15-3)}{2} = \\frac{15 \\cdot 12}{2} = 90\\). A \\(n + 25 = 15 + 25 = 40\\). To nie pasuje.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, otrzymujmy z $\\displaystyle {\\small\\frac{n(n-3)}{2}}=n+25$ równanie $n^2-5n-50=0$, stąd $n=-5$ lub $n=10$, czyli jest to dziesięciokąt.</p>"}]}