{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1) (N)\nPole figury 𝐹ଵ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe\npolu figury 𝐹ଶ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości 𝑟 (zobacz\nrysunek).\nFigura 𝐹ଵ\nFigura 𝐹ଶ\nDługość 𝑟 promienia jest równa\nA. √3\nB. 2\nC. √5\nD. 3\n𝐵\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n𝛽\n3\n1\n𝑟\n𝑟\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Pole figury F1 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury F2 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości r (zobacz rysunek). Figura F1. Figura F2. Długość r promienia jest równa √3 B. 2 C. √5 D. 3.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG10.6) oblicza pole koła […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: C\nWersja B: D","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(r = \\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie pól kół\n\n**Zauważamy:** Figury \\(F_1\\) i \\(F_2\\) to po prostu dwa koła każda. \"Figury złożone ze stycznych zewnętrznie kół\" to suma pól tych kół - styczne zewnętrznie koła zachodzą na siebie tylko w jednym punkcie, który ma miarę zero i nie wpływa na pole.\n\n**Krok 1.** Oblicz pole figury \\(F_1\\) (koła o promieniach \\(1\\) i \\(3\\)):\n\\[P_{F_1} = \\pi \\cdot 1^2 + \\pi \\cdot 3^2 = \\pi + 9\\pi = 10\\pi\\]\n\n**Krok 2.** Oblicz pole figury \\(F_2\\) (dwa koła o promieniu \\(r\\)):\n\\[P_{F_2} = \\pi r^2 + \\pi r^2 = 2\\pi r^2\\]\n\n**Krok 3.** Przyrównaj pola:\n\\[P_{F_1} = P_{F_2}\\]\n\\[10\\pi = 2\\pi r^2\\]\n\n**Krok 4.** Podziel obie strony przez \\(2\\pi\\):\n\\[r^2 = \\frac{10\\pi}{2\\pi} = 5\\]\n\n**Krok 5.** Wyciągnij pierwiastek (promień musi być dodatni):\n\\[r = \\sqrt{5}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(r = \\sqrt{5}\\) faktycznie daje równość pól.\n\n**F1:**\n\\[P_{F_1} = \\pi \\cdot 1^2 + \\pi \\cdot 3^2 = \\pi(1 + 9) = 10\\pi\\]\n\n**F2 dla \\(r = \\sqrt{5}\\):**\n\\[P_{F_2} = 2 \\cdot \\pi \\cdot (\\sqrt{5})^2 = 2 \\cdot \\pi \\cdot 5 = 10\\pi\\]\n\n**Wynik:** \\(P_{F_1} = P_{F_2} = 10\\pi\\) ✓\n\nMożemy też sprawdzić pozostałe odpowiedzi dla pewności:\n- \\(r = \\sqrt{3}\\): \\(P = 2\\pi \\cdot 3 = 6\\pi \\neq 10\\pi\\)\n- \\(r = 2\\): \\(P = 2\\pi \\cdot 4 = 8\\pi \\neq 10\\pi\\)\n- \\(r = 3\\): \\(P = 2\\pi \\cdot 9 = 18\\pi \\neq 10\\pi\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - pole koła o promieniu \\(r\\):\n\\[P = \\pi r^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru do obliczenia pola każdego z kół w \\(F_1\\) i \\(F_2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A. \\(\\sqrt{3}\\) | Uczeń mógł policzyć: \\(r^2 = \\frac{1+3}{2} \\cdot \\frac{\\pi}{\\pi}\\) - błędna \"średnia\" promieni zamiast równania pól |\n| B. \\(2\\) | Uczeń bierze \"średnią arytmetyczną\" promieni: \\(\\frac{1+3}{2} = 2\\) - to intuicyjne, ale matematycznie niepoprawne |\n| D. \\(3\\) | Uczeń utożsamia \\(r\\) z największym promieniem z \\(F_1\\), ignorując, że \\(F_2\\) ma **dwa** koła o tym promieniu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Figury złożone ze stycznych kół\" to nie jeden obszar - to suma pól dwóch osobnych kół. Koła dotykają się tylko w **jednym punkcie**, który nie ma powierzchni.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że \\(F_2\\) to **dwa** koła o promieniu \\(r\\), więc pole to \\(2\\pi r^2\\), a nie \\(\\pi r^2\\). To jest kluczowy krok.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(r^2 = 5\\) daje \\(r = \\sqrt{5}\\), **nie** \\(r = \\sqrt{5/2}\\). Upewnij się, że dzielisz \\(10\\pi\\) przez cały współczynnik \\(2\\pi\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Równość pól\nPole \\(F_1 = \\pi\\cdot 1^2 + \\pi\\cdot 3^2 = \\pi + 9\\pi = 10\\pi\\).\nPole \\(F_2 = 2\\pi r^2\\).\n\\(2\\pi r^2 = 10\\pi \\Rightarrow r^2 = 5 \\Rightarrow r = \\sqrt{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sqrt{3}\\)** - \\(2\\pi \\cdot 3 = 6\\pi \\ne 10\\pi\\).\n- **B. \\(2\\)** - \\(2\\pi \\cdot 4 = 8\\pi \\ne 10\\pi\\).\n- **D. \\(3\\)** - \\(2\\pi \\cdot 9 = 18\\pi \\ne 10\\pi\\).\n\n**Zasada:** pole koła \\(= \\pi r^2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pól kół i ich suma\n\n1. **Obliczenie pola figury F₁:** Figura F₁ składa się z dwóch kół o promieniach 1 i 3. Pole koła o promieniu *r* to πr². Zatem pole figury F₁ to:\n\\[P_1 = \\pi(1)^2 + \\pi(3)^2 = \\pi + 9\\pi = 10\\pi\\]\n📖 Karta wzorów: s.18: P=πr², strona 1\n\n2. **Obliczenie pola figury F₂:** Figura F₂ składa się z dwóch kół o promieniu *r*. Zatem pole figury F₂ to:\n\\[P_2 = \\pi r^2 + \\pi r^2 = 2\\pi r^2\\]\n\n3. **Ustalenie równości pól:** Z treści zadania wiemy, że *P₁ = P₂*. Zatem:\n\\[10\\pi = 2\\pi r^2\\]\n\n4. **Rozwiązanie równania:** Podziel obie strony przez 2π:\n\\[r^2 = 5\\]\n\\[r = \\sqrt{5}\\]\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na pole koła i równość pól\n\n1. **Zauważenie równości pól:** Z treści zadania wiemy, że pole figury F1 jest równe polu figury F2.\n\n2. **Wyrażenie pól w zależności od promieni:**\n* Pole koła o promieniu 1: π * 1² = π\n* Pole koła o promieniu 3: π * 3² = 9π\n* Pole koła o promieniu r: π * r²\n\n3. **Zapisanie równości pól:**\nPole figury F1 = pole koła o promieniu 1 + pole koła o promieniu 3\nPole figury F2 = pole koła o promieniu r + pole koła o promieniu r\n\n4. **Ustalenie równości:**\nπ + 9π = πr² + πr²\n10π = 2πr²\n\n5. **Rozwiązanie równania:** Jak w sposobie 1, dzielimy przez 2π:\nr² = 5\nr = √5\n\n📖 Karta wzorów: s.18: P=πr², strona 1\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(\\sqrt{3}\\)**: W tym przypadku *r* nie byłoby równe √3, a obliczenia nie prowadziłyby do prawidłowego wyniku.\n* **B. 2**: To wartość promienia, ale nie jest rozwiązaniem równania, które otrzymaliśmy.\n* **D. 3**: To wartość promienia, ale nie jest rozwiązaniem równania, które otrzymaliśmy.\n\nMam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe!","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (0-1) (N)
Pole figury 𝐹ଵ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe
polu figury 𝐹ଶ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości 𝑟 (zobacz
rysunek).
Figura 𝐹ଵ
Figura 𝐹ଶ
Długość 𝑟 promienia jest równa
A. √3
B. 2
C. √5
D. 3
𝐵
𝐴
𝐶
𝐷
𝛼
𝛽
3
1
𝑟
𝑟

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Pole figury F1 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury F2 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości r (zobacz rysunek). Figura F1. Figura F2. Długość r promienia jest równa √3 B. 2 C. √5 D. 3.

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
G10.6) oblicza pole koła […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A: C
Wersja B: D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(r = \\sqrt{5}\\)

\n

Sposób 1 - Równanie pól kół

\n

Zauważamy: Figury \\(F_1\\) i \\(F_2\\) to po prostu dwa koła każda. "Figury złożone ze stycznych zewnętrznie kół" to suma pól tych kół - styczne zewnętrznie koła zachodzą na siebie tylko w jednym punkcie, który ma miarę zero i nie wpływa na pole.

\n

Krok 1. Oblicz pole figury \\(F_1\\) (koła o promieniach \\(1\\) i \\(3\\)):
\\[P_{F_1} = \\pi \\cdot 1^2 + \\pi \\cdot 3^2 = \\pi + 9\\pi = 10\\pi\\]

\n

Krok 2. Oblicz pole figury \\(F_2\\) (dwa koła o promieniu \\(r\\)):
\\[P_{F_2} = \\pi r^2 + \\pi r^2 = 2\\pi r^2\\]

\n

Krok 3. Przyrównaj pola:
\\[P_{F_1} = P_{F_2}\\]
\\[10\\pi = 2\\pi r^2\\]

\n

Krok 4. Podziel obie strony przez \\(2\\pi\\):
\\[r^2 = \\frac{10\\pi}{2\\pi} = 5\\]

\n

Krok 5. Wyciągnij pierwiastek (promień musi być dodatni):
\\[r = \\sqrt{5}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy \\(r = \\sqrt{5}\\) faktycznie daje równość pól.

\n

F1:
\\[P_{F_1} = \\pi \\cdot 1^2 + \\pi \\cdot 3^2 = \\pi(1 + 9) = 10\\pi\\]

\n

F2 dla \\(r = \\sqrt{5}\\):
\\[P_{F_2} = 2 \\cdot \\pi \\cdot (\\sqrt{5})^2 = 2 \\cdot \\pi \\cdot 5 = 10\\pi\\]

\n

Wynik: \\(P_{F_1} = P_{F_2} = 10\\pi\\) ✓

\n

Możemy też sprawdzić pozostałe odpowiedzi dla pewności:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 18) - pole koła o promieniu \\(r\\):
\\[P = \\pi r^2\\]
Użyliśmy tego wzoru do obliczenia pola każdego z kół w \\(F_1\\) i \\(F_2\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A. \\(\\sqrt{3}\\) | Uczeń mógł policzyć: \\(r^2 = \\frac{1+3}{2} \\cdot \\frac{\\pi}{\\pi}\\) - błędna "średnia" promieni zamiast równania pól |
| B. \\(2\\) | Uczeń bierze "średnią arytmetyczną" promieni: \\(\\frac{1+3}{2} = 2\\) - to intuicyjne, ale matematycznie niepoprawne |
| D. \\(3\\) | Uczeń utożsamia \\(r\\) z największym promieniem z \\(F_1\\), ignorując, że \\(F_2\\) ma dwa koła o tym promieniu |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: "Figury złożone ze stycznych kół" to nie jeden obszar - to suma pól dwóch osobnych kół. Koła dotykają się tylko w jednym punkcie, który nie ma powierzchni.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć, że \\(F_2\\) to dwa koła o promieniu \\(r\\), więc pole to \\(2\\pi r^2\\), a nie \\(\\pi r^2\\). To jest kluczowy krok.
\n
⚠️ Uwaga: \\(r^2 = 5\\) daje \\(r = \\sqrt{5}\\), nie \\(r = \\sqrt{5/2}\\). Upewnij się, że dzielisz \\(10\\pi\\) przez cały współczynnik \\(2\\pi\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Równość pól
\n

Pole \\(F_1 = \\pi\\cdot 1^2 + \\pi\\cdot 3^2 = \\pi + 9\\pi = 10\\pi\\).
Pole \\(F_2 = 2\\pi r^2\\).
\\(2\\pi r^2 = 10\\pi \\Rightarrow r^2 = 5 \\Rightarrow r = \\sqrt{5}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: pole koła \\(= \\pi r^2\\).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Obliczenie pól kół i ich suma
\n
  1. Obliczenie pola figury F₁: Figura F₁ składa się z dwóch kół o promieniach 1 i 3. Pole koła o promieniu r to πr². Zatem pole figury F₁ to:
\n

\\[P_1 = \\pi(1)^2 + \\pi(3)^2 = \\pi + 9\\pi = 10\\pi\\]
📖 Karta wzorów: s.18: P=πr², strona 1

\n
  1. Obliczenie pola figury F₂: Figura F₂ składa się z dwóch kół o promieniu r. Zatem pole figury F₂ to:
\n

\\[P_2 = \\pi r^2 + \\pi r^2 = 2\\pi r^2\\]

\n
  1. Ustalenie równości pól: Z treści zadania wiemy, że P₁ = P₂. Zatem:
\n

\\[10\\pi = 2\\pi r^2\\]

\n
  1. Rozwiązanie równania: Podziel obie strony przez 2π:
\n

\\[r^2 = 5\\]
\\[r = \\sqrt{5}\\]

\n
Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na pole koła i równość pól
\n
  1. Zauważenie równości pól: Z treści zadania wiemy, że pole figury F1 jest równe polu figury F2.
\n
  1. Wyrażenie pól w zależności od promieni:
\n\n
  1. Zapisanie równości pól:
\n

Pole figury F1 = pole koła o promieniu 1 + pole koła o promieniu 3
Pole figury F2 = pole koła o promieniu r + pole koła o promieniu r

\n
  1. Ustalenie równości:
\n

π + 9π = πr² + πr²
10π = 2πr²

\n
  1. Rozwiązanie równania: Jak w sposobie 1, dzielimy przez 2π:
\n

r² = 5
r = √5

\n

📖 Karta wzorów: s.18: P=πr², strona 1

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Mam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe!

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, pole figury $F_1$ to $P=\\pi\\cdot1^2+\\pi\\cdot3^2=10\\pi$ stąd dla $F_2$ to oznacza $2\\pi r^2=10\\pi$, czyli $r^2=5$, a stąd $r=\\sqrt5$.

"}]}