Zadanie 25. (0-1) (20)
Punkt 𝐴= (3, -5) jest wierzchołkiem kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷, a punkt 𝑀= (1, 3) jest punktem
przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe
A. 68
B. 136
C. 2√34
D. 8√34
Rozwiązanie zadania. Punkt A=(3,-5) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD, a punkt M=(1,3) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu ABCD jest równe A. 68 B. 136 C. 2√34 D. 8√34
Zadanie 25. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
8.6) oblicza odległość dwóch punktów.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A: B
Wersja B: D
Kluczowa własność kwadratu: Przekątne kwadratu przecinają się w swoich środkach. Skoro \\(M\\) jest punktem przecięcia przekątnych, to \\(M\\) jest środkiem przekątnej \\(AC\\).
\nKrok 1: Znajdź wierzchołek \\(C\\).
\nSkoro \\(M = (1, 3)\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\), a \\(A = (3, -5)\\):
\\[x_M = \\frac{x_A + x_C}{2} \\implies 1 = \\frac{3 + x_C}{2} \\implies x_C = -1\\]
\\[y_M = \\frac{y_A + y_C}{2} \\implies 3 = \\frac{-5 + y_C}{2} \\implies y_C = 11\\]
Zatem \\(C = (-1,\\ 11)\\).
\nKrok 2: Oblicz długość przekątnej \\(AC\\).
\n\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \\sqrt{(-1-3)^2 + (11-(-5))^2}\\]
\\[|AC| = \\sqrt{(-4)^2 + 16^2} = \\sqrt{16 + 256} = \\sqrt{272}\\]
Krok 3: Pole kwadratu z przekątnej.
\nDla kwadratu o boku \\(a\\) zachodzi \\(d = a\\sqrt{2}\\), więc \\(a^2 = \\frac{d^2}{2}\\). Zatem:
\\[P = a^2 = \\frac{|AC|^2}{2} = \\frac{272}{2} = \\mathbf{136}\\]
Zamiast wyznaczać \\(C\\), wystarczy obliczyć odległość \\(|AM|\\) (to jest połowa przekątnej):
\n\\[|AM| = \\sqrt{(1-3)^2 + (3-(-5))^2} = \\sqrt{4 + 64} = \\sqrt{68}\\]
\nPełna przekątna: \\(d = 2\\sqrt{68}\\).
\nPole kwadratu:
\\[P = \\frac{d^2}{2} = \\frac{(2\\sqrt{68})^2}{2} = \\frac{4 \\cdot 68}{2} = \\frac{272}{2} = \\mathbf{136}\\]
Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)
\nDługość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyte do obliczenia \\(|AM|\\) i \\(|AC|\\).
Środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyte do wyznaczenia współrzędnych \\(C\\) (wiedząc, że \\(M\\) to środek \\(AC\\)).
| Odp. | Błąd |
| A - \\(68\\) | Policzono \\(\\|AM\\|^2 = 68\\), ale \\(\\|AM\\|\\) to połowa przekątnej. Zapomniano pomnożyć przez 4 (lub zapomniano, że \\(P = d^2/2\\), a nie \\((d/2)^2/2\\)). |
| C - \\(2\\sqrt{34}\\) | To jest długość boku kwadratu: \\(a = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{2\\sqrt{68}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{34}\\). Pomylono bok z polem. |
| D - \\(8\\sqrt{34}\\) | To jest obwód kwadratu: \\(4a = 4 \\cdot 2\\sqrt{34} = 8\\sqrt{34}\\). Pomylono obwód z polem. |
⚠️ Uwaga: Punkt \\(M\\) to środek każdej przekątnej kwadratu - nie tylko środek kwadratu „na oko". Trzeba użyć wzoru na środek odcinka, nie zgadywać.\n
⚠️ Uwaga: Pole kwadratu wyrażone przez przekątną to \\(P = \\frac{d^2}{2}\\), nie \\(d^2\\) ani \\(\\frac{d^2}{4}\\). Pamiętaj o tym wzorze - pochodzi z \\(a = \\frac{d}{\\sqrt{2}}\\), więc \\(P = a^2 = \\frac{d^2}{2}\\).\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zatrzymać się na wyniku \\(\\sqrt{68}\\) (długość \\(|AM|\\)) i błędnie uznać go za bok lub przekątną. Zawsze sprawdź, co właściwie wyznaczyłeś - czy to półprzekątna czy pełna przekątna.\n
Poprawna odpowiedź: B
\n\\(|AM| = \\sqrt{(3-1)^2 + (-5-3)^2} = \\sqrt{4 + 64} = \\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}\\).
Przekątna kwadratu: \\(d = 2|AM| = 4\\sqrt{17}\\).
Pole kwadratu przez przekątną: \\(P = \\dfrac{d^2}{2} = \\dfrac{16\\cdot 17}{2} = 8\\cdot 17 = 136\\).
\\(d = 4\\sqrt{17}\\), bok \\(a = \\dfrac{d}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{4\\sqrt{17}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{34}\\).
Pole: \\(a^2 = 4\\cdot 34 = 136\\).
Zasada: pole kwadratu przez przekątną \\(d\\): \\(P = \\dfrac{d^2}{2}\\).
\nPoprawna odpowiedź: B
\n\\[S = \\frac{1}{2} d^2\\]
Krok 1: Obliczamy długość przekątnej kwadratu ABCD. Punkt M jest środkiem przekątnej, więc odległość od M do wierzchołka A (czyli do punktu (3, -5)) jest połową długości przekątnej. Obliczamy odległość AM:
\\[AM = \\sqrt{(3-1)^2 + (-5-3)^2} = \\sqrt{2^2 + (-8)^2} = \\sqrt{4 + 64} = \\sqrt{68}\\]
Krok 2: Długość przekątnej kwadratu to 2 * AM, czyli:
\\[d = 2\\sqrt{68}\\]
Krok 3: Pole kwadratu obliczamy ze wzoru:
\\[S = \\frac{1}{2} d^2 = \\frac{1}{2} (2\\sqrt{68})^2 = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 68 = 2 \\cdot 68 = 136\\]
Wzór: \\(S = \\frac{1}{2} d^2\\), Karta wzorów: s.15, strona 15
Krok 1: Znajdujemy długość boku kwadratu. Współrzędne wierzchołka A to (3, -5), a współrzędne środka przekątnej M to (1, 3). Obliczamy odległość między punktami A i M.
\\[AM = \\sqrt{(3-1)^2 + (-5-3)^2} = \\sqrt{2^2 + (-8)^2} = \\sqrt{4 + 64} = \\sqrt{68}\\]
Krok 2: Długość boku kwadratu to AM, czyli a = \\(\\sqrt{68}\\).
Krok 3: Pole kwadratu obliczamy ze wzoru:
\\[S = a^2 = (\\sqrt{68})^2 = 68\\]
Wzór: \\(S = a^2\\), Karta wzorów: s.15, strona 15
Krótkie wyjaśnienie dlaczego inne odpowiedzi są błędne:
Odpowiedź A jest błędna, ponieważ pole kwadratu obliczone na podstawie długości przekątnej i środka przekątnej jest inne niż podane w zadaniu. Odpowiedź C i D nie wykorzystują kluczowej informacji, jaką jest położenie wierzchołka i środka przekątnej, co uniemożliwia poprawne obliczenie pola.
Poprawnie, odcinek $AM$ ma długość $2\\sqrt{17}$, co daje nam długość przekątnej $4\\sqrt{17}$. Stąd można obliczyć pole, bo kwadrat jest w szczególności rombem. Mamy $P=\\displaystyle{\\small\\frac{1}{2}}d^{2}={\\small\\frac{1}{2}}\\cdot(4\\sqrt{17})^2=136$.
"}]}