Zadanie 26. (0-1) (22zmie)
Z wierzchołków sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki.
Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, jest równe
A. 1
7
B. 4
7
C. 1
14
D. 3
7
Rozwiązanie zadania. Z wierzchołków sześcianu ABCDEFGH losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu ABCDEFGH, jest równe A. 1/7 B. 4/7 C. 1/14 D. 3/7.
Zadanie 26. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
10.2) oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Rozwiązanie
Wersja A: A
Wersja B: B
Krok 1: Ile jest wszystkich możliwych par wierzchołków?
\nSześcian ma \\(8\\) wierzchołków. Losujemy jednocześnie \\(2\\) różne wierzchołki - kolejność nie ma znaczenia, więc liczymy kombinacje:
\n\\[\\binom{8}{2} = \\frac{8 \\cdot 7}{2} = 28\\]
\nTo jest nasz zbiór zdarzeń elementarnych: \\(|\\Omega| = 28\\).
\nKrok 2: Ile sześcian ma przekątnych?
\nPrzekątna sześcianu (przestrzenna) to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki - taki, który przechodzi przez środek sześcianu.
\nNazwijmy wierzchołki standardowo: podstawa dolna \\(ABCD\\), podstawa górna \\(EFGH\\) (tak że \\(A\\) leży pod \\(E\\), \\(B\\) pod \\(F\\), itd.). Przekątne sześcianu to:
\nŁącznie: 4 przekątne sześcianu.
\nKrok 3: Obliczamy prawdopodobieństwo
\n\\[P = \\frac{\\text{liczba korzystnych par}}{\\text{wszystkie pary}} = \\frac{4}{28} = \\boxed{\\dfrac{1}{7}}\\]
\nUstalamy jeden wierzchołek, np. \\(A\\). Drugi wierzchołek losujemy spośród pozostałych \\(7\\).
\nIle z tych \\(7\\) wierzchołków jest końcem przekątnej wychodzącej z \\(A\\)? Dokładnie jeden (wierzchołek \\(G\\) - naprzeciwległy).
\n\\[P = \\frac{1}{7}\\]
\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓
\nDział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - symbol Newtona (kombinacje):
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyliśmy do policzenia liczby wszystkich par wierzchołków: \\(\\binom{8}{2} = 28\\).
Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Podstawa całego rozwiązania.
| Odp. | Błąd |
| B. \\(\\dfrac{4}{7}\\) | Pomylenie przekątnych sześcianu (4) z wszystkimi przekątnymi (przestrzennymi i ścianowymi razem): \\(4 + 12 = 16\\), stąd \\(\\frac{16}{28} = \\frac{4}{7}\\) |
| C. \\(\\dfrac{1}{14}\\) | Przyjęcie, że sześcian ma tylko 2 przekątne przestrzenne zamiast 4: \\(\\frac{2}{28} = \\frac{1}{14}\\) |
| D. \\(\\dfrac{3}{7}\\) | Policzono przekątne ścian zamiast sześcianu: każda z 6 ścian ma 2 przekątne, czyli \\(6 \\cdot 2 = 12\\) przekątnych ścianowych, a \\(\\frac{12}{28} = \\frac{3}{7}\\) |
⚠️ Uwaga: Sześcian ma trzy rodzaje odcinków między wierzchołkami: krawędzie (12), przekątne ścian (12) i przekątne przestrzenne (4). Tylko te ostatnie to „przekątne sześcianu" - nie mylić ich z przekątnymi ścian!\n
⚠️ Uwaga: Losowanie „jednocześnie" dwóch wierzchołków = kombinacje bez powtórzeń \\(\\binom{8}{2}\\), nie wariacje. Kolejność nie ma znaczenia, więc nie mnożymy przez 2.\n
⚠️ Uwaga: Łatwy błąd w Sposobie 1 to nieprawidłowe policzenie przekątnych. Pamiętaj: każda przekątna ma dwa końce, więc para \\(\\{A, G\\}\\) to jedna przekątna, nie dwie.\n
Poprawna odpowiedź: A
\nLiczba par różnych wierzchołków: \\(\\binom{8}{2} = 28\\).
Przekątne sześcianu (łączą przeciwległe wierzchołki): \\(4\\).
Prawdopodobieństwo: \\(\\dfrac{4}{28} = \\dfrac{1}{7}\\).
Z każdego wierzchołka wychodzi dokładnie 1 przekątna sześcianu (do przeciwległego). Każdą przekątną liczymy dwa razy, więc \\(\\dfrac{8\\cdot 1}{2} = 4\\) przekątne.
\nRozróżnienie: sześcian ma 12 krawędzi, 12 przekątnych ścian, 4 przekątne.
\nPoprawna odpowiedź: A
\nSześcian ma 8 wierzchołków. Wybieramy 2 z nich, więc liczba możliwości to kombinacja 8 po 2:
\\[
\\binom{8}{2} = \\frac{8!}{2!(8-2)!} = \\frac{8!}{2!6!} = \\frac{8 \\times 7}{2 \\times 1} = 28
\\]
Sześcian ma 4 przekątne. Każda przekątna ma 2 końce. Zatem jest 4 przekątne, a każdy z nich ma 2 końce. Zatem liczba sposobów wyciągnięcia dwóch końców przekątnej to 4.
\nPrawdopodobieństwo, że wierzchołki będą końcami przekątnej, to liczba sposobów wyciągnięcia dwóch końców przekątnej podzielona przez liczbę wszystkich możliwości wyciągnięcia dwóch wierzchołków:
\\[
P = \\frac{4}{28} = \\frac{1}{7}
\\]
📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka, strona 28
\nPrawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch wierzchołków z końców jednej przekątnej to:
\\[
P = \\frac{4 \\times 2}{28} = \\frac{8}{28} = \\frac{2}{7}
\\]
Jednakże, w tym sposobie, nie uwzględniamy, że wierzchołki muszą być różne. Zatem ten sposób jest błędny.
Prawdopodobieństwo, że wierzchołki będą końcami przekątnej, to liczba sposobów wyciągnięcia dwóch końców przekątnej podzielona przez liczbę wszystkich możliwości wyciągnięcia dwóch wierzchołków:
\\[
P = \\frac{4}{28} = \\frac{1}{7}
\\]
📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka, strona 28
\nW obu sposobach obliczamy prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch końców przekątnej, co jest celem zadania. W pierwszym sposobie, liczymy wszystkie możliwe kombinacje i prawdopodobieństwo, że wierzchołki będą końcami przekątnej. W drugim sposobie, liczymy prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch końców jednej przekątnej.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, aby obliczyć prawdopodobieństwo, musimy policzyć, że w sześcianie mamy $8$ wierzchołków i $4$ przekątne. Liczba sposobów wyboru $2$ różnych wierzchołków to $28$, a przekątne można wybrać na $4$ sposoby, więc prawdopodobieństwo wynosi $\\small\\frac{4}{28} = \\frac{1}{7}$.
"}]}