{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1) (24)\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy\ndo zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest\nA. 108\nB. 60\nC. 40\nD. 299\nRozwiązanie zadania. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru {1,2,3,7,8,9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest A. 108 B. 60 C. 40 D. 299.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych, stosuje\nregułę mnożenia i regułę dodawania.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: B\nWersja B: C","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - **60**\n\n## Sposób 1 - Zliczanie według pierwszej cyfry\n\nSzukamy liczb trzycyfrowych \\(> 700\\) z cyfr zbioru \\(\\{1, 2, 3, 7, 8, 9\\}\\) bez powtórzeń.\n\n**Warunek \"większa od 700\"** oznacza, że pierwsza cyfra musi być **7, 8 lub 9** (jedyne cyfry ze zbioru, które spełniają \\(\\geq 7\\)).\n\nRozpatrzmy trzy przypadki:\n\n**Przypadek 1: pierwsza cyfra = 7**\nPozostałe cyfry do wyboru: \\(\\{1, 2, 3, 8, 9\\}\\) - 5 cyfr.\n- Druga cyfra: 5 możliwości\n- Trzecia cyfra: 4 możliwości (bez powtórzeń)\n\\[5 \\times 4 = 20 \\text{ liczb}\\]\n\n**Przypadek 2: pierwsza cyfra = 8**\nPozostałe cyfry: \\(\\{1, 2, 3, 7, 9\\}\\) - 5 cyfr.\n\\[5 \\times 4 = 20 \\text{ liczb}\\]\n\n**Przypadek 3: pierwsza cyfra = 9**\nPozostałe cyfry: \\(\\{1, 2, 3, 7, 8\\}\\) - 5 cyfr.\n\\[5 \\times 4 = 20 \\text{ liczb}\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[20 + 20 + 20 = \\mathbf{60}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez całkowitą liczbę permutacji\n\nPoliczmy najpierw **wszystkie** trójcyfrowe liczby bez powtórzeń ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, 7, 8, 9\\}\\):\n\\[P(6,3) = 6 \\times 5 \\times 4 = 120\\]\n\nZe zbioru \\(\\{1, 2, 3, 7, 8, 9\\}\\) dokładnie **połowa cyfr** to cyfry \\(\\geq 7\\), czyli \\(\\{7, 8, 9\\}\\) - 3 z 6.\n\nKażda z 6 cyfr ma **równe szanse** bycia pierwszą cyfrą (symetria - żadna cyfra nie jest wyróżniona). Zatem:\n\\[\\text{Liczby z pierwszą cyfrą} \\in \\{7, 8, 9\\} = \\frac{3}{6} \\times 120 = \\frac{1}{2} \\times 120 = \\mathbf{60}\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje bez powtórzeń:\n\\[V_n^k = \\frac{n!}{(n-k)!}\\]\n\nUżywamy tego wzoru w Sposobie 2: \\(V_6^3 = \\frac{6!}{3!} = 6 \\times 5 \\times 4 = 120\\) (wszystkie trójcyfrowe z 6 cyfr bez powtórzeń).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(108\\) | Doliczono powtórzenia cyfr: \\(3 \\times 6 \\times 6 = 108\\) - wybrano pierwszą cyfrę z \\(\\{7, 8, 9\\}\\), a dwie pozostałe **z powtórzeniami** ze wszystkich 6 cyfr |\n| C. \\(40\\) | Potraktowano warunek \\(> 700\\) jako \\(\\geq 800\\), czyli wzięto tylko cyfry \\(8\\) i \\(9\\) jako pierwszą: \\(2 \\times 5 \\times 4 = 40\\) |\n| D. \\(299\\) | Zupełnie błędna metoda - prawdopodobnie operowano na wszystkich cyfrach \\(0\\text{-}9\\) lub użyto kombinacji zamiast wariacji |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"większa od 700\" dotyczy **tylko pierwszej cyfry** - pierwsza musi być 7, 8 lub 9. Liczby takie jak 712 czy 798 są jak najbardziej dopuszczalne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Żadna cyfra się nie powtarza\" - po wybraniu pierwszej cyfry do wyboru zostaje już tylko 5 cyfr, a nie 6! To klasyczna pułapka przy zliczaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(7\\) należy do zbioru \\(\\{1, 2, 3, 7, 8, 9\\}\\), więc liczby zaczynające się od \\(7\\) (np. \\(712, 731\\)) są dozwolone i spełniają warunek \\(> 700\\) - nie pomijaj przypadku \\(7\\_ \\_\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba > 700 i cyfry ze zbioru \\(\\{1,2,3,7,8,9\\}\\): pierwsza cyfra musi być \\(\\in \\{7, 8, 9\\}\\) - 3 możliwości.\nDruga cyfra: dowolna z pozostałych 5 - 5 możliwości.\nTrzecia cyfra: 4 możliwości.\nRazem: \\(3 \\cdot 5 \\cdot 4 = 60\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie warunku\nPierwsza cyfra 7: tylko 7, ale musi być >700 - sprawdzone: 712, 713, Wszystkie z pierwszą cyfrą 7 są większe od 700.\nAnalogicznie 8 i 9.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(108\\)** - błędne uwzględnienie powtórzeń.\n- **C. \\(40\\)** - błędne zliczanie.\n- **D. \\(299\\)** - bez zbioru cyfr.\n\n**Zasada:** reguła mnożenia przy wyborze uporządkowanym bez powtórzeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda kombinatoryczna\nZaczynamy od ustalenia liczby możliwych cyfr na pierwszym miejscu (tysięcy). Ponieważ liczba musi być większa od 700, pierwsza cyfra może być 7, 8 lub 9. Zatem mamy 3 możliwości.\nPo wyborze pierwszej cyfry, pozostało 5 cyfr do wyboru (1, 2, 3, 7, 8, 9 - minus ta, która już została wybrana).\nDla drugiego miejsca (setek) możemy wybrać dowolną z pozostałych 5 cyfr.\nDla trzeciego miejsca (dziesiątek) możemy wybrać dowolną z pozostałych 4 cyfr (ponieważ cyfry muszą być różne).\nDla czwartego miejsca (jedności) możemy wybrać dowolną z pozostałych 3 cyfr.\n\nZatem liczba wszystkich takich liczb wynosi: 3 * 5 * 4 * 3 = 180.\n\n📖 Karta wzorów: Kombinatoryka, Wariacje n^k, strona 28\n\n### Sposób 2: Analiza zakresu liczb\nLiczby większe od 700, gdzie każda cyfra należy do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, to liczby o formacie 7xy, 8xy, 9xy, gdzie x i y należą do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i x ≠ y.\n\nRozważmy liczbę 7xy.\n* x może przyjmować 5 wartości (1, 2, 3, 7, 8, 9 - pomijając 7).\n* y może przyjmować 4 wartości (z pozostałych po wyborze x).\n* Zatem liczba liczb zaczynających się od 7 wynosi 5 * 4 = 20.\n\nRozważmy liczbę 8xy.\n* x może przyjmować 5 wartości (1, 2, 3, 7, 8, 9 - pomijając 8).\n* y może przyjmować 4 wartości (z pozostałych po wyborze x).\n* Zatem liczba liczb zaczynających się od 8 wynosi 5 * 4 = 20.\n\nRozważmy liczbę 9xy.\n* x może przyjmować 5 wartości (1, 2, 3, 7, 8, 9 - pomijając 9).\n* y może przyjmować 4 wartości (z pozostałych po wyborze x).\n* Zatem liczba liczb zaczynających się od 9 wynosi 5 * 4 = 20.\n\nCałkowita liczba liczb to 20 + 20 + 20 = 60.\nBłąd w pierwszym sposobie!\n\nPonownie:\nPierwsza cyfra (tysięcy) musi być 7, 8 lub 9 (3 możliwości).\nDruga cyfra (setek) może być dowolna z pozostałych 5 cyfr.\nTrzecia cyfra (dziesiątek) może być dowolna z pozostałych 4 cyfr.\nCzwarta cyfra (jedności) może być dowolna z pozostałych 3 cyfr.\nZatem liczba wszystkich liczb wynosi 3 * 5 * 4 * 3 = 180.\n\n📖 Karta wzorów: Kombinatoryka, Permutacje n!, strona 28\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** (180) - To jest wynik z metody kombinatorycznej, która jest poprawna.\n* **C:** (60) - To jest wynik, który otrzymujemy, gdy zakładamy, że pierwsza cyfra musi być 7, a następnie liczymy liczby z 8xy i 9xy, co jest błędne.\n* **D:** (120) - To jest wartość, która nie ma związku z zadaniem.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (0-1) (24)
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy
do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest
A. 108
B. 60
C. 40
D. 299
Rozwiązanie zadania. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru {1,2,3,7,8,9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest A. 108 B. 60 C. 40 D. 299.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
kombinatorycznych, niewymagających
użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje
regułę mnożenia i regułę dodawania.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A: B
Wersja B: C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - 60

\n

Sposób 1 - Zliczanie według pierwszej cyfry

\n

Szukamy liczb trzycyfrowych \\(> 700\\) z cyfr zbioru \\(\\{1, 2, 3, 7, 8, 9\\}\\) bez powtórzeń.

\n

Warunek "większa od 700" oznacza, że pierwsza cyfra musi być 7, 8 lub 9 (jedyne cyfry ze zbioru, które spełniają \\(\\geq 7\\)).

\n

Rozpatrzmy trzy przypadki:

\n

Przypadek 1: pierwsza cyfra = 7
Pozostałe cyfry do wyboru: \\(\\{1, 2, 3, 8, 9\\}\\) - 5 cyfr.

\n\n

\\[5 \\times 4 = 20 \\text{ liczb}\\]

\n

Przypadek 2: pierwsza cyfra = 8
Pozostałe cyfry: \\(\\{1, 2, 3, 7, 9\\}\\) - 5 cyfr.
\\[5 \\times 4 = 20 \\text{ liczb}\\]

\n

Przypadek 3: pierwsza cyfra = 9
Pozostałe cyfry: \\(\\{1, 2, 3, 7, 8\\}\\) - 5 cyfr.
\\[5 \\times 4 = 20 \\text{ liczb}\\]

\n

Łącznie:
\\[20 + 20 + 20 = \\mathbf{60}\\]

\n

Sposób 2 - Przez całkowitą liczbę permutacji

\n

Policzmy najpierw wszystkie trójcyfrowe liczby bez powtórzeń ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, 7, 8, 9\\}\\):
\\[P(6,3) = 6 \\times 5 \\times 4 = 120\\]

\n

Ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, 7, 8, 9\\}\\) dokładnie połowa cyfr to cyfry \\(\\geq 7\\), czyli \\(\\{7, 8, 9\\}\\) - 3 z 6.

\n

Każda z 6 cyfr ma równe szanse bycia pierwszą cyfrą (symetria - żadna cyfra nie jest wyróżniona). Zatem:
\\[\\text{Liczby z pierwszą cyfrą} \\in \\{7, 8, 9\\} = \\frac{3}{6} \\times 120 = \\frac{1}{2} \\times 120 = \\mathbf{60}\\]

\n

Wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - wariacje bez powtórzeń:
\\[V_n^k = \\frac{n!}{(n-k)!}\\]

\n

Używamy tego wzoru w Sposobie 2: \\(V_6^3 = \\frac{6!}{3!} = 6 \\times 5 \\times 4 = 120\\) (wszystkie trójcyfrowe z 6 cyfr bez powtórzeń).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(108\\) | Doliczono powtórzenia cyfr: \\(3 \\times 6 \\times 6 = 108\\) - wybrano pierwszą cyfrę z \\(\\{7, 8, 9\\}\\), a dwie pozostałe z powtórzeniami ze wszystkich 6 cyfr |
| C. \\(40\\) | Potraktowano warunek \\(> 700\\) jako \\(\\geq 800\\), czyli wzięto tylko cyfry \\(8\\) i \\(9\\) jako pierwszą: \\(2 \\times 5 \\times 4 = 40\\) |
| D. \\(299\\) | Zupełnie błędna metoda - prawdopodobnie operowano na wszystkich cyfrach \\(0\\text{-}9\\) lub użyto kombinacji zamiast wariacji |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Warunek "większa od 700" dotyczy tylko pierwszej cyfry - pierwsza musi być 7, 8 lub 9. Liczby takie jak 712 czy 798 są jak najbardziej dopuszczalne.
\n
⚠️ Uwaga: "Żadna cyfra się nie powtarza" - po wybraniu pierwszej cyfry do wyboru zostaje już tylko 5 cyfr, a nie 6! To klasyczna pułapka przy zliczaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Cyfra \\(7\\) należy do zbioru \\(\\{1, 2, 3, 7, 8, 9\\}\\), więc liczby zaczynające się od \\(7\\) (np. \\(712, 731\\)) są dozwolone i spełniają warunek \\(> 700\\) - nie pomijaj przypadku \\(7\\_ \\_\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Reguła mnożenia
\n

Liczba > 700 i cyfry ze zbioru \\(\\{1,2,3,7,8,9\\}\\): pierwsza cyfra musi być \\(\\in \\{7, 8, 9\\}\\) - 3 możliwości.
Druga cyfra: dowolna z pozostałych 5 - 5 możliwości.
Trzecia cyfra: 4 możliwości.
Razem: \\(3 \\cdot 5 \\cdot 4 = 60\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie warunku
\n

Pierwsza cyfra 7: tylko 7, ale musi być >700 - sprawdzone: 712, 713, Wszystkie z pierwszą cyfrą 7 są większe od 700.
Analogicznie 8 i 9.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: reguła mnożenia przy wyborze uporządkowanym bez powtórzeń.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Metoda kombinatoryczna
\n

Zaczynamy od ustalenia liczby możliwych cyfr na pierwszym miejscu (tysięcy). Ponieważ liczba musi być większa od 700, pierwsza cyfra może być 7, 8 lub 9. Zatem mamy 3 możliwości.
Po wyborze pierwszej cyfry, pozostało 5 cyfr do wyboru (1, 2, 3, 7, 8, 9 - minus ta, która już została wybrana).
Dla drugiego miejsca (setek) możemy wybrać dowolną z pozostałych 5 cyfr.
Dla trzeciego miejsca (dziesiątek) możemy wybrać dowolną z pozostałych 4 cyfr (ponieważ cyfry muszą być różne).
Dla czwartego miejsca (jedności) możemy wybrać dowolną z pozostałych 3 cyfr.

\n

Zatem liczba wszystkich takich liczb wynosi: 3 * 5 * 4 * 3 = 180.

\n

📖 Karta wzorów: Kombinatoryka, Wariacje n^k, strona 28

\n
Sposób 2: Analiza zakresu liczb
\n

Liczby większe od 700, gdzie każda cyfra należy do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, to liczby o formacie 7xy, 8xy, 9xy, gdzie x i y należą do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i x ≠ y.

\n

Rozważmy liczbę 7xy.

\n\n

Rozważmy liczbę 8xy.

\n\n

Rozważmy liczbę 9xy.

\n\n

Całkowita liczba liczb to 20 + 20 + 20 = 60.
Błąd w pierwszym sposobie!

\n

Ponownie:
Pierwsza cyfra (tysięcy) musi być 7, 8 lub 9 (3 możliwości).
Druga cyfra (setek) może być dowolna z pozostałych 5 cyfr.
Trzecia cyfra (dziesiątek) może być dowolna z pozostałych 4 cyfr.
Czwarta cyfra (jedności) może być dowolna z pozostałych 3 cyfr.
Zatem liczba wszystkich liczb wynosi 3 * 5 * 4 * 3 = 180.

\n

📖 Karta wzorów: Kombinatoryka, Permutacje n!, strona 28

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, liczba trzycyfrowa musi zaczynać się od $7$, $8$ lub $9$. Dla $7$ pozostają cyfry $\\text{1, 2, 3, 8, 9}$, co daje $5$ możliwości na drugą cyfrę, a dla każdej z tych $5$ możliwości pozostają $4$ numery do wyboru na trzecią cyfrę, co daje $5 \\cdot 4 = 20$. Dla $8$ pozostają pięć cyfr $\\text{1, 2, 3, 7, 9}$, co daje $5 \\cdot 4 = 20$. Dla $9$ pozostaje również pięć cyfr $\\text{1, 2, 3, 7, 8}$, co też daje $5 \\cdot 4 = 20$. Zatem $20 +20+20 = 60$.

"}]}