{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2) (26)\nRozwiąż nierówność:\n𝑥ଶ-5𝑥≤14\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: x²-5x ≤ 14","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 -5𝑥-14.\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 𝑥2 -5𝑥-14 ≤0.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nobliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego 𝑥2 -5𝑥-14: 𝑥1 = -2 oraz\n𝑥2 = 7\nALBO\n\nodczyta z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -5𝑥-14 i zapisze miejsca zerowe 𝑥1 = -2\noraz 𝑥2 = 7\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz:\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-2, 7⟩ lub 𝑥∈⟨-2, 7⟩\nALBO\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\n-2\n7\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błąd (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż\npodany w zadaniu trójmian kwadratowy i obliczy/poda pierwiastki tego rozpatrywanego\ntrójmianu, to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Akceptujemy zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci ⟨7, -2⟩, to przyznajemy 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPierwszy etap rozwiązania\nZapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 -5𝑥-14 ≤0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n𝑥2 -5𝑥-14.\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 81 i stąd 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 7.\nALBO\nStosujemy wzory Viète’a:\n𝑥1 ⋅𝑥2 = -14 oraz 𝑥1 + 𝑥2 = 5, stąd 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 7.\nALBO\nPodajemy je bezpośrednio, zapisując pierwiastki trójmianu lub zaznaczając je na wykresie:\n𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 7.\nDrugi etap rozwiązania\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-2, 7⟩ lub 𝑥∈⟨-2, 7⟩ lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej\n-2\n7\n𝑥","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -2, 7 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznacznik i analiza paraboli\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[x^2 - 5x - 14 \\leq 0\\]\n\n**Szukamy miejsc zerowych trójmianu** \\(f(x) = x^2 - 5x - 14\\):\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-14) = 25 + 56 = 81\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 9\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{5 - 9}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{5 + 9}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\n**Analiza znaku paraboli:**\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana **ramionami w górę** - wyraz kwadratowy jest ujemny (lub zerowy) tylko **między** pierwiastkami.\n\n\\[f(x) \\leq 0 \\iff x \\in \\langle -2, 7 \\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\langle -2, 7 \\rangle\\)**\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez wyróżnika)\n\nSzukamy, jak rozłożyć \\(x^2 - 5x - 14\\) na czynniki liniowe.\n\nSzukamy dwóch liczb, których **suma wynosi \\(-5\\)** i **iloczyn wynosi \\(-14\\)**:\n\n\\[(-7) + 2 = -5 \\quad \\text{oraz} \\quad (-7) \\cdot 2 = -14\\]\n\nZatem:\n\n\\[x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\n\\[(x - 7)(x + 2) \\leq 0\\]\n\n**Analiza znaku iloczynu - kiedy iloczyn jest ujemny lub zerowy?**\n\nGdy jeden czynnik jest \\(\\leq 0\\), a drugi \\(\\geq 0\\):\n\n| Przedział | \\((x+2)\\) | \\((x-7)\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = -2\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-2 < x < 7\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x = 7\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 7\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 7 \\rangle\\).\n\n**Odpowiedź potwierdzona: \\(x \\in \\langle -2, 7 \\rangle\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków trójmianu \\(x^2 - 5x - 14\\), a następnie skorzystaliśmy z własności paraboli - dla \\(a > 0\\) trójmian jest ujemny między pierwiastkami.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, by najpierw przenieść \\(14\\) na lewą stronę - nierówności nie wolno rozwiązywać, gdy po prawej stronie stoi coś innego niż \\(0\\). Bezpośrednie wpisanie \\(x^2 - 5x \\leq 14\\) do wzoru na \\(\\Delta\\) jest błędem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla \\(a > 0\\) parabola jest **poniżej osi \\(x\\)** między pierwiastkami - stąd rozwiązaniem jest **przedział domknięty** \\(\\langle x_1, x_2 \\rangle\\). Gdyby \\(a < 0\\), byłoby odwrotnie (przedziały zewnętrzne). Nie myl tych dwóch przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **nieostro** (\\(\\leq\\)), więc końce przedziału \\(x = -2\\) i \\(x = 7\\) **należą** do rozwiązania - przedział jest domknięty \\(\\langle -2, 7 \\rangle\\), nie otwarty \\((-2, 7)\\).\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\langle -2, 7\\rangle\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik\nPrzekształcamy: \\(x^2 - 5x - 14 \\le 0\\).\nWyróżnik trójmianu: \\(\\Delta = 25 + 56 = 81\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 9\\).\nPierwiastki: \\(x_1 = \\dfrac{5-9}{2} = -2\\), \\(x_2 = \\dfrac{5+9}{2} = 7\\).\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\) (ramiona w górę), nierówność \\(\\le 0\\) zachodzi między pierwiastkami:\n\\[x \\in \\langle -2, 7\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nZakładając, że \\(x_1 x_2 = -14\\) oraz \\(x_1 + x_2 = 5\\), znajdujemy pierwiastki zgadując: \\(-2\\) i \\(7\\).\n\n### Sposób 3 - Rozkład\n\\(x^2 - 5x - 14 = (x+2)(x-7)\\). Warunek \\((x+2)(x-7) \\le 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 7\\rangle\\).\n\n### Ilustracja graficzna\nParabola \\(y = x^2 - 5x - 14\\) z pierwiastkami \\(-2\\) i \\(7\\), ramiona w górę - nierówność \\(\\le 0\\) oznacza część pod osią \\(OX\\) wraz z końcami.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za obliczenie pierwiastków \\(x_1 = -2, x_2 = 7\\).\n- 2 pkt za podanie pełnego zbioru: \\(\\langle -2, 7\\rangle\\).\n\n**Klucz:** klamrowe nawiasy \\(\\langle\\rangle\\) oznaczają, że końce \\(-2\\) i \\(7\\) należą do zbioru rozwiązań (bo \\(\\le\\), nie \\(<\\)).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-2) (26)
Rozwiąż nierówność:
𝑥ଶ-5𝑥≤14
Odpowiedź:

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: x²-5x ≤ 14

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe
z jedną niewiadomą.
Zasady oceniania
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 -5𝑥-14.
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 𝑥2 -5𝑥-14 ≤0.
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego 𝑥2 -5𝑥-14: 𝑥1 = -2 oraz
𝑥2 = 7
ALBO

odczyta z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -5𝑥-14 i zapisze miejsca zerowe 𝑥1 = -2
oraz 𝑥2 = 7
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz:

poda zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-2, 7⟩ lub 𝑥∈⟨-2, 7⟩
ALBO

poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
-2
7
𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błąd (ale otrzyma
\n

dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie
\n

obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż
\n

podany w zadaniu trójmian kwadratowy i obliczy/poda pierwiastki tego rozpatrywanego
trójmianu, to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Akceptujemy zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są
\n

liczbami wymiernymi.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci ⟨7, -2⟩, to przyznajemy 2 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Pierwszy etap rozwiązania
Zapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 -5𝑥-14 ≤0 i obliczamy pierwiastki trójmianu
𝑥2 -5𝑥-14.
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 81 i stąd 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 7.
ALBO
Stosujemy wzory Viète’a:
𝑥1 ⋅𝑥2 = -14 oraz 𝑥1 + 𝑥2 = 5, stąd 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 7.
ALBO
Podajemy je bezpośrednio, zapisując pierwiastki trójmianu lub zaznaczając je na wykresie:
𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 7.
Drugi etap rozwiązania
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-2, 7⟩ lub 𝑥∈⟨-2, 7⟩ lub zaznaczamy zbiór
rozwiązań na osi liczbowej
-2
7
𝑥

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -2, 7 \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - Wyznacznik i analiza paraboli

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[x^2 - 5x - 14 \\leq 0\\]

\n

Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(f(x) = x^2 - 5x - 14\\):

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-14) = 25 + 56 = 81\\]

\n

\\[\\sqrt{\\Delta} = 9\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{5 - 9}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{5 + 9}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]

\n

Analiza znaku paraboli:

\n

Współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę - wyraz kwadratowy jest ujemny (lub zerowy) tylko między pierwiastkami.

\n

\\[f(x) \\leq 0 \\iff x \\in \\langle -2, 7 \\rangle\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\langle -2, 7 \\rangle\\)

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez wyróżnika)

\n

Szukamy, jak rozłożyć \\(x^2 - 5x - 14\\) na czynniki liniowe.

\n

Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(-5\\) i iloczyn wynosi \\(-14\\):

\n

\\[(-7) + 2 = -5 \\quad \\text{oraz} \\quad (-7) \\cdot 2 = -14\\]

\n

Zatem:

\n

\\[x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)\\]

\n

Nierówność przyjmuje postać:

\n

\\[(x - 7)(x + 2) \\leq 0\\]

\n

Analiza znaku iloczynu - kiedy iloczyn jest ujemny lub zerowy?

\n

Gdy jeden czynnik jest \\(\\leq 0\\), a drugi \\(\\geq 0\\):

\n

| Przedział | \\((x+2)\\) | \\((x-7)\\) | Iloczyn |
| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(x = -2\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(-2 < x < 7\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(x = 7\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 7\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 7 \\rangle\\).

\n

Odpowiedź potwierdzona: \\(x \\in \\langle -2, 7 \\rangle\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]

\n

\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków trójmianu \\(x^2 - 5x - 14\\), a następnie skorzystaliśmy z własności paraboli - dla \\(a > 0\\) trójmian jest ujemny między pierwiastkami.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, by najpierw przenieść \\(14\\) na lewą stronę - nierówności nie wolno rozwiązywać, gdy po prawej stronie stoi coś innego niż \\(0\\). Bezpośrednie wpisanie \\(x^2 - 5x \\leq 14\\) do wzoru na \\(\\Delta\\) jest błędem!
\n
⚠️ Uwaga: Dla \\(a > 0\\) parabola jest poniżej osi \\(x\\) między pierwiastkami - stąd rozwiązaniem jest przedział domknięty \\(\\langle x_1, x_2 \\rangle\\). Gdyby \\(a < 0\\), byłoby odwrotnie (przedziały zewnętrzne). Nie myl tych dwóch przypadków!
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest nieostro (\\(\\leq\\)), więc końce przedziału \\(x = -2\\) i \\(x = 7\\) należą do rozwiązania - przedział jest domknięty \\(\\langle -2, 7 \\rangle\\), nie otwarty \\((-2, 7)\\).
\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\langle -2, 7\\rangle\\)

\n
Sposób 1 - Wyróżnik
\n

Przekształcamy: \\(x^2 - 5x - 14 \\le 0\\).
Wyróżnik trójmianu: \\(\\Delta = 25 + 56 = 81\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 9\\).
Pierwiastki: \\(x_1 = \\dfrac{5-9}{2} = -2\\), \\(x_2 = \\dfrac{5+9}{2} = 7\\).
Ponieważ \\(a = 1 > 0\\) (ramiona w górę), nierówność \\(\\le 0\\) zachodzi między pierwiastkami:
\\[x \\in \\langle -2, 7\\rangle.\\]

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Zakładając, że \\(x_1 x_2 = -14\\) oraz \\(x_1 + x_2 = 5\\), znajdujemy pierwiastki zgadując: \\(-2\\) i \\(7\\).

\n
Sposób 3 - Rozkład
\n

\\(x^2 - 5x - 14 = (x+2)(x-7)\\). Warunek \\((x+2)(x-7) \\le 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 7\\rangle\\).

\n
Ilustracja graficzna
\n

Parabola \\(y = x^2 - 5x - 14\\) z pierwiastkami \\(-2\\) i \\(7\\), ramiona w górę - nierówność \\(\\le 0\\) oznacza część pod osią \\(OX\\) wraz z końcami.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Klucz: klamrowe nawiasy \\(\\langle\\rangle\\) oznaczają, że końce \\(-2\\) i \\(7\\) należą do zbioru rozwiązań (bo \\(\\le\\), nie \\(<\\)).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\langle -2, 7 \\rangle$

"}]}