{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nRozważamy przedziały liczbowe (-∞, 5) i ⟨-1, +∞). Ile jest wszystkich liczb całkowitych,\nktóre należą jednocześnie do obu rozważanych przedziałów?\nA. 6\nB. 5\nC. 4\nD. 7","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.7) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego, zaznacza przedziały na osi\nliczbowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: A\nWersja B: B","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (6)\n\n## Sposób 1 - Część wspólna przedziałów\n\nSzukamy liczb, które należą **jednocześnie** do obu przedziałów - czyli szukamy ich **części wspólnej** (iloczynu).\n\n**Przedział 1:** \\((-\\infty, 5)\\) - wszystkie liczby mniejsze od 5 (5 **nie** należy)\n\n**Przedział 2:** \\(\\langle-1, +\\infty)\\) - wszystkie liczby większe lub równe \\(-1\\) (\\(-1\\) **należy**)\n\nCzęść wspólna to liczby spełniające **oba** warunki jednocześnie:\n\\[x < 5 \\quad \\text{i} \\quad x \\geq -1\\]\n\nZapisujemy jako jeden przedział:\n\\[\\langle -1, 5)\\]\n\nTeraz wypisujemy wszystkie **liczby całkowite** z przedziału \\(\\langle -1, 5)\\):\n\n\\[-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4\\]\n\n**Razem: 6 liczb całkowitych.**\n\n## Sposób 2 - Metoda graficzna (oś liczbowa)\n\nZaznaczamy oba przedziały na osi liczbowej:\n\nPrzedział 1: ●=====================================> (nie ma 5)\n-1 0 1 2 3 4 5\nPrzedział 2: <===========================●=====> (-1 należy)\n\nCzęść wspólna:\n●==================================)\n-1 0 1 2 3 4 5\n\n- Lewa granica: \\(-1\\) - ze skobą domkniętą (bo \\(\\langle-1, +\\infty)\\) zawiera \\(-1\\))\n- Prawa granica: \\(5\\) - ze skobą otwartą (bo \\((-\\infty, 5)\\) nie zawiera \\(5\\))\n\nCałkowite w \\(\\langle -1, 5)\\): liczymy od \\(-1\\) do \\(4\\) włącznie:\n\\[-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4 \\quad \\Rightarrow \\quad \\mathbf{6 \\text{ liczb}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przedziału i pojęcie części wspólnej zbiorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. 5 | Pominięto \\(-1\\) - bo granica lewego przedziału jest otwarta, uczeń myśli że \\(\\langle-1,+\\infty)\\) też ją wyklucza |\n| C. 4 | Pominięto zarówno \\(-1\\), jak i \\(0\\), lub liczono tylko \\(1, 2, 3, 4\\) |\n| D. 7 | Zaliczono \\(5\\) do zbioru - bo prawa granica \\((-\\infty, 5)\\) jest **otwarta**, więc \\(5\\) **nie należy** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skobka okrągła \\((\\) lub \\()\\) oznacza granicę **wykluczoną** (przedział otwarty), a skobka kwadratowa \\(\\langle\\) lub \\(\\rangle\\) - granicę **włączoną** (przedział domknięty). To tu najczęściej gubią się punkty!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu liczb całkowitych w przedziale \\(\\langle a, b)\\) liczymy \\(b - a\\) liczb (tu: \\(5 - (-1) = 6\\)). Szybki wzór działa tylko gdy obie granice są całkowite i lewa jest domknięta, prawa otwarta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\langle -1, +\\infty)\\) z \\((-1, +\\infty)\\) - w tym zadaniu \\(-1\\) **należy** do przedziału (skobka kwadratowa po lewej), co daje nam dodatkową liczbę całkowitą.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn przedziałów\nCzęść wspólna: \\((-\\infty, 5) \\cap \\langle-1, +\\infty) = \\langle -1, 5)\\).\nLiczby całkowite należące: \\(-1, 0, 1, 2, 3, 4\\) - razem \\(6\\) liczb.\n\n### Sposób 2 - Ręczne sprawdzenie\n\\(-1\\) ∈ \\(\\langle-1,+\\infty)\\) (zamknięty z lewej) oraz ∈ \\((-\\infty,5)\\). ✓\n\\(4\\) ∈ obu. ✓, ale \\(5 \\notin (-\\infty, 5)\\) (otwarty z prawej). ✗\nCałkowite: \\(\\{-1,0,1,2,3,4\\}\\) = \\(6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(5\\)** - pominięto \\(-1\\) lub \\(0\\).\n- **C. \\(4\\)** - pominięto kilka liczb.\n- **D. \\(7\\)** - dołączono \\(5\\) lub \\(-2\\) niesłusznie.\n\n**Uwaga:** klamry \\(\\langle\\rangle\\) oznaczają przedział domknięty, nawias \\(()\\) - otwarty.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza przedziałów\nRozważmy przedział (-\\(\\infty\\), 5). Oznacza to, że wszystkie liczby mniejsze od 5, włącznie z 5, należą do tego przedziału. Zatem, liczba całkowitych w tym przedziale to wszystkie liczby całkowite mniejsze od 5, czyli , 3, 2, 1, 0.\n\nTeraz rozważmy przedział ⟨-1, +\\(\\infty\\)) . Oznacza to, że wszystkie liczby większe lub równe -1, włącznie z -1, należą do tego przedziału. Zatem, liczba całkowitych w tym przedziale to , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,\n\nAby znaleźć liczby, które należą jednocześnie do obu przedziałów, musimy znaleźć liczby, które spełniają *oba* warunki. Oznacza to, że liczba musi być większa lub równa -1 *i* mniejsza lub równa 5. Zatem, liczba musi leżeć w przedziale [-1, 5].\n\nLiczby całkowite w tym przedziale to: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Liczba tych liczb to 7. Jednakże, w zadaniu podano, że prawidłowa odpowiedź to A (6). Sprawdzamy jeszcze raz.\n\nZ przedziału (-\\(\\infty\\), 5) liczby całkowite to: , -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.\nZ przedziału ⟨-1, +\\(\\infty\\)) liczby całkowite to: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,\n\nLiczby wspólne to: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jest ich 7. Widać, że popełniono błąd w interpretacji przedziału (-\\(\\infty\\), 5). Zatem, liczba elementów wspólnych to 7.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna: |x|)\n\n### Sposób 2: Przedziały na osi liczbowej\nNarysujmy przedziały na osi liczbowej.\nPrzedział (-\\(\\infty\\), 5) oznacza wszystkie liczby mniejsze od 5, włącznie z 5.\nPrzedział ⟨-1, +\\(\\infty\\)) oznacza wszystkie liczby większe lub równe -1, włącznie z -1.\n\nTeraz szukamy obszaru, gdzie oba przedziały się przecinają. Ten obszar to przedział od -1 do 5 (włącznie).\nLiczby całkowite w tym przedziale to: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.\nLiczba tych liczb to 7.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15 (Pitagoras: a²+b²=c²) - (nie używamy tego wzoru bezpośrednio, ale ilustruje to, że szukamy obszaru na osi liczbowej).\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 5:** Zliczenie liczb całkowitych w przedziale (-1, 5) daje 6, a nie 5.\n* **C. 4:** Zliczenie liczb całkowitych w przedziale (-1, 5) daje 7, a nie 4.\n* **D. 7:** To jest prawidłowa odpowiedź, którą wyliczyliśmy.\n\nW obu sposobach otrzymujemy 7. Prawdopodobnie w zadaniu jest błąd. Jeśli przedziałem byłby (-\\(\\infty\\), 4) i ⟨-1, +\\(\\infty\\)), to liczby wspólne to -1, 0, 1, 2, 3, 4, czyli 6.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Rozważamy przedziały liczbowe (-∞, 5) i ⟨-1, +∞). Ile jest wszystkich liczb całkowitych,
które należą jednocześnie do obu rozważanych przedziałów?
A. 6
B. 5
C. 4
D. 7

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
1.7) posługuje się pojęciem przedziału
liczbowego, zaznacza przedziały na osi
liczbowej.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A: A
Wersja B: B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A (6)

\n

Sposób 1 - Część wspólna przedziałów

\n

Szukamy liczb, które należą jednocześnie do obu przedziałów - czyli szukamy ich części wspólnej (iloczynu).

\n

Przedział 1: \\((-\\infty, 5)\\) - wszystkie liczby mniejsze od 5 (5 nie należy)

\n

Przedział 2: \\(\\langle-1, +\\infty)\\) - wszystkie liczby większe lub równe \\(-1\\) (\\(-1\\) należy)

\n

Część wspólna to liczby spełniające oba warunki jednocześnie:
\\[x < 5 \\quad \\text{i} \\quad x \\geq -1\\]

\n

Zapisujemy jako jeden przedział:
\\[\\langle -1, 5)\\]

\n

Teraz wypisujemy wszystkie liczby całkowite z przedziału \\(\\langle -1, 5)\\):

\n

\\[-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4\\]

\n

Razem: 6 liczb całkowitych.

\n

Sposób 2 - Metoda graficzna (oś liczbowa)

\n

Zaznaczamy oba przedziały na osi liczbowej:

\n

Przedział 1: ●=====================================> (nie ma 5)
-1 0 1 2 3 4 5
Przedział 2: <===========================●=====> (-1 należy)

\n

Część wspólna:
●==================================)
-1 0 1 2 3 4 5

\n\n

Całkowite w \\(\\langle -1, 5)\\): liczymy od \\(-1\\) do \\(4\\) włącznie:
\\[-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4 \\quad \\Rightarrow \\quad \\mathbf{6 \\text{ liczb}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przedziału i pojęcie części wspólnej zbiorów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B. 5 | Pominięto \\(-1\\) - bo granica lewego przedziału jest otwarta, uczeń myśli że \\(\\langle-1,+\\infty)\\) też ją wyklucza |
| C. 4 | Pominięto zarówno \\(-1\\), jak i \\(0\\), lub liczono tylko \\(1, 2, 3, 4\\) |
| D. 7 | Zaliczono \\(5\\) do zbioru - bo prawa granica \\((-\\infty, 5)\\) jest otwarta, więc \\(5\\) nie należy |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Skobka okrągła \\((\\) lub \\()\\) oznacza granicę wykluczoną (przedział otwarty), a skobka kwadratowa \\(\\langle\\) lub \\(\\rangle\\) - granicę włączoną (przedział domknięty). To tu najczęściej gubią się punkty!
\n
⚠️ Uwaga: Przy liczeniu liczb całkowitych w przedziale \\(\\langle a, b)\\) liczymy \\(b - a\\) liczb (tu: \\(5 - (-1) = 6\\)). Szybki wzór działa tylko gdy obie granice są całkowite i lewa jest domknięta, prawa otwarta.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić \\(\\langle -1, +\\infty)\\) z \\((-1, +\\infty)\\) - w tym zadaniu \\(-1\\) należy do przedziału (skobka kwadratowa po lewej), co daje nam dodatkową liczbę całkowitą.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Iloczyn przedziałów
\n

Część wspólna: \\((-\\infty, 5) \\cap \\langle-1, +\\infty) = \\langle -1, 5)\\).
Liczby całkowite należące: \\(-1, 0, 1, 2, 3, 4\\) - razem \\(6\\) liczb.

\n
Sposób 2 - Ręczne sprawdzenie
\n

\\(-1\\) ∈ \\(\\langle-1,+\\infty)\\) (zamknięty z lewej) oraz ∈ \\((-\\infty,5)\\). ✓
\\(4\\) ∈ obu. ✓, ale \\(5 \\notin (-\\infty, 5)\\) (otwarty z prawej). ✗
Całkowite: \\(\\{-1,0,1,2,3,4\\}\\) = \\(6\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Uwaga: klamry \\(\\langle\\rangle\\) oznaczają przedział domknięty, nawias \\(()\\) - otwarty.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Analiza przedziałów
\n

Rozważmy przedział (-\\(\\infty\\), 5). Oznacza to, że wszystkie liczby mniejsze od 5, włącznie z 5, należą do tego przedziału. Zatem, liczba całkowitych w tym przedziale to wszystkie liczby całkowite mniejsze od 5, czyli , 3, 2, 1, 0.

\n

Teraz rozważmy przedział ⟨-1, +\\(\\infty\\)) . Oznacza to, że wszystkie liczby większe lub równe -1, włącznie z -1, należą do tego przedziału. Zatem, liczba całkowitych w tym przedziale to , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,

\n

Aby znaleźć liczby, które należą jednocześnie do obu przedziałów, musimy znaleźć liczby, które spełniają oba warunki. Oznacza to, że liczba musi być większa lub równa -1 i mniejsza lub równa 5. Zatem, liczba musi leżeć w przedziale [-1, 5].

\n

Liczby całkowite w tym przedziale to: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Liczba tych liczb to 7. Jednakże, w zadaniu podano, że prawidłowa odpowiedź to A (6). Sprawdzamy jeszcze raz.

\n

Z przedziału (-\\(\\infty\\), 5) liczby całkowite to: , -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Z przedziału ⟨-1, +\\(\\infty\\)) liczby całkowite to: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

\n

Liczby wspólne to: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jest ich 7. Widać, że popełniono błąd w interpretacji przedziału (-\\(\\infty\\), 5). Zatem, liczba elementów wspólnych to 7.

\n

📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna: |x|)

\n
Sposób 2: Przedziały na osi liczbowej
\n

Narysujmy przedziały na osi liczbowej.
Przedział (-\\(\\infty\\), 5) oznacza wszystkie liczby mniejsze od 5, włącznie z 5.
Przedział ⟨-1, +\\(\\infty\\)) oznacza wszystkie liczby większe lub równe -1, włącznie z -1.

\n

Teraz szukamy obszaru, gdzie oba przedziały się przecinają. Ten obszar to przedział od -1 do 5 (włącznie).
Liczby całkowite w tym przedziale to: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Liczba tych liczb to 7.

\n

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15 (Pitagoras: a²+b²=c²) - (nie używamy tego wzoru bezpośrednio, ale ilustruje to, że szukamy obszaru na osi liczbowej).

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach otrzymujemy 7. Prawdopodobnie w zadaniu jest błąd. Jeśli przedziałem byłby (-\\(\\infty\\), 4) i ⟨-1, +\\(\\infty\\)), to liczby wspólne to -1, 0, 1, 2, 3, 4, czyli 6.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, rozważamy część wspólną przedziałów, czyli przedział $\\langle 1,5)$. Zawiera liczby całkowite: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$, co daje $6$ liczb.

"}]}