{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2) (27)\nWykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb 𝑎, 𝑏 i 𝑐 takich, że 𝑎< 𝑏, spełniona jest\nnierówność\n𝑎\n𝑏< 𝑎+ 𝑐\n𝑏+ 𝑐\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n29.\n30.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a, b i c takich, że a < b, spełniona jest nierówność a/b < a+c / b+c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG6.4) dodaje i odejmuje sumy\nalgebraiczne;\nG6.5) mnoży jednomiany, mnoży sumę\nalgebraiczną przez jednomian oraz,\nw nietrudnych przypadkach, mnoży sumy\nalgebraiczne.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nprzekształci nierówność 𝑎\n𝑏< 𝑎+𝐶\n𝑏+𝐶 do postaci równoważnej, z której można\nprzeprowadzić bezpośrednie wnioskowanie o prawdziwości tezy,\nnp. 1) 𝑐(𝑎-𝑏)\n𝑏(𝑏+𝑐) < 0 lub 2) 𝑐(𝑎-𝑏) < 0 lub 3) 𝑐𝑎< 𝑐𝑏 lub 4) 𝑎-𝑏\n𝑏\n< 𝑎-𝑏\n𝑏+𝑐\nALBO\n\nprzekształci nierówność 𝑎< 𝑏 do postaci równoważnej 𝑎(𝑏+ 𝑐) < 𝑏(𝑎+ 𝑐)\nALBO\n\nprzeprowadzając dowód nie wprost, przekształci nierówność 𝑎\n𝑏≥𝑎+𝐶\n𝑏+𝐶 (która jest\nzaprzeczeniem tezy) do postaci 𝑎𝑐≥𝑏𝑐\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie - zdający musi spełnić warunki określone w zasadach\noceniania za 1 punkt oraz:\n\nwykorzystać założenie 𝑎< 𝑏 w sytuacjach 1), 2), 3) określonych w pierwszym\npunktorze zasad oceniania za 1 punkt\nALBO\n\nwykorzystać założenie 𝑎< 𝑏 i porównać ułamki w sytuacji określonej jako 4)\nw pierwszym punktorze zasad oceniania za 1 punkt\nALBO\n\nprzeprowadzając dowód wprost, doprowadzić nierówność 𝑎< 𝑏 do tezy\nALBO\n\nprzeprowadzając dowód nie wprost, doprowadzić nierówność 𝑎\n𝑏≥𝑎+𝐶\n𝑏+𝐶 do postaci\n𝑎≥𝑏 i stwierdzić sprzeczność z założeniem 𝑎< 𝑏.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze błędne założenia, z których korzysta (np. gdy dzieli nierówność\nobustronnie przez 𝑐, przy zapisie 𝑐≥0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 1 punkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy jedynie dla wybranych wartości 𝑎, 𝑏, 𝑐, to za\ncałe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZ założenia wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi i 𝑎< 𝑏.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎\n𝑏< 𝑎+𝑐\n𝑏+𝑐 :\n𝑎\n𝑏-𝑎+ 𝑐\n𝑏+ 𝑐< 0\n𝑎(𝑏+ 𝑐) -𝑏(𝑎+ 𝑐)\n𝑏(𝑏+ 𝑐)\n< 0\n𝑎(𝑏+ 𝑐) -𝑏(𝑎+ 𝑐)\n𝑏(𝑏+ 𝑐)\n< 0\n𝑎𝑏+ 𝑎𝑐-𝑎𝑏-𝑏𝑐\n𝑏(𝑏+ 𝑐)\n< 0\n𝑎𝑐-𝑏𝑐\n𝑏(𝑏+ 𝑐) < 0\n𝑐(𝑎-𝑏)\n𝑏(𝑏+ 𝑐) < 0\nZ założenia liczby 𝑏 i 𝑐 są dodatnie, więc 𝑏(𝑏+ 𝑐) > 0.\nZ założenia 𝑐 jest dodatnia i 𝑎-𝑏< 0, więc 𝑐(𝑎-𝑏) < 0.\nZatem 𝑐(𝑎-𝑏)\n𝑏(𝑏+𝑐) jest liczbą ujemną (jako iloraz liczby ujemnej i dodatniej), czyli nierówność\n𝑐(𝑎-𝑏)\n𝑏(𝑏+𝑐) < 0 jest prawdziwa. To należało wykazać.\nSposób 2.\nZ założenia wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi i 𝑎< 𝑏.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎\n𝑏< 𝑎+𝑐\n𝑏+𝑐 :\n𝑎\n𝑏-𝑎+ 𝑐\n𝑏+ 𝑐< 0 /⋅𝑏(𝑏+ 𝑐)\n(zwrot nierówności nie zmieni się, gdyż 𝑏⋅(𝑏+ 𝑐) > 0)\n𝑎(𝑏+ 𝑐) -𝑏(𝑎+ 𝑐) < 0\n𝑎𝑏+ 𝑎𝑐-𝑎𝑏-𝑏𝑐< 0\n𝑐(𝑎-𝑏) < 0\nZ założenia 𝑐> 0 oraz 𝑎-𝑏< 0 , więc 𝑐(𝑎-𝑏) < 0.\nZatem nierówność 𝑎\n𝑏< 𝑎+𝑐\n𝑏+𝑐 jest prawdziwa. To należało wykazać.\nSposób 3.\nZ założenia wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi i 𝑎< 𝑏.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎\n𝑏< 𝑎+𝑐\n𝑏+𝑐 :\n𝑎\n𝑏< 𝑎+ 𝑐\n𝑏+ 𝑐 /⋅𝑏(𝑏+ 𝑐)\n(zwrot nierówności nie zmieni się, gdyż 𝑏⋅(𝑏+ 𝑐) > 0)\n𝑎(𝑏+ 𝑐) < 𝑏(𝑎+ 𝑐)\n𝑎𝑏+ 𝑎𝑐< 𝑎𝑏+ 𝑏𝑐\n𝑎𝑐< 𝑏𝑐\nZ założenia 𝑐> 0, więc otrzymujemy 𝑎< 𝑏, co jest prawdą.\nZatem nierówność 𝑎\n𝑏< 𝑎+𝑐\n𝑏+𝑐 jest prawdziwa. To należało wykazać.\nSposób 4.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎\n𝑏< 𝑎+𝑐\n𝑏+𝑐 :\n𝑎\n𝑏-1 < 𝑎+ 𝑐\n𝑏+ 𝑐-1\n𝑎-𝑏\n𝑏\n< 𝑎+ 𝑐-𝑏-𝑐\n𝑏+ 𝑐\n𝑎-𝑏\n𝑏\n< 𝑎-𝑏\n𝑏+ 𝑐\nZ założenia 𝑎 i b są liczbami dodatnimi oraz 𝑎< 𝑏, więc liczniki ułamków 𝑎-𝑏\n𝑏 oraz 𝑎-𝑏\n𝑏+𝑐\nsą równe i ujemne. Ponadto ich mianowniki są dodatnie i mianownik ułamka 𝑎-𝑏\n𝑏+𝑐 jest większy\nod mianownika ułamka 𝑎-𝑏\n𝑏 , więc 𝑎-𝑏\n𝑏+𝑐< 𝑎-𝑏\n𝑏 . To oznacza, że nierówność 𝑎\n𝑏< 𝑎+𝑐\n𝑏+𝑐 jest\nprawdziwa.\nSposób 5.\nZ założenia wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi oraz\nspełniona jest nierówność\n𝑎< 𝑏\nTę nierówność przekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno następujące nierówności:\n𝑎𝑐< 𝑏𝑐\n𝑎𝑏+ 𝑎𝑐< 𝑎𝑏+ 𝑏𝑐\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎(𝑏+ 𝑐) < 𝑏(𝑎+ 𝑐)\nDzielimy tę nierówność stronami przez liczbę dodatnią 𝑏(𝑏+ 𝑐) i otrzymujemy\n𝑎\n𝑏< 𝑎+ 𝑐\n𝑏+ 𝑐\nTo należało wykazać.\nSposób 6. (dowód nie wprost)\nZ założenia wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi oraz 𝑎< 𝑏.\nZałóżmy, nie wprost, że 𝑎\n𝑏≥𝑎+𝑐\n𝑏+𝑐 .\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎\n𝑏≥𝑎+𝑐\n𝑏+𝑐 :\n𝑎\n𝑏≥𝑎+ 𝑐\n𝑏+ 𝑐 /∙𝑏(𝑏+ 𝑐)\nPonieważ 𝑏(𝑏+ 𝑐) > 0, więc otrzymujemy dalej\n𝑎(𝑏+ 𝑐) ≥𝑏(𝑎+ 𝑐)\n𝑎𝑏+ 𝑎𝑐≥𝑎𝑏+ 𝑏𝑐\n𝑎𝑐≥𝑏𝑐\n𝑎≥𝑏\nco jest sprzeczne z założeniem, że 𝑎< 𝑏. To kończy dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód nierówności\n\n**Teza:** Dla każdych \\(a, b, c > 0\\) takich, że \\(a < b\\), zachodzi \\(\\dfrac{a}{b} < \\dfrac{a+c}{b+c}\\).\n\n## Sposób 1 - Mnożenie krzyżowe (sprowadzenie do równoważnej nierówności)\n\n**Obserwacja kluczowa:** Ponieważ \\(b > 0\\) oraz \\(b + c > 0\\) (suma liczb dodatnich), możemy bezpiecznie pomnożyć obie strony przez \\(b(b+c) > 0\\) - nierówność **nie zmienia zwrotu**.\n\nNierówność do udowodnienia jest równoważna kolejnym:\n\n\\[\n\\frac{a}{b} < \\frac{a+c}{b+c}\n\\]\n\n\\[\n\\iff \\quad a \\cdot (b+c) < b \\cdot (a+c) \\qquad [\\text{mnożymy przez } b(b+c) > 0]\n\\]\n\n\\[\n\\iff \\quad ab + ac < ab + bc\n\\]\n\n\\[\n\\iff \\quad ac < bc\n\\]\n\n\\[\n\\iff \\quad a < b \\qquad [\\text{dzielimy przez } c > 0]\n\\]\n\nOstatnia nierówność \\(a < b\\) jest **spełniona z założenia**. Ponieważ każdy krok był równoważnością (symbole \\(\\iff\\)), a ostatnie zdanie jest prawdziwe, pierwsze również jest prawdziwe. \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie oszacowanie różnicy\n\nPokazujemy, że różnica prawej i lewej strony jest **dodatnia**.\n\n\\[\n\\frac{a+c}{b+c} - \\frac{a}{b} = \\frac{b(a+c) - a(b+c)}{b(b+c)}\n\\]\n\nLicznik:\n\n\\[\nb(a+c) - a(b+c) = ab + bc - ab - ac = bc - ac = c(b-a)\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\n\\frac{a+c}{b+c} - \\frac{a}{b} = \\frac{c(b-a)}{b(b+c)}\n\\]\n\nTeraz oceniamy znak:\n- **Licznik:** \\(c > 0\\) z założenia, \\(b - a > 0\\) bo \\(a < b\\) - zatem \\(c(b-a) > 0\\)\n- **Mianownik:** \\(b > 0\\) i \\(b+c > 0\\) - zatem \\(b(b+c) > 0\\)\n\nCały ułamek jest **ilorazem dwóch liczb dodatnich**, więc:\n\n\\[\n\\frac{a+c}{b+c} - \\frac{a}{b} > 0 \\implies \\frac{a}{b} < \\frac{a+c}{b+c} \\qquad \\square\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym dowodzie nie używamy żadnych wzorów z karty CKE - wystarczą własności nierówności i działań na ułamkach (znak iloczynu/ilorazu, mnożenie nierówności przez liczbę dodatnią), które są elementarną algebrą.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno mnożyć przez wyrażenie, nie wiedząc czy jest dodatnie! Tu kluczowe jest, że \\(b > 0\\) i \\(b + c > 0\\) - wynika to z założenia o dodatniości. Gdyby znaki były nieznane, krok mnożenia krzyżowego byłby niedozwolony.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Niektórzy próbują „skrócić\" ułamek \\(\\frac{a+c}{b+c}\\) przez \\(c\\) - to błąd. Skracać można tylko wspólne czynniki, a nie wyrazy sumy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 używamy równoważności (\\(\\iff\\)), a nie tylko implikacji (\\(\\implies\\)). Samo pokazanie, że z tezy wynika coś prawdziwego, nie jest dowodem - trzeba zadbać o zwrotność wszystkich kroków (tu każde przejście jest mnożeniem/dzieleniem przez dodatnią liczbę, więc równoważność jest zachowana).\n\n**Dowód:**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie równoważne\nBadamy różnicę:\n\\[\\dfrac{a+c}{b+c} - \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{b(a+c) - a(b+c)}{b(b+c)} = \\dfrac{ab + bc - ab - ac}{b(b+c)} = \\dfrac{c(b-a)}{b(b+c)}.\\]\nZ założenia \\(a < b\\), więc \\(b - a > 0\\). \\(b, c > 0\\), więc \\(b(b+c) > 0\\) i \\(c > 0\\).\nLicznik \\(c(b-a) > 0\\), mianownik \\(b(b+c) > 0\\), więc cała różnica dodatnia:\n\\[\\dfrac{a+c}{b+c} - \\dfrac{a}{b} > 0 \\iff \\dfrac{a}{b} < \\dfrac{a+c}{b+c}. \\quad\\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Mnożenie obustronne\nZ założenia \\(b > 0\\) i \\(b+c > 0\\), więc \\(b(b+c) > 0\\).\nMnożymy \\(\\dfrac{a}{b} < \\dfrac{a+c}{b+c}\\) obustronnie przez \\(b(b+c) > 0\\) (zwrot zachowany):\n\\(a(b+c) < b(a+c)\\)\n\\(ab + ac < ab + bc\\)\n\\(ac < bc\\)\nDzielimy przez \\(c > 0\\): \\(a < b\\) - zgodne z założeniem.\nPonieważ przekształcenia były równoważne, teza jest prawdziwa. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 - Dowód nie wprost\nZałóżmy przeciwnie: \\(\\dfrac{a}{b} \\ge \\dfrac{a+c}{b+c}\\).\nMnożąc obie strony przez \\(b(b+c) > 0\\): \\(a(b+c) \\ge b(a+c)\\), skąd \\(ac \\ge bc\\), więc (dzieląc przez \\(c > 0\\)) \\(a \\ge b\\) - sprzeczność z \\(a < b\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za przekształcenie do postaci równoważnej z której wynika teza (np. \\(ac < bc\\) lub \\(\\frac{c(b-a)}{b(b+c)} > 0\\)).\n- 2 pkt za pełne rozumowanie z wykorzystaniem założenia \\(a < b\\) oraz uzasadnienie znaku mianownika.\n\n**Klucz:** sprowadzenie nierówności z ułamkami do prostszej nierówności liniowej przez przemnożenie przez wyrażenie o znanym znaku.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"algebra","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2) (27)<br>Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb 𝑎, 𝑏 i 𝑐 takich, że 𝑎&lt; 𝑏, spełniona jest<br>nierówność<br>𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+ 𝑐<br>𝑏+ 𝑐<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>29.<br>30.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a, b i c takich, że a &lt; b, spełniona jest nierówność a/b &lt; a+c / b+c.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>G6.4) dodaje i odejmuje sumy<br>algebraiczne;<br>G6.5) mnoży jednomiany, mnoży sumę<br>algebraiczną przez jednomian oraz,<br>w nietrudnych przypadkach, mnoży sumy<br>algebraiczne.<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br><br>przekształci nierówność 𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+𝐶<br>𝑏+𝐶 do postaci równoważnej, z której można<br>przeprowadzić bezpośrednie wnioskowanie o prawdziwości tezy,<br>np. 1) 𝑐(𝑎-𝑏)<br>𝑏(𝑏+𝑐) &lt; 0 lub 2) 𝑐(𝑎-𝑏) &lt; 0 lub 3) 𝑐𝑎&lt; 𝑐𝑏 lub 4) 𝑎-𝑏<br>𝑏<br>&lt; 𝑎-𝑏<br>𝑏+𝑐<br>ALBO<br><br>przekształci nierówność 𝑎&lt; 𝑏 do postaci równoważnej 𝑎(𝑏+ 𝑐) &lt; 𝑏(𝑎+ 𝑐)<br>ALBO<br><br>przeprowadzając dowód nie wprost, przekształci nierówność 𝑎<br>𝑏≥𝑎+𝐶<br>𝑏+𝐶 (która jest<br>zaprzeczeniem tezy) do postaci 𝑎𝑐≥𝑏𝑐<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy przeprowadzi pełne rozumowanie - zdający musi spełnić warunki określone w zasadach<br>oceniania za 1 punkt oraz:<br><br>wykorzystać założenie 𝑎&lt; 𝑏 w sytuacjach 1), 2), 3) określonych w pierwszym<br>punktorze zasad oceniania za 1 punkt<br>ALBO<br><br>wykorzystać założenie 𝑎&lt; 𝑏 i porównać ułamki w sytuacji określonej jako 4)<br>w pierwszym punktorze zasad oceniania za 1 punkt<br>ALBO<br><br>przeprowadzając dowód wprost, doprowadzić nierówność 𝑎&lt; 𝑏 do tezy<br>ALBO<br><br>przeprowadzając dowód nie wprost, doprowadzić nierówność 𝑎<br>𝑏≥𝑎+𝐶<br>𝑏+𝐶 do postaci<br>𝑎≥𝑏 i stwierdzić sprzeczność z założeniem 𝑎&lt; 𝑏.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze błędne założenia, z których korzysta (np. gdy dzieli nierówność</li></ol>\n<p>obustronnie przez 𝑐, przy zapisie 𝑐≥0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co<br>najwyżej 1 punkt.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy jedynie dla wybranych wartości 𝑎, 𝑏, 𝑐, to za</li></ol>\n<p>całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Z założenia wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi i 𝑎&lt; 𝑏.<br>Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+𝑐<br>𝑏+𝑐 :<br>𝑎<br>𝑏-𝑎+ 𝑐<br>𝑏+ 𝑐&lt; 0<br>𝑎(𝑏+ 𝑐) -𝑏(𝑎+ 𝑐)<br>𝑏(𝑏+ 𝑐)<br>&lt; 0<br>𝑎(𝑏+ 𝑐) -𝑏(𝑎+ 𝑐)<br>𝑏(𝑏+ 𝑐)<br>&lt; 0<br>𝑎𝑏+ 𝑎𝑐-𝑎𝑏-𝑏𝑐<br>𝑏(𝑏+ 𝑐)<br>&lt; 0<br>𝑎𝑐-𝑏𝑐<br>𝑏(𝑏+ 𝑐) &lt; 0<br>𝑐(𝑎-𝑏)<br>𝑏(𝑏+ 𝑐) &lt; 0<br>Z założenia liczby 𝑏 i 𝑐 są dodatnie, więc 𝑏(𝑏+ 𝑐) &gt; 0.<br>Z założenia 𝑐 jest dodatnia i 𝑎-𝑏&lt; 0, więc 𝑐(𝑎-𝑏) &lt; 0.<br>Zatem 𝑐(𝑎-𝑏)<br>𝑏(𝑏+𝑐) jest liczbą ujemną (jako iloraz liczby ujemnej i dodatniej), czyli nierówność<br>𝑐(𝑎-𝑏)<br>𝑏(𝑏+𝑐) &lt; 0 jest prawdziwa. To należało wykazać.<br>Sposób 2.<br>Z założenia wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi i 𝑎&lt; 𝑏.<br>Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+𝑐<br>𝑏+𝑐 :<br>𝑎<br>𝑏-𝑎+ 𝑐<br>𝑏+ 𝑐&lt; 0 /⋅𝑏(𝑏+ 𝑐)<br>(zwrot nierówności nie zmieni się, gdyż 𝑏⋅(𝑏+ 𝑐) &gt; 0)<br>𝑎(𝑏+ 𝑐) -𝑏(𝑎+ 𝑐) &lt; 0<br>𝑎𝑏+ 𝑎𝑐-𝑎𝑏-𝑏𝑐&lt; 0<br>𝑐(𝑎-𝑏) &lt; 0<br>Z założenia 𝑐&gt; 0 oraz 𝑎-𝑏&lt; 0 , więc 𝑐(𝑎-𝑏) &lt; 0.<br>Zatem nierówność 𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+𝑐<br>𝑏+𝑐 jest prawdziwa. To należało wykazać.<br>Sposób 3.<br>Z założenia wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi i 𝑎&lt; 𝑏.<br>Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+𝑐<br>𝑏+𝑐 :<br>𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+ 𝑐<br>𝑏+ 𝑐 /⋅𝑏(𝑏+ 𝑐)<br>(zwrot nierówności nie zmieni się, gdyż 𝑏⋅(𝑏+ 𝑐) &gt; 0)<br>𝑎(𝑏+ 𝑐) &lt; 𝑏(𝑎+ 𝑐)<br>𝑎𝑏+ 𝑎𝑐&lt; 𝑎𝑏+ 𝑏𝑐<br>𝑎𝑐&lt; 𝑏𝑐<br>Z założenia 𝑐&gt; 0, więc otrzymujemy 𝑎&lt; 𝑏, co jest prawdą.<br>Zatem nierówność 𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+𝑐<br>𝑏+𝑐 jest prawdziwa. To należało wykazać.<br>Sposób 4.<br>Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+𝑐<br>𝑏+𝑐 :<br>𝑎<br>𝑏-1 &lt; 𝑎+ 𝑐<br>𝑏+ 𝑐-1<br>𝑎-𝑏<br>𝑏<br>&lt; 𝑎+ 𝑐-𝑏-𝑐<br>𝑏+ 𝑐<br>𝑎-𝑏<br>𝑏<br>&lt; 𝑎-𝑏<br>𝑏+ 𝑐<br>Z założenia 𝑎 i b są liczbami dodatnimi oraz 𝑎&lt; 𝑏, więc liczniki ułamków 𝑎-𝑏<br>𝑏 oraz 𝑎-𝑏<br>𝑏+𝑐<br>są równe i ujemne. Ponadto ich mianowniki są dodatnie i mianownik ułamka 𝑎-𝑏<br>𝑏+𝑐 jest większy<br>od mianownika ułamka 𝑎-𝑏<br>𝑏 , więc 𝑎-𝑏<br>𝑏+𝑐&lt; 𝑎-𝑏<br>𝑏 . To oznacza, że nierówność 𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+𝑐<br>𝑏+𝑐 jest<br>prawdziwa.<br>Sposób 5.<br>Z założenia wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi oraz<br>spełniona jest nierówność<br>𝑎&lt; 𝑏<br>Tę nierówność przekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno następujące nierówności:<br>𝑎𝑐&lt; 𝑏𝑐<br>𝑎𝑏+ 𝑎𝑐&lt; 𝑎𝑏+ 𝑏𝑐<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑎(𝑏+ 𝑐) &lt; 𝑏(𝑎+ 𝑐)<br>Dzielimy tę nierówność stronami przez liczbę dodatnią 𝑏(𝑏+ 𝑐) i otrzymujemy<br>𝑎<br>𝑏&lt; 𝑎+ 𝑐<br>𝑏+ 𝑐<br>To należało wykazać.<br>Sposób 6. (dowód nie wprost)<br>Z założenia wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi oraz 𝑎&lt; 𝑏.<br>Załóżmy, nie wprost, że 𝑎<br>𝑏≥𝑎+𝑐<br>𝑏+𝑐 .<br>Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑎<br>𝑏≥𝑎+𝑐<br>𝑏+𝑐 :<br>𝑎<br>𝑏≥𝑎+ 𝑐<br>𝑏+ 𝑐 /∙𝑏(𝑏+ 𝑐)<br>Ponieważ 𝑏(𝑏+ 𝑐) &gt; 0, więc otrzymujemy dalej<br>𝑎(𝑏+ 𝑐) ≥𝑏(𝑎+ 𝑐)<br>𝑎𝑏+ 𝑎𝑐≥𝑎𝑏+ 𝑏𝑐<br>𝑎𝑐≥𝑏𝑐<br>𝑎≥𝑏<br>co jest sprzeczne z założeniem, że 𝑎&lt; 𝑏. To kończy dowód.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: Dowód nierówności</h4>\n<p><strong>Teza:</strong> Dla każdych \\(a, b, c &gt; 0\\) takich, że \\(a &lt; b\\), zachodzi \\(\\dfrac{a}{b} &lt; \\dfrac{a+c}{b+c}\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Mnożenie krzyżowe (sprowadzenie do równoważnej nierówności)</h4>\n<p><strong>Obserwacja kluczowa:</strong> Ponieważ \\(b &gt; 0\\) oraz \\(b + c &gt; 0\\) (suma liczb dodatnich), możemy bezpiecznie pomnożyć obie strony przez \\(b(b+c) &gt; 0\\) - nierówność <strong>nie zmienia zwrotu</strong>.</p>\n<p>Nierówność do udowodnienia jest równoważna kolejnym:</p>\n<p>\\[<br>\\frac{a}{b} &lt; \\frac{a+c}{b+c}<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\iff \\quad a \\cdot (b+c) &lt; b \\cdot (a+c) \\qquad [\\text{mnożymy przez } b(b+c) &gt; 0]<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\iff \\quad ab + ac &lt; ab + bc<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\iff \\quad ac &lt; bc<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\iff \\quad a &lt; b \\qquad [\\text{dzielimy przez } c &gt; 0]<br>\\]</p>\n<p>Ostatnia nierówność \\(a &lt; b\\) jest <strong>spełniona z założenia</strong>. Ponieważ każdy krok był równoważnością (symbole \\(\\iff\\)), a ostatnie zdanie jest prawdziwe, pierwsze również jest prawdziwe. \\(\\square\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednie oszacowanie różnicy</h4>\n<p>Pokazujemy, że różnica prawej i lewej strony jest <strong>dodatnia</strong>.</p>\n<p>\\[<br>\\frac{a+c}{b+c} - \\frac{a}{b} = \\frac{b(a+c) - a(b+c)}{b(b+c)}<br>\\]</p>\n<p>Licznik:</p>\n<p>\\[<br>b(a+c) - a(b+c) = ab + bc - ab - ac = bc - ac = c(b-a)<br>\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[<br>\\frac{a+c}{b+c} - \\frac{a}{b} = \\frac{c(b-a)}{b(b+c)}<br>\\]</p>\n<p>Teraz oceniamy znak:</p>\n<ul><li><strong>Licznik:</strong> \\(c &gt; 0\\) z założenia, \\(b - a &gt; 0\\) bo \\(a &lt; b\\) - zatem \\(c(b-a) &gt; 0\\)</li><li><strong>Mianownik:</strong> \\(b &gt; 0\\) i \\(b+c &gt; 0\\) - zatem \\(b(b+c) &gt; 0\\)</li></ul>\n<p>Cały ułamek jest <strong>ilorazem dwóch liczb dodatnich</strong>, więc:</p>\n<p>\\[<br>\\frac{a+c}{b+c} - \\frac{a}{b} &gt; 0 \\implies \\frac{a}{b} &lt; \\frac{a+c}{b+c} \\qquad \\square<br>\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym dowodzie nie używamy żadnych wzorów z karty CKE - wystarczą własności nierówności i działań na ułamkach (znak iloczynu/ilorazu, mnożenie nierówności przez liczbę dodatnią), które są elementarną algebrą.</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno mnożyć przez wyrażenie, nie wiedząc czy jest dodatnie! Tu kluczowe jest, że \\(b &gt; 0\\) i \\(b + c &gt; 0\\) - wynika to z założenia o dodatniości. Gdyby znaki były nieznane, krok mnożenia krzyżowego byłby niedozwolony.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Niektórzy próbują „skrócić&quot; ułamek \\(\\frac{a+c}{b+c}\\) przez \\(c\\) - to błąd. Skracać można tylko wspólne czynniki, a nie wyrazy sumy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 1 używamy równoważności (\\(\\iff\\)), a nie tylko implikacji (\\(\\implies\\)). Samo pokazanie, że z tezy wynika coś prawdziwego, nie jest dowodem - trzeba zadbać o zwrotność wszystkich kroków (tu każde przejście jest mnożeniem/dzieleniem przez dodatnią liczbę, więc równoważność jest zachowana).</blockquote>\n<p><strong>Dowód:</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Przekształcenie równoważne</h5>\n<p>Badamy różnicę:<br>\\[\\dfrac{a+c}{b+c} - \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{b(a+c) - a(b+c)}{b(b+c)} = \\dfrac{ab + bc - ab - ac}{b(b+c)} = \\dfrac{c(b-a)}{b(b+c)}.\\]<br>Z założenia \\(a &lt; b\\), więc \\(b - a &gt; 0\\). \\(b, c &gt; 0\\), więc \\(b(b+c) &gt; 0\\) i \\(c &gt; 0\\).<br>Licznik \\(c(b-a) &gt; 0\\), mianownik \\(b(b+c) &gt; 0\\), więc cała różnica dodatnia:<br>\\[\\dfrac{a+c}{b+c} - \\dfrac{a}{b} &gt; 0 \\iff \\dfrac{a}{b} &lt; \\dfrac{a+c}{b+c}. \\quad\\blacksquare\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Mnożenie obustronne</h5>\n<p>Z założenia \\(b &gt; 0\\) i \\(b+c &gt; 0\\), więc \\(b(b+c) &gt; 0\\).<br>Mnożymy \\(\\dfrac{a}{b} &lt; \\dfrac{a+c}{b+c}\\) obustronnie przez \\(b(b+c) &gt; 0\\) (zwrot zachowany):<br>\\(a(b+c) &lt; b(a+c)\\)<br>\\(ab + ac &lt; ab + bc\\)<br>\\(ac &lt; bc\\)<br>Dzielimy przez \\(c &gt; 0\\): \\(a &lt; b\\) - zgodne z założeniem.<br>Ponieważ przekształcenia były równoważne, teza jest prawdziwa. \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h5>Sposób 3 - Dowód nie wprost</h5>\n<p>Załóżmy przeciwnie: \\(\\dfrac{a}{b} \\ge \\dfrac{a+c}{b+c}\\).<br>Mnożąc obie strony przez \\(b(b+c) &gt; 0\\): \\(a(b+c) \\ge b(a+c)\\), skąd \\(ac \\ge bc\\), więc (dzieląc przez \\(c &gt; 0\\)) \\(a \\ge b\\) - sprzeczność z \\(a &lt; b\\). \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>1 pkt za przekształcenie do postaci równoważnej z której wynika teza (np. \\(ac &lt; bc\\) lub \\(\\frac{c(b-a)}{b(b+c)} &gt; 0\\)).</li><li>2 pkt za pełne rozumowanie z wykorzystaniem założenia \\(a &lt; b\\) oraz uzasadnienie znaku mianownika.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> sprowadzenie nierówności z ułamkami do prostszej nierówności liniowej przez przemnożenie przez wyrażenie o znanym znaku.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania nierówności, którą chcemy dowieść:</li></ol>\n<p>$$\\frac{a}{b} &lt; \\frac{a+c}{b+c}$$</p>\n<ol><li>Mnożymy obie strony tej nierówności przez \\( b(b+c) \\). Zauważ, że \\( b \\) oraz \\( b+c \\) są liczbami dodatnimi (skoro \\( b &gt; 0 \\) oraz \\( c &gt; 0 \\)). Zatem możemy mnożyć bez zmiany znaku nierówności:</li></ol>\n<p>$$ a(b+c) &lt; (a+c)b $$</p>\n<ol><li>Rozwijamy obie strony nierówności:</li></ol>\n<p>\\[ a(b+c) = ab + ac \\]<br>\\[ (a+c)b = ab + bc \\]<br>Tak więc nasza nierówność przyjmuje postać:<br>$$ ab + ac &lt; ab + bc $$</p>\n<ol><li>Odejmujemy \\( ab \\) od obu stron nierówności:</li></ol>\n<p>$$ ac &lt; bc $$</p>\n<ol><li>Możemy podzielić obie strony przez \\( c \\) (ponieważ \\( c &gt; 0 \\)):</li></ol>\n<p>$$ a &lt; b $$</p>\n<ol><li>To jest zgodne z założeniem \\( a &lt; b \\), więc nasza nierówność jest prawdziwa.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Dla każdej pary dodatnich liczb \\( a \\) i \\( b \\) spełniających \\( a &lt; b \\) oraz dla każdej dodatniej liczby \\( c \\) zachodzi nierówność \\( \\frac{a}{b} &lt; \\frac{a+c}{b+c} \\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Uzasadnienie.</p>"}]}